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理想刚塑性平面应变问题
滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf和Budiansky在1949年提出的。由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。
应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。
刚塑性平面应变问题的基本方程
一、不可压缩条件
平面应变的位移满足关系：
（1）
其速度场满足：
　　 （2）
　其应变率张量为：
（3）
不可压缩条件表示为：
（4）
因为，故有: （5）
二、Levy—Mises关系
由于

故有
三、平衡条件和屈服条件
不考虑体积力,平衡条件为:
(6.1)
(6.2)
Mises屈服条件:
由正交流动法则,并知,则有:

进而可知: (7)
注意到:
故有 (8)
进而可知:

∴Mises屈服条件可进一步表示为下式:
(9)
又考虑到:
故有:
因此Tresca屈服条件表示为:
(10)
应当注意: (9)中的,而(10)中的
注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求 ，，
在刚性区则有:

其中为与轴夹角,而线与轴夹角为,则有:
进而: ,

将上式代入平衡方程(6)式可得:

(11)
由 式

可得

将上式代入式可得

(12)
注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求，，

滑移线
1、应力场中的滑移线、应力方程

材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。因为斜面上的平均正应力式不影响屈服的，因此材料是沿斜面剪应力方向发生剪切屈服破坏。在平面应变问题中，连续材料质点的剪应力最大值即各质点等斜面剪应力轨迹线或滑移线。如果能在平面内描出塑性变形滑移线。也表示沿这些线上的剪应力等于屈服剪应力，而与之对应的面上正应力即为平均应力。在塑性变形中，任一点的滑移线方向已知，由式

可知，如果能计算出该点的平均应力大小，那么该点的应力状态可唯一的确定，如此通过平面滑移线作图与应力分析，就可以求出平面应变的应力分量。由于滑移曲线仅限于二维坐标平面，因而它仅限于求解平面应变问题，页因为应力场中剪切屈服认为式等值才能描述出滑移线，所以只能认为理想刚塑性的材料才是适宜的。

由于问题解与坐标选择无关,将坐标系化为坐标系(取)则有:

进而可得: (沿线) (24.1)
(沿线) (24.2)
上式称为Hencky方程。
此外由图可见, 沿线满足, 沿线 。
这是互相垂直的平面坐标中两曲线族，一条曲线的切线与x轴夹角为θ ，另一条曲线是逆时针转90度形成的曲线，显然，曲线族任何点都满足这个条件，而满足这个条件各点连成曲线形成平面中互为正交的两族曲线。这两族曲线被称为α和β两族滑移线。滑移线上各点既满足屈服条件和满足平衡方程，是塑性区的解。自然，滑移线是一种通过作图给出塑性解的形象描述，它不是指一点或一条线而言，而是对某塑性区的描述，因而能在某塑性区域中画出滑移线，也就能求出该区域中的塑性解。
2、速度滑移线、速度方程

平面刚塑性的变形问题一一速度场是在应力场的基础上加以分析求解。它也可以借助于作图和分析相结合的办法求出变形过程中的应变率分量和速度分量。而这一滑移线且 刚好与应力场中的滑移线是吻合的。本节对此加以说明在直角坐标下，平面应变的速度分量分别为和。应变率分别为，和，并且两者之间有
（9.42）
显然，如以和作为基本未知量表示平面应变中的变形，那么依据塑性区体积不可压缩条件，得出
（9.43）
在求出应力解基础上，利用增量型本构方程
（9.44）
将与表示的应变率带入上式，得出
(9.45)
由以上三式消去，并用应力分量表示和，则
(9.46)
这样对刚塑性平面应变变形问题，由（9.43）和(9.46)两个方程求解和的两个未知数。因而与应力场一样，平面应变的速度场也是静定的。显然直接求解(9.43)和（9.46）两个方程是不可能的，依然可用特征值和滑移线方法求速度场问题。将(9.46)方程中的应力分量用平均应力滑移线夹角表示成

将速度方程改写成
（9.47）
再考虑体积不变条件和沿xy平面上任一曲线和的增量，则有
（9.48）
以上4个方程式构成一组以、、、未知量的线性方程组，令其系数行列式等于零，即

