局部化策略2008.3.25.doc

局部化策略（1）
1、厦门一中级数学竞赛兴趣小组人举行乒乓球循环赛，每个人都与另外的人比赛一局，再比赛中无平局，如果三个人之间的比赛结果是每个人都胜一局负一局，则称这三人为一个“和谐组”，求“和谐组”个数的最大值

2、太空城由个空间站组成，任意两空间站之间有管形通道相联。规定其中条通道为双向通行的主干道，其余通道严格单向通行，如果某四个空间站可以通过它们之间的通道从其中任一站到达另外任一站，则称这四个站的集合为一个互通四站组。
试为太空城设计一个方案，使得互通四站组的数目最大(请具体算出该最大数，并证明你的结论)。

3、有位象棋手，欲将其分成三组比赛，同一组的选手都不比赛，不同组的每两位选手都要比赛一盘，问如何分组可使比赛盘数最多并求此时比赛的盘数

4、厦门某工厂开张的第一天生产的产品不超过件，此后日产量每天都有增加，但每次增加的数量不超过件，求当日产量达到件时，工厂生产出的产品总数的最小值

5、给定平面上的点集,中任何三点不共线，将中的点分为三组，每组至少个点，将同一组的点两两连线，不同组的点不连线得到一个图，中三角形个数记为
（1）求的最小值；
（2）使达到最小的图为,求证：可将图中的点染色使中不含同色三角形

6、个选手进行象棋循环赛，每个选手与其它个选手各赛一局，比赛没有平局，设胜的局数为，求的最小值和最大值

7、在不减的正整数序列中，对任何正整数，定义，已知，求的最大值

8、设且，求的最小值

9、有只鸟在一个圆上，如果弧，则称鸟是互相可见的，如果允许同一位置同时有几只鸟，求可见鸟对数的最小值

10、设数列，，为满足的的个数，对所有可能的，求的最大值

11、设为一个固定的整数，试确定最小的常数，使得不等式成立，并确定等号成立的充要条件

12、设从格点出发，沿格径以最短的路线运动到，即每次运动到另一个格点时横坐标或纵坐标加，求点经过的所有格点中两坐标乘积之和的最大值

局部化策略（2）
1、用电阻值分别为（）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。

2、设，且，求证：

3、设是三角形的三边长，且，若，证明：

4、在线段上关于它的中点对称的放置个点，任意将这个点中的个点染成红色，剩下的点染成蓝色，证明：所有红点到的距离之和等于所有蓝点到的距离之和

5、证明：平面上任意个点，总可以被某些不相交的圆盖住，这些圆的直径之和大于且每两个圆之间的距离大于，这里

6、在一张长方形纸上有一些黑点，现在要将这张纸沿直线折好几次，折线不穿过任何黑点，然后用针插进折好的纸，使针穿过所有的黑点，而不穿过其他的点，求证：在如下的两种情况中均能成功
（1）所有黑点共线；（2）只有三个黑点

7、某电影院的座位共有排，每排座，票房共售出张电影票，由于工作疏忽这场票中有些号是重复的，不过每个观众都可以照票上所标的排次号或座次号之一入座，求证：至少可使一名观众既坐对排次又坐对座次而其他观众保持前述情况就坐

8、个盘子里放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘子各取一块糖，放入另一个盘子中，称为一次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列一个盘子里去？证明你的结论。

9、求一切实数p，使得三次方程的三个根均为自然数。

10、设是正整数，若由个正整数组成的数列（可以相同）称为“满的”，则这个数列应满足条件：对于每个正整数，如果在这个数列中，则也在这个数列中，且第一次出现的位置在最后一次出现的位置的前面，对于每个，有多少个“满的”的数列？

11、某市有所中学，第所中学派出名学生（）来到体育馆观看球赛，全部学生总数为。看台上每一横排有个座位。要求同一学校的学生必须坐在同一横排。问体育馆最少要安排多少个横排才能够保证全部学生都能坐下？

12、已知边长为4的正，分别是上的点，且,连接交成，在内及其边上移动，到三边的距离记为，
（1）求证：当在的顶点位置时，有最小值；（2）求的最小值

13、非负实数满足，求的最小值

14、个棋手参加快棋循环赛，每两人赛一局，排出一张赛程表，比赛一局接一局的进行，而且每个棋手每两局比赛之间都至少休息局，求证：第一局的一个棋手恰好也在最后一局出场。