大学物理授课教案 第三章 动量守恒和能量守恒定律.doc

第三章 动量守恒和能量守恒定律 沈阳工业大学 郭连权（教授）
第三章 动量守恒和能量守恒定律
§1-1质点和质点系的动量定理
一、质点的动量定理
1、动量
质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量，记为。
（3-1）
说明：⑴是矢量，方向与相同
⑵是瞬时量
⑶是相对量
⑷坐标和动量是描述物体状态的参量

2、冲量
牛顿第二定律原始形式

由此有
积分： （3-2）
定义：称为在时间内力对质点的冲量。
记为 （3-3）
说明：⑴是矢量
⑵是过程量
⑶是力对时间的积累效应
⑷的分量式

∵ （3-4）
∴分量式（3—4）可写成 （3-5）
、、是在时间内、、平均值。

3、质点的动量定理
由上知 （3-6）
结论：质点所受合力的冲量=质点动量的增量，称此为质点的动量定理。
说明：⑴与同方向
⑵分量式 （3-7）
⑶过程量可用状态量表示，使问题得到简化
⑷成立条件：惯性系
⑸动量原理对碰撞问题很有用
二、质点系的动量定理
概念：系统：指一组质点
内力：系统内质点间作用力
外力：系统外物体对系统内质点作用力
设系统含个质点，第个质点的质量和速度分别为、，对于第个质点受合内力为，受合外力为，由牛顿第二定律有

对上式求和，有

因为内力是一对一对的作用力与反作用力组成，故，
有 （3-8）
结论：系统受的合外力等于系统动量的变化，这就是质点系的动量定理。
式（3-8）可表示如下
（3-9）
即 （3-10）
结论：系统受合外力冲量等于系统动量的增量，这也是质点系动量定理的又一表述。

例3-1：质量为的铁锤竖直落下，打在木桩上并停下。设打击时间，打击前铁锤速率为，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均和外力的大小为？
解：设竖直向下为正，由动量定理知：

强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量

例3-2：一物体受合力为（SI），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？
解：设物体沿+x方向运动，
N·S（沿方向）
N·S（沿方向）

∵
∴

例3-3：如图3-1，一弹性球，质量为kg，
速率m/s，与墙壁碰撞后跳回。设跳回
时速率不变，碰撞前后的速度方向和墙的法
线夹角都为 °，
⑴求碰撞过程中小球受到的冲量
⑵设碰撞时间为s，求碰撞过程中
小球 受到的平均冲力
解：⑴
如图3-1所取坐标，动量定理为
〈方法一〉用分量方程解

N·S
〈方法二〉用矢量图解

如上图3-1所示。
∵,∴
故为等边三角形。
m/s,沿方向
∴N·S，沿方向。
⑵
N
注意：此题按求困难（或求不出来）时，用公式求方便。
§3-2动量守恒定律
由式（3-8）知，当系统受合外力为零时
(3-11)
即系统动量不随时间变化,称此为动量守恒定律。
说明：⑴动量守恒条件：，惯性系。
⑵动量守恒是指系统的总动量守恒，而不是指个别物体的动量守恒。
⑶内力能改变系统动能而不能改变系统动量。
⑷时，若在某一方向上的分量为零，则在该方向上系统的动量分量守恒。
⑸动量守恒是指（不随时间变化），∴此时要求。
⑹动量守恒是自然界的普遍规律之一。

例3-4：如图3-2，质量为的水银球，竖直地落到
光滑的水平桌面上，分成质量相等的三等份，
沿桌面运动。其中两等份的速度分别为、，
大小都为0.30m/s。相互垂直地分开，试求第
三等份的速度。
解：〈方法一〉用分量式法解
研究对象：小球
受力情况：只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平
方向不受力，故水平方向动量守恒。
在水平面上如图3-2取坐标，有

∴
〈方法二〉用矢量法解
∵
及
∴
即
即有图3-3。可得
m/s
得
强调：要理解动量守恒条件

例3-5：如图3-4，在光滑的水平面上，有一质量为长为的小车，车上一端有一质量为的人，起初 、均静止，若人从车一端走到另一端时，则人和车相对地面走过的距离为多少？
解：研究对象：、为系统
∵此系统在水平方向受合外力为零，
∴在此方向动量守恒。
〈方法一〉 （对地）