展开得解得：

（9.49）
说明和的特征线在xy平面中与应力场中定义的滑移线式同一曲线，也就是平面应变的滑移线既是应力解方程的特征线，也是速度解方程的特征线。因为它们在平面中具有相同的曲线切线描述。并由Levy-Mises本构理论，应变增量分量与对应的应力偏量分量成正比，也就是两者的主方向重合。因而最大剪应力与最大剪应变率方向重合，说明由应力场中所划出的滑移线，不但表达了各点最大剪应力以及进而发生屈服的方向，也表达了最大剪应变率以及屈服的变形方向。
在应力场中的滑移线理论中，曾给出了沿和滑移线和满足的滑移方程，在研究变形问题即速度场中，也由速度滑移线给出由，和表达的速度方程，这一方程首先是由Griringer在1930年给出的，又称为Griringer方程。
如图9.17所示，和是任一点的速度矢量，并且是沿滑移线和的速度分量，则是线与x正方向的夹角。按图示的坐标转换关系，则有直角坐标速度分量、和滑移线速度分量、之间的关系

(9.50)
Levy-Mises本构理论在这里表示为
（9.51）
如果沿滑移线方向取微元，并用、分别表示其沿与线之微弧长。以滑移线与滑移线方向的局部坐标代表该点的直角坐标x轴与y轴的话，那么由滑移线所表达的力学概念，必有微元正应力和均为平均应力，于是有与线上的应力偏量分量为零，即
（9.52）
依据（9.44）式的本构关系知，沿滑移线的应变率也为零。而x方向和滑移线方向相切时的应变率为零

化简后得出
沿线 (9.53)
当y方向与线方向相切，类似地由条件，可以得出另一方程为
=0 沿线 （9.54）
将以上面方程写为更简化和直观形式
沿线 （9.55）
沿线
这一组速度方程表明：如果滑移线为直线的话，那么沿滑移线必有为常数，=0，相应的滑移线速度为常数，因而均匀应力场既是均匀速度场。对于一条为直线，另一条为曲线的简单应力场，例如族为直线，沿线必有=0，在速度场转中，由上面Gririger方程分析出是常数，，式中和是任意函数。因为滑移线理论是建立在刚塑性平面应变塑性变形基础上，不发生塑性滑移部分仍然保持其刚性假设，这一点在分析速度场问题时要注意。
应力边界条件

如图所示法线为n的边界A点的应力已知，即和已知。该点外法线n与x轴之间夹角为，按熟知的平面坐标转换公式，求得A点的，和和与之关系式
（13）
再考虑处于屈服状态的某点，该点的平面应力为，和。该点等斜面上的正应力为平均应力用表示，它的剪应力达到剪切屈服极限K。如果该等斜面的法线与x轴夹角用表示，亦根据平面上应力转换公式和和直角坐标应力分量之关系
（14）
如将（14）式代入（13）式，得出屈服状态边界某点的和与边界应力与之关系
（15）
将（15）式写成反函数得
（16）
这样推到的结果（16）表明，在通常外力给定的时候，边界上的分布应力和是已知的，则由（16）式可以计算屈服边界附近的各点的平均应力和角值。正如前面所述，由于和已知，也就由（14）式确定了边界附近处于屈服状态下各点的各应力值，（16）式中的反余弦函数通常取主值，m为正负整数。

如以上图示自由边界的A点为例，由于边界条件给出=0，=0.并取图示坐标。
按（9.6）式分析处A点的和分别是

如取m=0，则有以下两组解

无论取何组解，由表示的最大剪应力达到屈服应力的方向是为A点的滑移线方向。将边界附近各点的滑移线方向连起来是为滑移线。由以上分析知，滑移线是从边界开始分析，依次向边界里画出来的。因为每点的等斜面是互为垂直的两个方向，因而过每点的滑移线也必是呈互相正交的两条线，在塑性场成为互相正交的两组滑移线。问题在于上面两组解何组解是正确的。从自由边界例也看出任何边界受任何荷载都会出现两组可能的解，都会存在如何判定哪一组解是正确的问题。通常按理论分析是:由计算出的该点第一主应力顺时针转得出该点的一个滑移线，用α表示；再逆时针转得该点的另一滑移线，用β表示。如果按应力比较方法，即比较与的大小及正负号看出受力与流动趋势，也能比较正确地判断出α与β滑移线。这一方法将在本书中通过几个算例逐步掌握。有了正确的和θ的解答，也就正确地计算出应力分量。如何从边界出发正确画出滑移线也会在后面各节中讲授和加以熟悉。
滑移线的性质
一、 Hencky第一定理
在同族两条滑移线和它族滑移线的交点上，其切线间得夹角沿前者不变，即图中
证：设沿线；沿线
沿线；沿线
则由 沿线：，
沿线：，
得：
；；
；；
由此得 （1）
同样地对的变化有等式
（2）
推论一 若一族滑移线中有一根是直线，则同族其它各线段都是直线。
证: 这相当于的情况
推论二 在直的滑移线上，应力是常数。
证: 例如线是直线，则由
沿线：
沿线：
得： 。由于都不变，则也都不变。
若某一区域，两族滑移线都是直线，则在整个区域和都是常数，为均匀应力区。
二、Hencky第二定理
沿一族的某一滑移线移动，则另一族滑移线的曲率半径的变化量等于所走过的距离。在图一中即。

