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平行线的证明
【知识回顾】
1、定义
指一些术语和名称，对它们的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
2、命题
判断一件事情的句子，叫做命题．命题的定义包含两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情作出肯定或者否定的判断，两者缺一不可．
3、命题的组成
每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，其中，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
4、真命题、假命题、反例
正确的命题称为真命题；
不正确的命题称为假命题；
举一个例子，若具备命题的条件，而不具有命题的的结论，这种例子称为反例．
5、公理、定理、证明
公认的真命题称为公理；
有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的命题叫做定理；
推理的过程称为证明．
在理解公理、定理、证明这三个概念时要注意：
（1）对于公理：①公理是不需要推理论证的真命题；②公理可以作为判定其它命题真假的依据．
（2）对于几何定理：①定理都是真命题，但真命题不一定都是真定理；②定理可以作为推证其他命题的依据．
（3）对于几何证明，证明的一般步骤是：①理解题意；②根据题意正确画出图形；③根据题意写出“已知”和“求证”；④分析题意，探索证明的思路；⑤依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；⑥检查表达过程是否正确完善．
6、本教材采用的公理
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
（2）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3）两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
（4）两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
（5）三边对应相等的两个三角形全等；
（6）全等三角形的对应边相等，对应角相等；
（7）等式（或不等式）的有关性质可以看作公理；
（8）在等式（或不等式）中，一个量可以用它的等量代替，即“等量代换”．
7、平行线的判断
公理：同位角相等，两直线平行．
定理：同旁内角互补，两直线平行；
内错角相等，两直线平行．
推理：平行于同一直线的两直线平行；
垂直于同一直线的两直线平行．
8、平行线的特征
公理：两直线平行，同位角相等．
定理：两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补．
9、三角形内角和、外角和定理
定理：三角形三个内角的和等于180°．
推理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形的外角和是360°．
10、补充
直线与直线（）的位置关系：与平行；
多边形内角和公式：（n－2）×180°；
多边形外角和定理：n边形外角和等于360°．

1、定义与命题
【例1】下列语句是命题的是（ ）
A．作直线AB的垂线 B．在线段AB上取点C
C．同旁内角互补 D．垂线段最短吗？
【变式练习1】下列语句不是命题的是（ ）
A．相等的角不是对顶角 B．两直线平行，内错角相等
C．两点之间线段最短 D．过点O作线段MN的垂线
【变式练习2】下列说法中，错误的是（ ）
A．所有的定义都是命题 B．所有的定理都是命题
C．所有的公理都是命题 D．所有的命题都是定理
【例2】下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．若a⊥c，b⊥c，则a⊥b B．若a∥b，b∥c，则a∥c
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b D．若a⊥c，b∥a，则b⊥c
【变式练习1】“一次函数y=kx-2，当k>0时，y随x的增大而增大”是一个_______命题（填“真”或“假”）．
【变式练习2】下列命题为假命题的是（　　）
A．三角形三个内角的和等于180° B．三角形两边之和大于第三边
C．三角形两边的平方和等于第三边的平方
D．三角形的面积等于一条边的长与该边上的高的乘积的一半
【例3】命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）
A．垂直 B．两条直线
C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线
【变式练习1】把“同旁内角互补，两直线平行”写成“如果 ，那么 ”．
【变式练习2】在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，CM、FN分别是AB、DE边上的中线，再从以下三个条件①AB=DE，②AC=DF，③CM=FN中任取两个条件做为条件，另一个条件做为结论，能构成一个真命题，那么题设可以是 ①②，结论是 ③．（只填序号）
【例4】对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50°
C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40°
【变式练习1】证明命题“若x（1-x）=0，则x=0”是假命题的反例是 ．
【变式练习2】用反证法证明命题：如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF．证明的第一步应是（　　）
A．假设CD∥EF B．假设CD不平行于EF
C．假设AB∥EF D．假设AB不平行于EF
【例5】下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的 B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是公理 D．定理都是真命题
【变式练习1】“两点之间线段最短”是_________（填“定义”或“公理”或“定理”）．
【变式练习2】“两条直线相交成直角，就叫做两条直线相互垂直”这句子是（ ）
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理