即
如图所取坐标，标量式为

即
积分（，在A处，，在B处）

即
得
由图3-4知：
<方法二〉
标量式：
即
积分：
①
可知： ②
由①、②得：

例3-6：质量为的人手里拿着一个质量为的物体，此人用以与水平方向成角的速率向前跳去。当他达到最高点时，他将物体以相对于人为的水平速率向后抛出，问：由于人抛出物体，他跳跃的距离增加了多少？（假设人可视为质点）
解：如图3-5，设P为抛出物体后人达到的最高点，
、分别为抛球前后跳跃的距离。
研究对象：人、物体组成的系统，
∵ 该系统在水平方向上合外力=0，
∴ 在水平方向上系统的动量分量守恒。
设在P点，人抛球前、后相对地的速度分别为、
，在P点抛球后球相对地速度为，有

标量式：
即
得：

强调：，。因为是与同时产生的，而人速度为时，还没产生
§3-3碰撞
一、碰撞
碰撞
特点：⑴碰撞时物体间相互作用内力很大，其它力相对比较可忽略。
即碰撞系统合外力=0。故动量守恒。
⑵机械能
二、完全弹性碰撞
1、对心情况（一维）
如图3-6，以与为系统，碰撞中
（3-12）
（3-14）

（，沿+x方向；反之，沿-x方向）
解得： （3-15）
讨论：⑴（交换速度）
⑵

2、非对心情况
设，且，可知，、系统动量及动能均守恒，即
（3-16）
（3-17）
可知，、、是以为斜边的直角三角形，如图3-7。
§3-4动能定理
一、功
定义：力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。
1、恒力的功
恒力：力的大小和方向均不变。
如图3-8，功为 (3-18)
即
(3-19)
说明：⑴为标量

⑵功是过程量
⑶功是相对量
⑷功是力对空间的积累效应
⑸作用力与反作用力的功其代数和不一定为零。
2、变力的功
设质点做曲线运动，如图3-9。为变力，在第个位移元中，看作恒力，对物体做功为

质点从过程中，对质点做的功为

功的精确数值为

即：
（3-20）

讨论：⑴恒力功

⑵直线运动
设，如图3-10，质点在中，
功为

⑶合力功
设质点受个力，，，…，，合力功为

二、功率
定义：力在内对物体做功为，下式

称为在时间间隔内的平均功率。下式

称为瞬时功率，即
（3-21）
三、质点的动能定理
1、动能
定义： （3-20）
式（3-20）中，、分别为物体质量和速率。称为质点的动能。
说明：⑴为标量；
⑵为瞬时量；
⑶为相对量。
2、质点的动能定理
设做曲线运动，如图3-11，合力为，在a、b二点速度分别为、。在c点力为，位移为，由牛顿定律有：
（切线上）
即

即
做如下积分：

可写成：
（3-21）
结论：合力对质点作的功等于质点动能的增量,称此为质点的动能定理。
说明：⑴
⑵为过程量，为状态量，过程量用状态量之差来表示，简化了计算过程。
⑶动能定理成立的条件是惯性系。
⑷功是能量变化的量度。
例3-7：如图3-12，篮球的位移为，与水平线成角，
，球质量为，求重力的功。
解：⑴研究对象：球
⑵重力为恒力
⑶
强调：恒力功公式的使用.
例3-8：如图3-13，远离地面高处的物体质量为，由静
止开始向地心方向落到地面，试求：地球引力对
做的功。
解：c点：

例3-9：力(SI)作用在的质点上。物体沿x轴运动，时，。求前二秒内对作的功。
解：⑴研究对象：
⑵直线问题，沿+x轴方向
〈方法一〉按作
在此有：
∵
∴
做如下积分：
有
∵ 即
∴
〈方法二〉用动能定理作