图一 图二
证： 曲率半径的定义为
， （3）
这里规定若位于正的和方向为正。由（3）式，则对弧有。类似的对弧有

另外从图一示的几何关系，可以近似得出，比较以上两式可得 ， （4）
其中第二式是用类似的方法得出的，将（3）与（4）两式结合在一起得
沿线：
沿线： （5）
推论一： 族与族交点曲率中心的轨迹形成线的渐伸线（如图二的）。
推论二： 同族的滑移线必向一方向凹，并且曲率半径逐渐变为零。
三、间断值定理
在滑移线两侧，应力不会发生间断。
证：的间断值按计算，但在滑一线上，故。
1、 如果沿某一移滑线，其曲率半径发生跳跃，对应的应力微商也要发生跳跃。
证：沿线，即
（6）
沿线有同样关系。
2、 沿任何线法向速度一定连续，而切向速度的间断线一定是滑移线，并且间断值沿滑移线不变。
证：先把间断线看成有限宽度的线，速度间断可看成在此宽度内值很大，即很大。由，得比别的应力偏量分量大得多，代入屈服条件得。因此这条间断线是滑移线。
其次设这条滑移线是线，沿该线两侧分别有
，
则
这表示间断值沿滑移线是常数。
典型算例
例1、 如图所示，设边坡顶部作用一均布荷载，张角为，滑移线如图，试求其塑性极限荷载。
方法1：①在均布应力区的边界上：
，
由（27.2）式可知：

为法线与轴夹角，取，且取正号，
则有：
由（27.1）可得：

②在均布应力区的边界上：
由（27.2）式可知：

为法线与轴夹角，取，且取负号，则有：

由（27.1）可得：

③在简单应力区, 为线的一段

考虑到 , ,，故有:

故得塑性极限荷载为:
方法2:取线方向均反向
①在均布应力区的边界上：
由（27.2）式可知：

为法线与轴夹角，取，且取正号，则有：

由（27.1）可得：
②在均布应力区的边界上：
由（27.2）式可知：
为法线与轴夹角，取，且取负号，则有：

由（27.1）可得：
同法求简单应力区, 故得塑性极限荷载为:

方法3:
①在均布应力区的边界附近取微元体，沿法线方向取平衡方程:

故有:
②在均布应力区的边界附近取微元体
沿法线方向取平衡方程:

故有:
③在区方法如(法1)
4、求速度分布，并校核中的是否不小于零。
在边（表示在上的值）。注意到

故在边有

在线上，法向速度要和刚性区连续，故沿线。因此，求区域内的速度分布是一个解速度场的第三边值问题，具体求法如下：
沿线有。因线都是直线，。得，。但在边上，故得到在整个塑性区。
沿线有，得。边条件变成（因），故沿线有

下面再校核中的是否不小于零的问题。我们将坐标取在滑移线上，则要求：

现在： ，

因此，要上式成立，即要： 。
上式表示左边的质点比右边的下滑得快，这样滑动产生的剪应力与我们求出的应力场中的剪应力是一致的，否则滑动趋势与剪应力符号相矛盾。
例2、半平面上刚性冲模压入(土力学中条形基础)限于不排水条件
在均布应力区:
在和均布应力区:
沿线

∴
沿线

∴
该题也可由例1中令解出如上解
例3、带切口的边界拉伸
取部分,则只要注意到顶面为拉力,其与与例1相同
①在均布应力区取微元体,沿法线方向取平衡方程:

故有:
②在均布应力区取微元体,沿法线方向取平衡方程:

故有:
③在简单应力区, 为线的一段

将代入上式,可得:
例4、厚壁圆筒塑性极限荷载
设筒的内半径为，外半径为,内径处的压力为,剪力为0,由于是轴对称问题,采用极坐标, 和均为主应力,而,可见筒壁内每一点,滑移线方向均与半径成450角.

可以写出滑移线的方程:
积分上式可得:
其中:为边界处滑移线对应的值,因为, ,故可知为与轴夹角,所以线上的关系为,故有:

积分上式,并注意到,可得:

其中积分常数可利用边界条件处,定出,解得:

再应用边界条件时, ,可得塑性极限荷
载:
这一结果与第四章结果相同.若应用简化的方法,由前可知:
在处取微元体平衡:

∴
在处取微元体平衡:
∴
沿线取积分可得:
则有:
故得塑性极限荷载: ,这一结果与前面相同
在微圆中曲线与直线相同.