主成分分析实例及含义讲解PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,主成分分析和因子分析,吴喜之,2,汇报什么？,假定你是一个公司的财务经理，掌握了公司的所有数据，比如,固定资产、流动资金、每一笔借贷的数额和期限、各种税费、工资支出、原料消耗、产值、利润、折旧、职工人数、职工的分工和教育程度等等,。,如果让你向上面介绍公司状况，你能够把这些指标和数字都,原封不动地摆出去吗,？,当然不能。,你必须要把各个方面作出高度概括，,用一两个指标简单明了地把情况说清楚。,3,主成分分析,每个人都会遇到有,很多变量,的数据。,比如全国或各个地区的带有许多经济和社会变量的数据；各个学校的研究、教学等各种变量的数据等等。,这些数据的共同特点是变量很多，在如此多的变量之中，有很多是相关的。人们希望能够找出它们的,少数“代表”,来对它们进行描述。,本章就介绍两种把变量维数降低以便于描述、理解和分析的方法：,主成分分析,（,principal component analysis,）和,因子分析,（,factor analysis,）。实际上,主成分分析可以说是因子分析的一个特例,。在引进主成分分析之前，先看下面的例子。,4,成绩数据（,student.sav,）,100,个学生的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩如下表（部分）。,5,从本例可能提出的问题,目前的问题是，能不能把这个数据的,6,个变量用一两个综合变量来表示呢？,这一两个综合变量包含有多少原来的信息呢？,能不能利用找到的综合变量来对学生排序呢？这一类数据所涉及的问题可以推广到对企业，对学校进行分析、排序、判别和分类等问题。,6,空间的点,例中的的数据点是六维的；也就是说，每个观测值是,6,维空间中的一个点。我们希望把,6,维空间用低维空间表示。,先假定只有二维，即只有两个变量，它们由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在变量的二维正态的假定下是可能的）,那么这个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够解释这些点的变化了；这样，由二维到一维的降维就自然完成了。,7,8,椭球的长短轴,当坐标轴和椭圆的长短轴平行，那么代表长轴的变量就描述了数据的主要变化，而代表短轴的变量就描述了数据的次要变化。,但是，坐标轴通常并不和椭圆的长短轴平行。因此，需要寻找椭圆的长短轴，并进行变换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。,如果长轴变量代表了数据包含的大部分信息，就用该变量代替原先的两个变量（舍去次要的一维），降维就完成了。,椭圆（球）的长短轴相差得越大，降维也越有道理。,9,10,主轴和主成分,对于多维变量的情况和二维类似，也有高维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。,首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表大多数数据信息的最长的几个轴作为新变量；这样，主成分分析就基本完成了。,注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴也是互相垂直的。这些互相正交的新变量是原先变量的线性组合，叫做主成分,(principal component),。,11,主成分之选取,正如二维椭圆有两个主轴，三维椭球有三个主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。,选择越少的主成分，降维就越好。什么是标准呢？那就是这些被选的主成分所代表的主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。有些文献建议，所选的主轴总长度占所有主轴长度之和的,大约,85%,即可，其实，,这只是一个大体的说法,；具体选几个，要看实际情况而定。,12,主成分分析的数学,要寻找方差最大的方向。即使得,向量,X,的线性组合,a,X,的方差最大的方向,a.,而,Var(,a,X)=,a,Cov(X),a,;,由于,Cov(X),未知；,于是用,X,的样本相关阵,R,来近似,.,因此，要寻找向量,a,使得,a,R,a,最大,(,注意相关阵和协方差阵差一个常数,记得相关阵和特征值问题吗,?,回顾一下吧,!,选择几个主成分呢,?,要看“贡献率,.”,13,对于我们的数据，,SPSS,输出为,这里的,Initial Eigenvalues,就是这里的六个主轴长度，又称特征值（数据相关阵的特征值）。,头两个成分特征值累积占了总方差的,81.142%,。后面的特征值的贡献越来越少。,14,特征值的贡献还可以从,SPSS,的所谓碎石图看出,15,怎么解释这两个主成分。前面说过主成分是原始六个变量的线性组合。是怎么样的组合呢？,SPSS,可以,输出下面的表。,这里每一列代表一个主成分作为原来变量线性组合的系数（比例）。比如第一主成分为数学、物理、化学、语文、历史、英语这六个变量的线性组合，系数（比例）为,-0.806,-0.674,-0.675,0.893,0.825,0.836,。,16,如用,x,1,x,2,x,3,x,4,x,5,x,6,分别表示原先的六个变量，而用,y,1,y,2,y,3,y,4,y,5,y,6,表示新的主成分，那么，第一和第二主成分为,这些系数称为主成分载荷（,loading,），它表示主成分和相应的原先变量的相关系数。,比如,y,1,表示式中,x,1,的系数为,-0.806,，这就是说第一主成分和数学变量的相关系数为,-0.806,。