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第四章 涡轮机相似原理
相似理论广泛应用于各科学领域。它对涡轮机的发展和实践起了重要作用。众所周知，涡轮机是靠理论与试验的紧密结合而发展的。流体在涡轮机中的运动是相当复杂的，作理论分析时往往引入某些必要的假设和简化，使理论结果与实际流动之间出现偏差。因此，用理论分析方法得到的结果必须经试验验证和修正。特别是在需要进行大量的对比试验时遇到了制造大量实物的困难。假若通过与实物相似，但尺寸大大缩小的模型进行试验就要容易得多。然而根据什么原则把实物缩小成模型以及怎样把模型测试结果还原到实物上去呢？这就要找到模型现象与实物现象之间的内在联系，这种联系正是涡轮机相似理论要解答的中心问题。
涡轮机构似原理可以应用于许多方面：诸如，设计新型涡轮机、扩大优性能涡轮机的品种以及我们所关心的风机选择和运转等方面。
§1 相 似 条 件
涡轮机相似的最主要标志是它们的特性相似。而涡轮机特性主要取决于流体在涡轮中的流动状况。因此．涡轮机相似立足于水力相似，涡轮机相似原理是流体力学中水力相似原理的应用结果。
自流体力学可知，水力相似包括边界相似、运动相似和动力相似三方面的函义。对于涡轮机来讲也是如此。
1．边界相似
指流动几何相似和边界性质相同。彼此相似的涡轮机的叶轮和主要通流部件中的流体流动几何相似，彼此相应的几何尺寸成相同比例，对应的同名角相等。表征边界性质的叶轮和主要通流部件的固体壁面水力性质相同，几何形状相似。
2．运动相似
指流动的各相应点的速度方向相同，大小成比例。彼此相似涡轮机上各对应点处的速度三角形相似。
3．动力相似
指流动的各相应点处质点所受诸同名力成比例。对于彼此相似的涡轮机主要是要求其雷诺准则，即雷诺数Re=uD/γ（式中u —— 叶轮外缘速度，D —— 叶轮外缘直径，γ —— 运动粘性系数）相等或不大于5倍。实际上要做到Re相等，有时有实际困难，考虑到管流Re＞105时粘滞力不再与Re有关，而且自动保持动力相似，所以不严格要求Re相等。但也应尽量做到阻力系数接近，相差不宜过大。
以离心涡轮机为例。图4-1为实物与模型叶轮及其中流体运动图样。根据上述边界相似、运动相似和动力相似，可以分别写出下列关系：
在边界相似条件下
，，，，……
，，…… （1-58）
在运动相似条件下
，，……
，，…… （1-59）
在动力相似条件下，彼此效率接近，可以认为
（1-60）

必须指出，边界相似是运动相似的先决条件。没有边界相似就没有运动相似，但在边界相似条件下不一定运动相似，只有涡轮机工作于相应工况时才能运动相似。这是因为涡轮机速度三角形不仅取决于边界条件，而且取决于工况，不同工况时的速度三角形不同。彼此相似的涡轮机工作时，速度三角形相似情况下的工况称为相应工况。在其中一台特性上任选一工况，必然在另一台特性上找到与之相应的工况。额定工况是相似工况中的一对，在研究涡轮机时，通常以该对工况作为分析的对象。
§2 比 例 定 律
彼此相似的涡轮机的相应工况参数之间存在着一定的关系。仍以离心涡轮机为例寻求这种关系。设两涡轮机相应工况的压头值和流量分别为
，
和
，
为了找出相似条件下，这些参数之间的关系可做如下变换
，
和
，
对比压头值

