求极限的方法及例题总结.docx

1．定义：
说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；
（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。

利用导数的定义求极限
　这种方法要求熟练的掌握导数的定义。

2．极限运算法则
定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1）
（2）
（3）
说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。

8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限
例1
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。

例2
解：原式= 。
例3
解：原式 。

3．两个重要极限
（1）
（2） ；
说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
例如：，，；等等。

利用两个重要极限求极限
例5
解：原式= 。
注：本题也可以用洛比达法则。
例6
解：原式= 。

例7
解：原式= 。

4．等价无穷小
定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。
定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
～～～～～～ 。
说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价
关系成立，例如：当时， ～ ； ～ 。
定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即=。

利用等价无穷小代换（定理4）求极限
例9
解：～，～，
原式= 。
例10
解：原式= 。
注：下面的解法是错误的：
原式= 。
正如下面例题解法错误一样：
。
例11
解：，
所以， 原式= 。（最后一步用到定理2）

五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
例 1. 2.

5．洛比达法则
定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：（1）和的极限都是0或都是无穷大；
（2）和都可导，且的导数不为0；
（3）存在（或是无穷大）；
则极限也一定存在，且等于，即= 。
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

利用洛比达法则求极限
说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12 （例4）
解：原式= 。（最后一步用到了重要极限）
例13
解：原式= 。
例14
解：原式== 。（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
例15
解：

例18
解：错误解法：原式= 。
正确解法：

应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
例19
解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法则后得到：，此极限
不存在，而原来极限却是存在的。正确做法如下：
原式= （分子、分母同时除以x）
= （利用定理1和定理2）

6．连续性
定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。

利用函数的连续性（定理6）求极限
例4
解：因为是函数的一个连续点，
所以 原式= 。

7．极限存在准则
定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
例1. 设，
求极限。

定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足：
（1）
（2） ，
则极限一定存在，且极限值也是a ，即。

10. 夹逼定理

利用极限存在准则求极限
例20 已知，求
解：易证：数列单调递增，且有界（0<<2），由准则1极限存在，设 。对已知的递推公式 两边求极限，得：
，解得：或（不合题意，舍去）
所以 。
例21
解： 易见：
因为 ，
所以由准则2得： 。

9. 洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。

11. 泰勒展开法

12. 利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。

　　 8. 利用复合函数求极限

十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是：若级数收敛，则，故对某些极限，可将函数作为级数的一般项，只须证明此技术收敛，便有。
例

十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
例 求
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加 （来消掉中间的大多数） （对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限） 例如知道Xn与Xn+1的关系， 已知Xn的极限存在的情况下，  xn的极限与xn+1的极限时一样的 ，应为极限去掉有限项目极限值不变化

11 还有个方法  ，非常方便的方法
  就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方 快于  x！   快于  指数函数   快于   幂数函数   快于        对数函数 （画图也能看出速率的快慢）  !!!!!!
当x趋近无穷的时候  他们的比值的极限一眼就能看出来了

12 换元法  是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元， 但是换元会夹杂其中  

16直接使用求导数的定义来求极限 ，
  （一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，    看见了有特别注意）

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