,相关系数,(,绝对值）越大，主成分对该变量的代表性也越大。可以看得出，第一主成分对各个变量解释得都很充分。而最后的几个主成分和原先的变量就不那么相关了。,17,可以把第一和第二主成分的载荷点出一个二维图以直观地显示它们如何解释原来的变量的。这个图叫做载荷图。,18,该图,左面三个点是数学、物理、化学三科,，,右边三个点是语文、历史、外语三科。,图中的六个点由于比较挤，不易分清，但只要认识到这些点的坐标是前面的第一二主成分载荷，坐标是前面表中第一二列中的数目，还是可以识别的。,19,因子分析,主成分分析从原理上是寻找椭球的所有主轴。因此，原先有几个变量，就有几个主成分。,而因子分析是事先确定要找几个成分，这里叫因子（,factor,）（比如两个），那就找两个。,这使得在数学模型上，因子分析和主成分分析有不少区别。而且因子分析的计算也复杂得多。根据因子分析模型的特点，它还多一道工序：因子旋转（,factor rotation,）；这个步骤可以使结果更好。,当然，对于计算机来说，因子分析并不比主成分分析多费多少时间。,从输出的结果来看，因子分析也有因子载荷（,factor loading,）的概念，代表了因子和原先变量的相关系数。但是在因子分析公式中的因子载荷和主成分分析中的因子载荷位置不同。因子分析也给出了二维图；但解释和主成分分析的载荷图类似。,20,主成分分析与因子分析的公式上的区别,主成分分析,因子分析,(m,ex=eigen(cor(z),；,ex,$values,1 2.87331359 1.79666009 0.21483689 0.09993405 0.01525537,$vectors,house services employ school pop,pop 0.3427304-0.60162927 0.05951715-0.20403274 0.6894972617,school 0.4525067 0.40641449 0.68882245 0.35357060 0.1748611748,employ 0.3966948-0.54166500 0.24795775-0.02293716-0.6980136963,services 0.5500565 0.07781686-0.66407565 0.50038572-0.0001235807,house 0.4667384 0.41642892-0.13964890-0.76318182-0.0824254824,sweep(ex$ve,2,sqrt(ex$va),*),载荷,house services employ school pop,pop 0.5809571-0.8064212 0.02758650-0.064499538 8.516163e-02,school 0.7670373 0.5447561 0.31927265 0.111771968 2.159757e-02,employ 0.6724314-0.7260453 0.11492966-0.007250974-8.621352e-02,services 0.9323926 0.1043054-0.30780239 0.158183675-1.526378e-05,house 0.7911612 0.5581795-0.06472796-0.241259690-1.018059e-02,55,正交性验证,t(ex$ve)%*%ex$ve,house services employ school pop,house 1.00e+00 -5.55e-17 6.9e-17 -1.11e-16 0.00e+00,services -5.55e-17 1.00e+00 4.16e-17 0.00e+00 -8.33e-17,employ 6.94e-17 4.16e-17 1.00e+00 2.78e-17 5.38e-17,school -1.11e-16 0.00e+00 2.78e-17 1.00e+00 -1.39e-17,pop 0.00e+00 -8.33e-17 5.38e-17 -1.39e-17 1.00e+00,56,相关阵的特征值,:,(R,输出,),2.8733 1.7967 0.2148 0.0999 0.0153,特征向量矩阵,(,列向量,)A,(R,输出,),0.343-0.6016 0.0595-0.2040 0.689497,0.453 0.4064 0.6888 0.3536 0.174861,0.397-0.5417 0.2480-0.0229-0.698014,0.550 0.0778-0.6641 0.5004-0.000124,0.467 0.4164-0.1396-0.7632-0.082425,57,58,The SAS System 11:15 Sunday,September 22,2002,Eigenvalues of the Correlation Matrix,Eigenvalue Difference Proportion Cumulative,PRIN1 2.87331 1.07665 0.574663 0.57466,PRIN2 1.79666 1.58182 0.359332 0.93399,PRIN3 0.21484 0.11490 0.042967 0.97696,PRIN4 0.09993 0.08468 0.019987 0.99695,PRIN5 0.01526 .0.003051 1.00000,Eigenvectors,PRIN1 PRIN2 PRIN3 PRIN4 PRIN5,X1 0.342730 0.601629 0.059517 0.204033 0.689497,X2 0.452507 -.406414 0.688822 -.353571 0.174861,X3 0.396695 0.541665 0.247958 0.022937 -.698014,X4 0.550057 -.077817 -.664076 -.500386 -.000124,X5 0.466738 -.416429 -.139649 0.763182 -.082425,(SAS,输出,),59,销售人员数据,(salesmen.sav),（,50,个观测值）,销售增长 销售利润 新客户销售额 创造力 机械推理 抽象推理 数学推理,93.0096.0097.809.0012.009.0020.00,88.8091.8096.807.0010.0010.0015.00,95.00100.3099.008.0012.009.0026.00,101.30103.80106.8013.0014.0012.0029.00,102.00107.80103.0010.0015.0012.0032.00,95.8097.5099.3010.0014.0011.0021.00,95.5099.5099.009.0012.009.0025.00,110.80122.00115.3018.0020.0015.0051.00,102.80108.30103.8010.0017.0013.0031.00,106.80120.50102.0014.0018.0011.0039.00,103.30109.80104.0012.0017.0012.0032.00,99.50111.80100.3010.0018.008.0031.00,103.50112.50107.0016.0017.0011.0034.00,99.50105.50102.308.0010.0011.0034.00,60,特征值、累积贡献率,61,特征值图,62,二主成分因子负荷图,63,主成分的因子负荷,(,每列平方和为相应特征值,而每列除以相应特征值的平方根为相应的特征向量,),这是主成分与各个变量的相关系数,有的书把它当成特征向量了,SPSS,没有给出特征向量,64,The SAS System,Eigenvalues of the Correlation Matrix,Eigenvalue Difference Proportion Cumulative,PRIN1 5.03460 4.10108 0.719228 0.71923,PRIN2 0.93352 0.43560 0.133359 0.85259,PRIN3 0.49792 0.07667 0.071131 0.92372,PRIN4 0.42125 0.34021 0.060178 0.98390,PRIN5 0.08104 0.06070 0.011577 0.99547,PRIN6 0.02034 0.00900 0.002906 0.99838,PRIN7 0.01134 .0.001620 1.00000,Eigenvectors,PRIN1 PRIN2 PRIN3 PRIN4 PRIN5 PRIN6 PRIN7,SALE 0.433672 -.111754 -.075489 -.042373 0.632494 -.336596 -.527825,BENEFIT 0.420214 0.029287 -.442479 0.010753 -.000118 0.785342 -.099483,NEWSALE 0.421051 0.009202 0.204189 -.324928 -.701026 -.156811 -.399164,CREATIV 0.294286 0.668416 0.451492 -.302712 0.261008 0.114171 0.299960,MECHD 0.349092 0.294944 0.005922 0.846604 -.174263 -.196909 0.072311,ABSD 0.289167 -.642378 0.603780 0.153674 0.086959 0.236261 0.228444,MATHD 0.407404 -.200368 -.434040 -.246013 -.049583 -.371111 0.636224,(SAS,输出,),65,后面是因子分析,(Factor Analysis),66,因子分析,(,Factor,Analysis),67,男子径赛记录数据,(MTF,p384),100m 200m 400m 800m 1500m 5000m 10000m Marathon10.3920.8146.841.813.7014.0429.36137.72 argentin 10.3120.0644.841.743.5713.2827.66128.30australi 10.4420.8146.821.793.6013.2627.72135.90austria 10.3420.6845.041.733.6013.2227.45129.95belgium 10.2820.5845.911.803.7514.6830.55146.62bermuda 10.2220.4345.211.733.6613.6228.62133.13brazil,女子径赛记录数据,(FTF,p34),100m 200m 400m 800m 1500m 3000m