对比流量值

根据相似的函义，由比值中消去相等的项，得到
（1-61）
和
（1-62）
以关系代入上式的，以代换，得
（1-63）
（1-64）
因功率之比，则
（1-65）
（1-66）
同理，对于轴流式涡轮机，有
（1-67）
（1-68）
（1-69）
（1-70）
式(1-63)~(1-66)和(1-67)~(1-70)式分别表示了离心式和轴流式涡轮机相似工况参数之间的关系。它说明相似涡轮机相似工况的压头随流体密度比的一次方、直径比的平方和转速比的平方之积而变，流量随直径比的三次方和转速比的一次方之积而变，功率则随流体密度之比的—次方、直径比的五次方和转速比的三次方之积而变，效率则保持不变。
利用此关系可以将设计好的实物缩小成模型，依模型试验结果推算出实物的特性。现就后者举例下。
[例题l-3] 一台轴流式风机模型，直径D′ = 0.7m，转速n′＝1500r/min。根据试验所得性能参数列于表l-3，其特性曲线示于图4-2。现拟按相似原理将模型放大成D′ = 1.8m，n＝985r/min的实物风机，工作介质不变，试推算其特性。
解：
1) 计算换算系数 依式(1-67)~(1-70)得

又因雷诺数之比

故可认为

2) 计算实物特性参数并绘制特性曲线，根据已得到的换算式，将表1-3数据分别代入上述各式，得到相应的参数，列于表1-4。依表中数据绘制实物特性曲线，如图4-2所示。

对比模型和推算的实物特性曲线可知，它们的几何形状类似，只是绝对数值有差别，这正是相似的特征。
上述得到的相似涡轮机参数之间的关系也可用于某一风机。对某一具体风机而言，其本身对本身的几何形状不仅相似而且相同。因此可令式（1-63）~（1-70）中的，（介质不变），得到转速变化时相应工况参数之间的关系：
（1-71）
（1-72）
（1-73）
当 （1-70）
式(1-71)~(1-74)说明，某涡轮机转速变化时，相应工况的压头、流量和功率分别按转速比的平方、一次方和三次方而变。这种关系称为比例定律。
涡轮机转速变化时，其压头特性曲线上的每一点都沿着通过该点的特定轨迹曲线移动。如图4-3所示，点1为转速n1时的特性曲线上的一点，当转速顺序变化至n2、n3和n4时，点l相应变比至2、3和4。由点1到4移动的轨迹曲线可自式(1-71)和(1-72)中消去转速比后，得到
（1-75）
式中H′和Q′为点1的参数。该式来自相应参数关系式，因此它表达了相应工况移动的轨迹曲线，称为比例曲线。显然，比例曲线是一条通过确定工况和H-Q坐标图原点的二次抛线。

同理，由式(1-72)和(1-73)可得功率特性的比例曲线表达式
（1-76）
这是一条通过（N′，Q′）和N-Q坐标图原点的三次抛物线。
顺便指出，在转速变化的一定范围内，比例曲线与等效率曲线（图4-3的虚线）重合。这说明推导相应工况参数关系式时，关于效率不变的假设与实际相符。
利用比例定律可以方便地由某一转速特性推算出另一转速时的特性。例举如下。
[例题1-4] 某泵额定转速时的特性如图4-4所示。该泵用异步电动机拖动，由于供电电压下降使泵转速下降5％，试估算转速下降后的特性。

解：
1) 在泵扬程特性曲线H上取苦干点，例如取九个点和九组参数值（H、Q、N和η）
列于表l-5。

2) 计算换算系数 由于转速下降5％，故转速比。将此比值代入式(1-71)~(1-74)，得换算式

3) 计算相应参数值并绘制特性曲线 将表1-5中原特性参数代入上述各换算式，求出相应的九组参数值，列入同一表中。依后者绘制出转速下降5％的特性曲线，如图4-4中之曲线H′、N′和η′分别表示扬程、功率和效率特性曲线。
§3 类 型 特 性
彼此相似的涡轮机归于一系列或一类，称为同系列或同类型涡轮机。同类涡轮机中各涡轮机的特性有共同之处，也有不同之处。共同之处表现为几何形状相似（参看图4-），
不同之处表现为参数的绝对值不同。特性形状相似来自于涡轮机的相似，特性参数绝对值的不同来自涡轮机绝对尺寸和转速不同。假若我们从特性参数中剔除那些与涡轮机绝对尺寸和转速有关的因素，则可得到表达它们共同特征的特性，称为类型特性。
变换同类型涡轮机相应工况参数间的关系式(1-61)和(1-62)并把它推广到同类的诸涡轮机，得到
（1-77）
（1-78）
很明显
（1-79）
这组表达式说明，同类涡轮机的、和彼此相等。称为压头系数、为流量系数和为功率系数。
为了说明这些系数的性质，由式(1-37)和(1-41)得：

