《数学分析》中极限问题的浅析.doc

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《数学分析》中极限问题的浅析
极限理论是数学分析这门学科的基础，极限方法是数学分析的基本方法，通过极限思想、借助极限工具使数学分析内容更加严谨，可以说，极限贯穿整个数学分析的始末，学好极限十分重要。
完整的极限理论的建立，依赖于实数的基本性质，即实数系的所谓连续性，我们已经熟悉的单调有界原理，就是连续性的一个等价命题。极限问题类型很多，变化复杂，解决极限问题在数学分析中更显得尤为重要。这里举一些比较典型的实例，希望从中归纳出解决极限问题的方法。
下面举例说明求解极限问题的若干方法，其主要是根据极限的定义、运算法则和性质、定理，以及数学上的其他知识和技巧。
一 求数列极限
（一） 利用迫敛性定理求极限
首先说明迫敛性定理[1]求极限，这是一种简单而常用的方法。
lim

例1、证明 （1） (a > 0)
lim

（2）

证明： （1）当a = 1时，等式显然成立。
(hn > 0)

当a >1时，令

则：a = (1 + hn )n = 1 + nhn +
由迫敛性定理

故0 < hn <
lim

hn = 0
lim
lim

即： (1 + hn) = 1
lim
lim
1
lim
= 1
当 0 < a < 1时：

其中hn > 0
（2） 设

n = (1 + hn)n = 1 + nhn +
即： 0 < hn <

>
lim

由迫敛性定理得 hn = 0
(1 + hn) = 1
lim
lim

从而：
lim

例：求极限

令

即：en

由迫敛性定理可得：
lim

从而：由连续函数定义知：
lim

极限定义是判定极限是某个数的充要条件，因此有时要用到它的否定形式[2]，现叙述如下：

（二）单调有界原理求极限
单调有界原理是判定极限存在的重要法则，虽然它不能判定极限是什么数，但许多问题当断定极限存在时，极限值是不难求出的。

例：单调数列 收敛于a的充要条件是存在子列 使得

a
证：不妨设设 是单调递增数列，必要性显然。
则：
充分性：若

对任意的 ，存在k0 ，当k ≥ k0 时：
1Xnk a1 = a Xnk <

当n ≥ nk时：有

此即为：

例：设
lim
收敛，并求
求证

xn

lim

证：当x0 = 0时 显然xn= 0 (n =1. 2.…) 故： xn = 0

……

故可得：

故 xn 是单调有上界的函数，从而收敛。

lim

记 a= xn

由于

又由于方程

lim
从而

所以
lim

当

例：设a > 0, xn(n=1、2、……)为由以下各式：
(n =0、1、2，……)

x0 > 0,
lim

所确定的数列，求证

证：由假设x0 > 0, 又由算术平均数和几何平均数之间的关系得：

（n=1、2、……）

（n=1、2、……）

lim

由单调有界原理，则：

将

lim

从上面几个例子中看出，在某些数列的极限问题中，由数列各项间的递推关系，由单调有界定理可以比较巧妙地证明极限的存在。并计算出极限。
（三）柯西收敛准则求极限
下面举例说明柯西收敛准则[4]的应用。

证明数列 xn 是收敛的。

证明：
（n = 1、2……）

（n = 1、2……）

可归纳得到：

对任意的m > n ,

故： xn 是柯西数列，从而它是收敛的。

例：判断数列

解：设 m > n,

这时：10m-n = 10n+1 > 2(N+1)

由柯西收敛准则，知数列 an 发散。
柯西收敛准则在证明极限的存在性上有很重要的意义，在此，给出柯西收敛准则的否定形式，便于应用。
柯西收敛准则否定形式： 有正整数mN, nN存在，尽管mN, nN > N ,
（四） 定积分求极限
由于定积分[5]是积分和的极限，故此，某些和式问题可以化为定积分的计算，使运算得以完成。在这里，仅举几例，来说明这种求极限的方法。

（n等分.取右端点）。

在运用这一方法时，要巧妙转化，找出其积分原型，并发现其积分区间，（一般为[0，1]），恰当的转化，可使问题简化。
（五） 施笃兹定理求极限

定理[6]，下面给出定理和它的两个难论：
定理：（stolz定理）

1)存在N0为自然数，当n > N0时，yn+1 > y 递增

.

解：由stolz定理：

从而

二、求函数极限
在前面，我们主要针对数列极限的求解作了详细地论述，接下来，我们来看一下函数极限与数列极限的联系。
一般函数的极限可以归结为数列的极限。
（一） 罗毕塔法则求极限

（二） 利用两个重要极限求极限
在函数极限的证明和计算中，除可以用以上各种方法外还可用其他方法。如利用两个重要极限，进行计算：

（三） 求分段函数的极限
对于分段函数[9]的极限，在讨论此类极限的存在时，要先求出分段点处的左右极限，再由此进行判断该点的极限是否存在。

在本文的最后，给出函数极限的施笃兹定理：设T为正常数，若函数

满足：
(1) g(x+T)>g(x)

(2)

求极限在数学中是一重要问题和研究工具。其在几何学和生活中都有重要应用。本文在确定了论题之后，围绕着论题作了大量细致深入的调研，对极限中的数列极限和函数极限进行了深入的研究，综合的讨论了求极限问题的方法。
附录1
下面一个定理通常称为海因（Heine）定理[7]，它把函数的极限与数列的极限沟通起来。因此也叫归并原则。

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