Marathon,11.6122.9454.502.154.439.79178.52argentin,11.2022.3551.081.984.139.08152.37australi,11.4323.0950.621.994.229.34159.37austria,11.4123.0452.002.004.148.88157.85belgium,11.4623.0553.302.164.589.81169.98bermuda,11.3123.1752.802.104.499.77168.75brazil,.,68,人口普查数据,(census,p383),5.9414.22.272.272.911.5213.1.60.752.622.6012.71.241.111.724.0115.21.65.813.02,(,两个方法区别不大,),股票数据,(stock,p382),.00.00.00.04.00.03-.04.00-.01.04.12.06.09.09.08.06.03.07.01.02,.,69,1995,中国社会数据,(317.sav),变量,:,人均,GDP(,元,),新增固定资产,(,亿元,),城镇居民人均年可支配收入,(,元,),农村居民家庭人均纯收人,(,元,),高等学校数,(,所,),卫生机构数,(,个,),地区,:,北京 天津 河北 山西 内蒙 辽宁 吉林 黑龙江 上海 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 广西 海南 四川 贵州 云南 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆,(296,矩阵,),北京,10265 30.81 6235 3223 65 4955,天津,8164 49.13 4929 2406 21 3182,河北,3376 77.76 3921 1668 47 10266,山西,2819 33.97 3305 1206 26 5922,内蒙,3013 54.51 2863 1208 19 4915,.,于秀林书上说可有三个因子,:,收入因子,社会因子,投资因子,70,35,家中国上市公司,2000,年年报数据,(Chcomp.sav),变量,:,净资产收益率,%,总资产报酬率,%,资产负债率,%,总资产周转率,流动资产周转率,已获利息倍数,销售增长率,%,资本积累率,%,公司,:,深能源,深南电,富龙热力,穗恒运,粤电力,韶能股份,惠天热电,原水股份,大连热电,龙电股份,华银电力,长春经开,兴业房产,金丰投资,新黄 浦,浦东金桥,外高桥,中华企业,渝开发,辽房天,粤宏远,ST,中福,倍特高新,三木集团,寰岛实业,中关 村,中兴通讯,长城电脑,青鸟华光,清华同方,永鼎光缆,宏图高科,海星科技,方正科技,复华实业,(358,矩阵,),深能源,16.8512.3542.32.371.787.1845.7354.5,深南电,22.0015.3046.51.761.7715.6748.1119.41,富龙热力,8.977.9830.56.17.5810.4317.809.44,.,71,Spearmans Example,有一组古典文学、法语、英语、数学和音乐的测验成绩，从它们的相关性表明存在一个潜在的“智力”因子（,F,1,）。而另一组变量，表示身体健康的得分，只要有效就可以对应另一个潜在的因子（,F,2,）。记这些变量为,(X,1,X,p,).,我要寻求下面这样的结构：,72,73,正交因子模型：,X-,m,=AF+,e,m,i,=,变量,i,的均值,e,i,=,第,i,个特殊因子,F,i,=,第,i,个公共因子,a,ij,=,第,i,个变量在,第,j,个因子上的载荷,不能观测的值满足下列条件：,F,和,e,独立,E(F)=0,Cov(F)=I,E(,e,)=0,Cov(,e,)=,Y,Y,是对角矩阵,74,F,为公共因子向量,每个公共因子,(,如,F,i,),是对模型中每个变量都起作用的因子,;,而,e,为特殊因子向量,每个特殊因子,(,如,e,i,),只对一个变量,(,第,i,个,),起作用,.,75,因子分析的方法在于估计,S,=AA+,Y,和,Y,再分解以得到,A.,X,的协方差阵,S,可以,分解成,这里,l,1,l,2,l,p,为,S,的特征值,;,而,e,1,e,p,为相应的特征向量,(,e,1,e,p,为主成分的系数,因此称为主成分法,),.,上面分解总是取和数的重要的头几项来近似,.,76,X,的协方差阵,S,可以近似为,(,如,Y,忽略,),如,Y,不忽略,S,可以近似为,应用中,S,可以用样本相关阵,R,代替,.,77,正交模型,X=,m,+AF+,e,的协方差结构,根据前面模型，可以得出下面结果：,上面,s,ii,2,=,S,j,a,ij,2,+,y,i,2,中,S,j,a,ij,2,称为,共性方差,(,公共方差,或,变量共同度,common variance,communalities),，而,y,i,2,称为,特殊方差,.,变量共同度刻画全部公共因子对变量,X,i,的总方差所做的贡献,.,78,的统计意义就是第,i,个变量与第,j,个公共因子的相关系数,表示,X,i,依赖,F,j,的份量,这里,e,ij,是相应于特征值,l,i,的特征向量,e,i,的第,j,个分量,.,因子载荷阵中各列元素的平方和,S,j,=,S,i,a,ij,2,称为公共因子,F,j,对,X,诸变量的方差贡献之总和,因子载荷,79,除主成分法外还有最大似然法来估计,A,m,和,Y,(,在多元正态分布的假定下,).,当然,还有其他方法,(,有些互相类似,).,80,令,T,为任意,m,正交方阵,(TT=TT=I),则,X-,m,=AF+,e=,ATTF+,e=A,*,F,*,+,e,这里,A,*,=,AT,F,*,=,TF.,因此,S,=AA+,Y,=ATTA+,Y,=(A,*,)(A,*,)+,Y,也就是说,因子载荷,A,只由一个正交阵,T,决定,.,载荷,A,*,=,AT,与,A,都给出同一个表示,.,由,AA=(A,*,)(A,*,),对角元给出的共性方差,也不因,T,的选择而改变,.,81,正交变换,T,相当