人工智能(AI)-7-8章作业参考答案.doc

《人工智能原理》课程习题解答
7.4 证明下列的每个断言：
a. 是合法的当且仅当
b. 对于任意的，
c. 当且仅当是合法的
d. 是合法的当且仅当是合法的
e. 当且仅当是不合法的
说明：当且仅当在所有为真的模型中，也为真；当且仅当为真且为假时，为假。以下的证明将直接从上述定义出发进行。使用集合论的表示方法可以更简洁的表示为。
a. 一个语句合法即其在所有的模型中均为真。语句在所有的模型中都是合法的。因此当合法则成立（因为在所有的模型中和都成立）；如果成立，则一定是合法的，因为在所有成立的模型中必为真。
b. 在所有的模型中均不成立，所以在所有成立的模型中有成立(诡辩，其实没有这样的模型)。
c. 假设，考虑任意模型。若在模型中为真，则由假设可知在模型中也为真，所以在中也为真。另外，当在为假，则在中为真。因此是合法的。反过来，假设是合法的。考虑任意为真的模型，必定也为真，否则模型无法满足。所以有。
d. 应用c的结论从两个方向进行证明可得。
e. 由c推出，因为是不可满足的只有当是合法的。

7.5 考虑一个只有4个命题A、B、C和D的词表。对于下列语句分别有多少个模型？
a.
b.
c.
说明：通过计算真值表中为真的数目得到答案。记住不要忘记计算那些语句中没有提到的命题；如果一个语句只提到和，那么不要忘记在模型数目基础上乘上22(因为要考虑和)。
a. 6 提示：仅考虑语句中出现的命题，即模型数(语句为真)为3，考虑隐含的命题，所以应乘上21。
b. 12 提示：同理3乘上22
c. 4 提示：2乘上21

7.8 判定下列的每个语句是否合法、不可满足或者二者都不是。用真值表或图7.11的等价规则验证你的判断结果。
b.
可满足。由真值表：其为真当为真且为真，然而其为假当为真且为假。
f.
合法。由真值表：当为假时，两个表达式都为真；当为真，则当为假时，有为假(该情况下整个蕴涵为真)，或者为真，该情况时式子两边均为真。

7.12 本题考查子句和蕴涵语句之间的关系。
a. 证明子句逻辑等价预蕴涵语句
证明：由图7.11中的蕴涵消去等价式，可得等价于，且由摩根律可得等价于，所以等价于。
b. 证明每个子句（不管正文字的数量）都可以写成的形式，其中和都是命题符号。
证明：一个子句可由正文字和负文字构成；令负文字记为，正文字记为，其中为命题符号。则子句可写成如下形式：
。
令，由a的结论即得该子句等价于下式：

c. 写出蕴涵范式的完整归结规则。

对于原子，有，则有：

8.1 在逻辑知识库中没有显式结构的语句集来表示世界。另一方面，类推表示具有直接与被表示的事物的结构相对应的物理结构。把你所在地区的道路图看作该地区事实的一种类推表示。地图的二维结构对应于该地区的二维地表。
a. 给出5个地图语言符号的例子。
b. 显式语句是指确实由表示的创建者所写的语句。隐含语句是由于类推表示的属性而从显式语句产生出来的语句。用地图语言分别给出3个隐含语句和显式语句的例子。
c. 给出3个关于你所在国家的实际结构的事实的例子，这些例子能不能用地图语言表示。
d. 给出两个事实的例子，它们用地图语言来表示比用一阶逻辑更容易。
e. 给出有用的类推表示的另外两个例子，并分别说出这些语言的优缺点。
解答：
a. 根据地图的类型与比例尺的不同，地图语言中的符号通常包括城市及城镇标记，道路符号（可能有多种类型），灯塔，历史纪念碑，河流走向和高速路交叉路口等。
b. 区分显示语句及隐含语句的基本思想：当地图绘制者在地图的某个具体位置放置了一个符号，那么他就是说出了一个显式语句（例如青山塔在这），然而地图描述的类推结构意味着许多隐含的语句能由显式语句推出。显式语句：这个位置有一座纪念碑，叫人民英雄纪念碑；民族大道为东西走向；这个位置是南湖（同时南湖的形状也被显式的描述出来）。隐含语句：大学路比火炬路长；广西大学位于人民公园的西边；从广西大学出发到南湖公园的最短路径是这样走……。
c. 不能用地图语言描述的：青秀山大约190米高，形状为……（假设地图没有地形信息）；在18世纪，邕江两岸没有桥梁连接（地图无法给出变化信息）等。
d. 一般来说，凡是能用自然语言容易描述的句子都不是本题答案。难以用一阶谓词逻辑语句描述却容易使用地图语言描述的一个例子是：中国的海岸线形状（地图一幕了然，然而用语言描述却诸多不便）。可以利用地图语言的这个特点来进行“计算机可视化”，使得学多数据变得直观。
e. 其他类推表示的例子：
1 模拟技术（非数字化）磁带录音。优点：简单的电流变化能够被记录下来，并据此还原出声音；缺点：有噪声等；并难于做一些诸如将人的声音从一些背景噪声中分离出来的操作。
2 传统的钟表盘。优点：易于快速读出时间（人一眼看过去就可以知道时间）。缺点：难以获得精确的读数，此外对很小的时间单位无法描述（例如毫秒）。
3 所有类型的图示，如柱状图，饼图等。优点：能够把大量的数据压缩表示在一个图示里，容易根据图示进行趋势分析，并便于人们交流及讲解；缺点：不精确，无法表示负面信息。