式中右边各项均系与涡轮机绝对尺寸和转速无关的系数或比值，故、和为表达同类涡轮机特性共同特征的系数。又因为它们是无量纲的系数，故亦称无维系数。
类型特性广泛用于通风机行业。各国采用的类型系数表达式不同，我国采用的表达式如下：
全压系数 （1-80）
静压系数 （1-81）
流量系数 （1-82）
功率系数 （1-83）
式中 D —— 叶轮外缘直径；
u —— 叶轮外缘圆周速度。
利用这些系数可以绘制、和等关系曲线，称为类型特性曲线。很明显，类型特性曲线可以由该类中任一台涡轮机的个别特性换算而得；反之，由类型特性也可以换算得到任一台具体涡轮机的特性。
[例题1-5] 求出[例题1-3]给定的风机的类型特性。
解：因模型和实物风机是相似的，属同一类型。因此根据其中任一台的特性参数均可求出类型特性的数据。现以模型机参数为依据求解如下：
1) 求类型特性系数换算式 将式(1-80)、(1-82)和(1-83)变换为直径D和转速n的函数并以D＝0.7m， n＝1500r/min和p＝1.196kg/m3代入，得：
全压系数
流量系数
功率系数
2) 计算类型系数并绘制类型特性曲线 将表1-3的模型特性参数分别代入换算式，求出相应的类型系数值，列于表1-6。依所得数据绘制类型特性曲线如图4-5所示。
表1-6

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

0.067
0.141
0.202
0.261
0.322
0.383
0.422
0.458
0.425
0.344
0.449

0.387
0.369
0.348
0.328
0.302
0.273
0.248
0.121
0.167
0.116
0.043

0.076
0.089
0.099
0.107
0.114
0.118
0.118
0.114
0.101
0.094
0.127

0.34
0.59
0.72
0.81
0.87
0.89
0.90
0.87
0.73
0.43
0.16

利用类型特性可以比较不同类型涡轮机的性能，推断某类型涡轮机扩大的产品性能。另外，借助类型特性可以从某类产品中方便地选出适合某条件的涡轮机（风机）。对此，将在后续内容中阐述。
§4 比 转 数
比转数是涡轮机相似的一项派生准则。设两台彼此相似涡轮机的尺寸、转速和额定工况参数分别为D、n、H、Q和Ds、ns、Hs、Qs，又因其额定工况是相应工况，故应满足相应工况关系式(1-67)和(1-68)。将有关数值代入，得：
和
由两式中消去比值D/Ds，得：

此式说明相似涡轮机的该组合值相等。若令Qs=1和Hs=1，则有：
（1-84）
此时，ns表示在相似条件下，额定工况或效率最高时产生1单位流量和1单位压头的标准涡轮机的转速，称为比转数。很明显，同类涡轮机的标准涡轮机转速——比转数相等，不同类型涡轮机的比转数不等。
各国采用的比转数计算式和单位流量、单位压头的单位不一样。我国通风机行业和水泵行业所用的表达式和单位分别为：
对于风机
（1-85）
式中 n —— 风机额定转速（r/min）；
Q —— 额定流量（m3/s）；
H20 —— 20℃时空气密度下的额定风压值（daPa）。
对于水泵
（1-84）
式中 n —— 水泵额定转速（r/min）；
Q —— 额定流量（m3/s）；
H —— 额定扬程（m）。
鉴于不同类型涡轮机比转数不同，用类型涡轮机比转数相同的特点，可以按比转数分类涡轮机。图4-6为不同比转数涡轮机的叶轮，离心式涡轮机比转数低，轴流式涡轮机比转数高，混流式居中。
☆ 式（1-82）中的3.65来源于水轮机。当时，它的表达式是，其中，HP（马力）将此关系式和代入后即得到式（1-86）。

最后应指出，计算比转数时应以单个叶轮的参数为依据。对于多级泵，其扬程应除以级数，对双入口涡轮机，其流量应除以2。