例3-10：质量为的物体作直线运动，受力与坐标关系如图3-14所示。若时，，试求时，
解：在到过程中，外力功为

由动能定理为：

即

§3-5 保守力与非保守力 势能
一、万有引力、重力、弹性力的功及其特点
1、万有引力功及特点
如图3-15，设质量为物体在质量为的引力场中运动，
（不动），从中，引力功=？

在任一点c处， （变力）
（3-22）
∵ ∴
又 ∵ ∴
（3-23）
特点：万有引力只与物体始末二位置有关，而与物体所经路程无关。
2、重力功及特点
如图3-16，质点经acb路径由，位移为，在地面附近重力可视为恒力，故功为

（3-24）
特点：重力功只与物体始末二位置有关，而与其运动路径无关。
3、弹性力功及特点
如图3-17，称为弹簧振子，处于x处时，它受弹性力为

从坐标过程中，弹性力做功为

（3-25）
特点：弹性力功仅与物体始末位置有关而与过程无关。
如：物体可以从处向左移，然后向右平移至处，也可以从处直接移到处。但是，无论怎样从处移到处，弹性力做的功都是上述结果。
二、保守力和非保守力
1、保守力与非保守力
如果力对物体做的功只与物体始末二位置有关而与物体所经路径无关，则该力称为保守力，否则称为非保守力。数学表达依次为：
（3-26）

及 （3-27）
由上可知，重力、弹性力、万有引力均为保守力，而摩擦力、汽车的牵引力等都是非保守力。
三、势能
对任何保守力，则它的功都可以用相应的势能增量的负值来表示，即：
（3-28）

结论：保守力功=相应势能增量的负值 。

[*从理论上讲，∵∴即是无旋的，
∵∴与有对应关系，可定义为与相应的势能。也就是说，保守力场中才能引进势能的概念。可见，引进势能概念是有条件的。注意：势能是相对的，属于系统的。]

（3-29） （3-30）
（3-31）
说明： （1）
（2）
（3）
§3-6 功能原理 机械能守恒定律
一、质点系的动能定理
系统中有个物体，第个物体受合外力为，合内力为，在某一过程中，合外力功为，合内力功为，由单个质点的动能定理，对第个质点有：
（3-32）
。对上式两边求和，有
（3-33）
（3-34）
结论：合外力功与合内力功之和等于系统动能的增量。称此为系统的动能定理。
二、功能原理
作用在质点上的力可分为保守力和非保守力，把保守力的受力与施力者都划在系统中，则保守力就为内力了，因此，内力可分为保守内力和非保守内力，内力功可分为保守内力功和非保守内力功。
由质点动能定理

有

（3-35）
结论：合外力功+非保守内力功=系统机械能（动能+势能）的增量。称此为功能原理。
说明：⑴功能原理中，功不含有保守内力的功，而动能定理中含有保守内力的功。
⑵功是能量变化或转化的量度
⑶能量是系统状态的单值函数
三、机械能守恒定律
由功能原理知，当时，有
（3-36）
结论：当时，系统机械能=常量，这为机械能守恒定律。（注意守恒条件）

例3-11：如图3-18，在计算上抛物体最大高度时，有人列出了方程（不计空气阻力）

列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？
解：⑴动能定理为
合力功=质点动能增量

⑵功能原理为
外力功+非保守内力功=系统机械能增量
（取、地为系统）

⑶机械能守恒定律
∵
∴
即
可见，此人用的是质点的动能定理。

例3-12：如图3-19，质量为的物体，从四分之一圆槽A点静止开始下滑到B。在B处速率为，槽半径为。求从A→B过程中摩擦力做的功。
解：〈方法一〉按功定义，在任一点c处，切线方向的牛顿第二定律方程为

〈方法二〉用质点动能定理
受三个力，，，
由有

即
∴
〈方法三〉用功能原理
取、地为系统，
∵ 无非保守内力
∴ ，功为（不作功，及槽对地的力也不做功）
由 有

即
注意：此题目机械能不守恒。
例3-13：质量为、的二质点靠万有引力作用，起初相距，均静止。它们运动到距离为时，它们速率各为多少？
解：以二质点为系统，则系统的动量及能量均守恒，即
①
②
由①、②解得：

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