8.2 考虑一个只包括两个语句和的知识库。此知识库是否蕴涵？从模型的角度解释你的解答。
解答：该知识库不蕴涵。为了证明这点，必须给出一个模型，在这个模型中和成立，然而为假。考虑任意有三个元素的模型，其中和为前两个元素，而表示的关系仅仅对于前两个元素成立，对于第三个元素不成立。

8.3 语句是否合法？
解答：合法。一个语句是合法的即在所有的模型里其均为真。一个存在量词语句在一个模型中为真，当该模型中语句元素被存在的值赋值。

8.4 写出一个逻辑语句，它为真的所有世界刚好只包括一个对象。
解答：保证正好只有一个对象。如果存在两个对象的话，那么当和被赋予不同的值时，该语句为假。

8.6 用一个没有矛盾的词汇表（需要你自己定义）在一阶逻辑中表示下列语句：
a. 某些学生在2001年春季学期上法语课
c. 只有一个学生在2001年春季学期上希腊语课
e. 每个买保险的人都是聪明的
g. 有一个代理，他只卖保险给那些没有投保的人
i. 在英国出生的人，如果其双亲都是英国公民或永久居住者，那么此人生来就是一个英国公民。
j. 在英国以外地方出生的人，如果其双亲生来就是英国公民，那么此人血统上是一个英国公民。
解答：定义如下基本词汇：
，学生在学期上课程；
，学生在学期通过了课程；
和：指明法语和希腊语课程；
：从处购买；
：卖给；
：在国出生；
：是的父亲（或母亲）；
：由于原因是国公民；
：永久居住在国；
：表示某一类（由谓词表示）成员。
a.
c.
e.
g.
i.
j.

8.9 参考解答：该问题可以有多种解答，但一个好的解答的特征是其公理的通用性；就是说，应该尽可能给出通用的知识，而不是仅为了推导出结果的而进行的一些直接的组合知识点。
以下是主要的谓词:
； (在时刻听到事件)； (在时刻发生事件)； (在时刻是活着的)。
是；是。
表示死了的事件。

在某时刻，听说死了。

在时刻听说了事件，则此人必定在时刻是活着的。

人只能听说那些已经发生了的事件。

人死了以后，就不再是活着的。

时间永远是按先后次序的。

时间次序是可以“传递”的，即若且则有。
问题回答如下：因为听说了死了的消息，所以他一定在死后的某时刻还是活着的；因此，他不可能在听说了死的消息之前就已经死了，因此一定是在这个时刻之后才死的。所以，在死那时就已经死了，于是就不可能听说死的消息。

补充习题（用归结法求取问题回答）：1、设A、B、C三人中有人从不说真话，也有人从不说假话，某人向三人分别提出同样的一个问题：谁是说谎者？A答：“B和C都是说谎者”；B答：“A和C都是说谎者”；C答：“A和B至少有一个是说谎者”。试用归结法求出：谁说了真话。
解答：设谓词表示：说真话。则根据题意，有：
A说真话：
A说谎话：
B说真话：
B说谎话：
C说真话：
C说谎话：
待求解问题的否定：
把以上语句化为子句集，有：
1
2
3
4
5
6
7
8
归结过程：
1和7归结得：
9
6和9归结得：
10
8和10归结得
11
所以最后答案时：C说了真话。

2、已知：王先生是小李的老师；小李与小张是同班同学；如果x与y是同班同学，则x的老师也是y的老师。试用归结原理求解以小张的老师是谁？
参考解答：定义谓词：T(x,y)：x是y 的老师；C(x,y)：x与y是同班同学。
将已知前提和待求解的问题表示称谓词公式：
(1) T(wang，li)；
(2) C(li，zhang)；
(3) "x"y"z (C(x,y) Ù T(z,x) ® T(z,y))
(4) ~ T(x,zhang) ∨ ANSWER(x)
把上述化为子句集S，有：
①  T(wang,li)
②  C(li,zhang)
③  ~C(x,y)∨~T(z,x)∨T(z,y)
④  ~T(u,zhang)∨ANSWER(u)
对上述的子句集进行归结，有：
⑤ ~C(li,y)∨T(wang,y) ①与③归结
⑥ ~C(li,zhang)∨ANSWER(wang) ④与⑤归结
⑦ ANSWER(wang) ②与⑥归结