于,刚体,旋转,(,或反射,),因子载荷,A,的正交变换,AT,称为,因子旋转,估计的协方差阵或相关阵,残差阵,特殊方差及共性方差都不随旋转而变,.,这里“残差阵”为协方差阵或相关阵与估计的,AA+,Y,之差,.,82,因子旋转的,一个,准则为最大方差准则,.,它使旋转后的因子载荷的总方差达到最大,.,如,即要选变换,T,使下式最大,(,计算机循环算法,),83,需要由,X=AF,变成,F=,b,X.,或,F,j,=,b,j1,X,1,+,b,jp,X,p,j=1,m,称为,因子得分,(,函数,),.,这通常用加权最小二乘法或回归法等来求得,.,84,总结,模型,X=,m,+AF+,e,因子分析的步骤,1,根据问题选取原始变量,2,求其相关阵,R,探讨其相关性,3,从,R,求解初始公共因子,F,及因子载荷矩阵,A(,主成分法或最大似然法,),4,因子旋转,5,由,X=AF,到,F=bX(,因子得分函数,),6,根据因子得分值进行进一步分析,85,回到数值例子,回到我们成绩例子,.,86,洛衫矶对,12,个人口调查区的数据,(data15-01),编号,总人口,总雇员数,中等校,专业服务,中等房价,平均校龄,项目数,1570012.8250027025000,2100010.96001010000,334008.81000109000,4380013.6170014025000,5400012.8160014025000,682008.326006012000,7120011.44001016000,8910011.533006014000,9990012.5340018018000,10960013.7360039025000,1196009.633008012000,12940011.4400010013000,87,StatisticsData Reduction Factor:,Variables:,pop,school,employ,service,house,Descriptive:,Statistics(,Univariate Descriptives,Initial solution,),Correlation Matrix(,Coefficients,Significance levels,),Extraction:,Method(,Principal component,),Analyze(,Correlation matrix,),Extract(,Number=2 factors,)Display(,Unrotated factor solution,Scree plot,),Maximum Iterations for(,25,),Rotation:,Method(,Varmax,),Display(,Rotated solusion,Loading plot,),Maximum Iterations for(,25,),Score:,Save as variables,Method,(Regression,),Display factor score coefficient matrix,Options:,Missing Value(,Exclude cases Listwise,),Coefficient display format(,Sorted by size,),88,89,90,共同度,S,j,a,ij,91,92,旋转前的因子载荷,93,旋转后的因子载荷,第一主因子对中等房价,中等校平均校龄,专业服务项目有绝对值较大的载荷,(,代表一般社会福利,-,福利条件因子,);,而第二主因子对总人口和总雇员数有较大的载荷,(,代表人口,-,人口因子,).,正交变换阵,94,旋转后的,因子载荷图,95,因子得分的计算基础,(,F=,b,X,),中的,b,。,把,n,个观测值代入得到,FACT_1,和,FACT_2,存入数据对每个观测值有两个因子得分,(,一点,),F,j,=,b,j1,X,1,+,b,j5,X,5,j=1,2,96,因子得分之间不相关,97,销售人员数据,(salesmen.sav),（,50,个观测值）,销售增长 销售利润 新客户销售额 创造力 机械推理 抽象推理 数学推理,93.0096.0097.809.0012.009.0020.00,88.8091.8096.807.0010.0010.0015.00,95.00100.3099.008.0012.009.0026.00,101.30103.80106.8013.0014.0012.0029.00,102.00107.80103.0010.0015.0012.0032.00,95.8097.5099.3010.0014.0011.0021.00,95.5099.5099.009.0012.009.0025.00,110.80122.00115.3018.0020.0015.0051.00,102.80108.30103.8010.0017.0013.0031.00,106.80120.50102.0014.0018.0011.0039.00,103.30109.80104.0012.0017.0012.0032.00,99.50111.80100.3010.0018.008.0031.00,103.50112.50107.0016.0017.0011.0034.00,99.50105.50102.308.0010.0011.0034.00,98,99,100,101,102,103,旋转后的因子载荷,第一主因子对除了抽象推理和数学推理之外的有绝对值较大的载荷,(,创造机械因子,);,而第二主因子为数学抽象因子,.,但两个因子解释利润和新销售差不多,.,104,105,106,结束主成分和因子分析,后面是些附录内容，不必认真,返回选择？,