2、平行线的判定和性质

【例1】（2013年辽宁抚顺）如图，直线l1、l2被直线l3、l4所截，下列条件，不能判断直线l1∥l2的是（　　）

A．∠1=∠3 B．∠5=∠4 C．∠5+∠3=180° D．∠4+∠2=180°
【变式练习1】（2013年贵州铜仁）如图，在下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　）

A．∠DAC=∠BCA B．∠DCB+∠ABC=180° C．∠ABD=∠BDC D．∠BAC=∠ACD
【变式练习2】如图，给出了过直线外一点画已知直线的平行线的方法，其依据是（　　）

A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
【变式练习3】学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图（1）～（4）），从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行．

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【例2】（2013年贵州遵义）如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（　　）
A．60° B．65° C．70° D．80°
【变式练习1】如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=（　　）
A．20° B．40° C．70° D．80°
【变式练习2】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．14° B．15° C．20° D．30°

【例3】如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积是 ．

【变式练习1】如图，若AB∥CD∥EF∥GH，∠OAB=∠AOG=108°，AO⊥OE，CO⊥OG，则∠OCD+∠OEF= （这里∠OCD，∠OEF均小于180°）．

【变式练习2】已知射线AB∥射线CD，点E、F分别在射线AB、CD上．

（1）如图1，点P在线段EF上，若∠A=25°，∠APC=70°时，则∠C= ；
45°（2）如图1，若点P在线段EF上运动（不包括E、F两点），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系
是 ，∠APC=∠A+∠C证明你的结论；
（3）①如图2，若点P在射线FE上运动（不包括线段EF），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系
是 ∠APC=∠C-∠A；②如图3，若点P在射线EF上运动（不包括线段EF），则∠A、∠APC、∠C之间的等量关系是 ∠APC=∠A-∠C．
【变式练习3】如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）
（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．

3、三角形内角和定理
【例1】（2013年福建泉州）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式练习1】如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=128°，∠C=36°，则∠DAE的度数是（　　）
A．10° B．12° C．15° D．18°
【变式练习2】如图，AB⊥AC，CD、BE分别是△ABC的角平分线，AG∥BC，AG⊥BG，下列结论：①∠BAG=2∠ABF；②BA平分∠CBG；③∠ABG=∠ACB；④∠CFB=135°．其中正确的结论是（　　）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【变式练习3】如图所示是D，E，F，G四点在△ABC边上的位置．根据图中的符号和数据，求x+y的值（　　）
A．110 B．120 C．160 D．165

【例2】一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（　　）
A．165° B．120° C．150° D．135°
【变式练习1】如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（　　）

A． B． C． D．

【变式练习2】如图，已知△ABC中，∠B=∠E=40°，∠BAE=60°，且AD平分∠BAE．
（1）求证：BD=DE；
（2）若AB=CD，求∠ACD的大小．

【例3】如图：∠ABC与∠ACG的平分线交于F1；∠F1BC与∠F1CG的平分线交于F2；∠F2BC与∠F2CG的平分线交于F3；如此下去，…探究∠Fn与∠A的关系（n为自然数）．

【变式练习1】已知△ABC中，∠BAC=100°．
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC=170°时，是几等分线的交线所成的角．

【变式练习2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．

4、培优训练
【例1】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A
∴∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
（4）运用：如图5，五边形ABCDE中，∠BCD、∠EDC的外角分别是∠FCD、∠GDC，CP、DP分别平分∠FCD和∠GDC且相交于点P，若∠A=140°，∠B=120°，∠E=90°，则∠CPD= 95度．

【例2】如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．

【例3】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．

【例4】如图，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒x个单位长度沿x轴的负方向运动，点B以每秒y个单位长度沿y轴的正方向运动．
（1）若|x+2y﹣5|+|2x﹣y|=0，试分别求出1秒钟后A、B两点的坐标；

（2）设∠BAO的邻补角和∠ABO的邻补角的平分线相交于点P，
问：点A、B在运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

（3）如图，延长BA至E，在∠ABO的内部作射线BF交x轴于点C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分线相交于点G，过点G作BE的垂线，垂足为H，试问∠AGH和∠BGC的大小关系如何？请写出你的结论并说明理由．

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