资源描述
平面直角坐标系知识梳理教案
确定平面内点的位置
画两条数轴
①互相垂直
②有公共原点
建立平面直角坐标系
点 坐标（有序数对）
（x，y）
坐标的应用
用坐标表示位置
用坐标表示平移
一、 知识结构
二、重点知识回顾
Ⅱ
Ⅰ
图1
-1
2
3
-1
y
O
-2
-3
1
2
3
1
-2
-3
x
1、平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系，如图1.
Ⅳ
Ⅲ
（+，-）
（-，-）
（-，+）
（+，+）
第四象限
第三象限
第二象限
第一象限
2、坐标轴：在平面直角坐标系中，水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
3、象限：如图1，坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 值得的注意是：坐标轴上的点不属于任何象限.
O
1
a
1
b
P（a，b）
图2
4、点的坐标
（1）点的坐标的确定：对于平面内任意一点P如图2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点P的坐标.
（2）点的坐标的特征：
①象限内点的坐标的特征：第一象限（＋，＋），第二象限（－，＋），第三象限（－，－），第四象限（＋，－），如图1.
②坐标轴上点的坐标的特征：x轴上（a，0），当在x轴正半轴上a为正，当在x轴负半轴上a为负；y轴上（0，b），当在y轴正半轴上b为正，当在x轴负半轴上b为负；原点为（0，0）.
③平行于坐标轴的直线上点的坐标的特征：平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上所有点的横坐标相同.
（3）确定点的位置
已知平面直角坐标系内一点的坐标，如P（-3，1），只需在x轴上找出表示-3的点，再在y轴上找出表示1的点，过这两点分别作x轴和y轴的垂线，两垂线的交点就是点P.
5，坐标与地理位置.利用平面直角坐标系描述某些地理位置，首先要建立适当的平面直角坐标系，选取一个适当的参照点为原点，确定x轴与y轴的正方向；然后根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；最后在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称.
三、考点探究
考点一、位置的确定
例1 是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1,0)，安化县城所在地用坐标表示为(-3，-1)，那么南县县城所在地用坐标表示为 .
解析：本题是一道与确定位置有关的试题,要表示南县县城所在地位置,则需要仔细理解题意, 益阳市区所在地用坐标表示为(1,0)，安化县城所在地用坐标表示为(-3，-1)，可知南县县城所在地用坐标表示为（2，4）。
考点二、确定字母取值范围
例2、点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为第二象限内点的坐标特征是x＜0，y＞0，所以2m－1＜0,因此， .答案选C.
例3对任意实数，点一定不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征. 坐标轴把坐标平面分成四个象限，各象限内点的符号特征如图所示，即象限以坐标轴为界限，按逆时针方向依次为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何限象.
因为，可知当时，一定有，所以这个点一定不在第二象限.
评注：在根据点所在象限或坐标轴确定字母取值时，先根据坐标系内点的坐标特点确定，坐标的正负，然后列出不等式（或方程）解答．
考点三、 确定点的坐标
例4、点在第二象限内，到轴的距离是4，到轴的距离是3，那么点的坐标为（ ）
A．(－4,3) B．(－3, －4) C．(－3, 4) D．(3, －4)
解析：首先由点在第二象限内，知道它的横坐标小于0，纵坐标大于0，再由到轴的距离是4，到轴的距离是3， 得横坐标应为－3, 纵坐标应为4，故点的坐标为(－3, 4)，应选C．
例5．如图，下列各点在阴影区域内的是 ( )
A．(3，2) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(－3，－2)
解析：本题主要考查了估算法求点的坐标的方法，这是非常新颖的一道平面直角坐标系问题，由图形我们不难发现阴影区域内点的横坐标最大是4，纵坐标最大也是4，并且盖阴影部分在第一象限，所以答案应选A.
评注：以上主要考查了点的坐标与它到横、纵坐标轴的距离之间的关系，解这类题的最佳方法可通过示意图来解决．
考点四、 确定对称点的坐标
例5（2008常州市）点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为___________,关于原点对称的点的坐标为________.
解析：因为点A关于轴对称，其规律为“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，所以答案为（2，1）。又因为关于坐标原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数．所以它的对应点为（2，-1）。
评注：关于坐标轴对称点的特征有三条（1）关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于坐标原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数．
考点五、 与平移有关的问题
例6．将点向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ．
解析：根据平移的的特点，点向左平移1个单位，纵坐标不变，所以此时的对应点为
（0，2），再向下平移2个单位，横坐标不变，所以此时的对应点为（0，0）.
例7 如图4在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的．左边图案中左右眼睛的坐标分别是(－4，2)、(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)，
则右图案中右眼的坐标是 ．
－3
－2
－1
3
2
1
O
－1
－2
1
2
3
x
y
图4
解析：由左眼的坐标变化规律，知右边图案可以看作是由左边图案先向上平移2个单位，再向右平移7个单位得到的．从而可得右边图案中右眼的坐标为（5，4）．
例8、如图是某市市区四个旅游景点示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），请以某景点为原点，建立平面直角坐标系，用坐标表示下列景点的位置．①动物园 ，②烈士陵园 ．
解析：答案不唯一，若以金凤广场为坐标原点，其水平线为x轴，垂直线为y轴，则①动物园坐标为(1，2)；②烈士陵园坐标为(－2，3)．
评注：这是一道开放性试题，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了．
四、错例剖析：
例1、已知点M(4,a)到横轴的距离是5，则点P的坐标是_____.
【错解】:因为M(4,a)到横轴的距离为5,所以a＝5,
所以点M的坐标是(4,5).
【剖析】:已知点M到横轴的距离,并不知道 M所在的象限,点M可能第一象限,也可能在四个象限,这样的M点应有两个.
【正解】由已知条件可知| a |＝5,所以a＝5或a＝－5,所以P点的坐标是(4,5)或(4,－5)
例2 已知点P(m，n)到x轴的距离为6,到y轴的距离等于8,则点P的坐标是_____.
【错解】:因为P(m，n)到x轴的距离为6,到y轴的距离等于8,所以m＝8, n ＝6,所以点P的坐标为(8，6).
【剖析】:点的坐标与点到坐标轴的距离不同, P(m，n)到x轴的距离为6 ,则|n|＝6,所以n ＝6或n ＝－6; 到y轴的距离等于8,则|m|＝8，即m＝8或m＝－8,这样的P点应有四个.而错解中只写了一个,漏掉了三个.
【正解】: 点P的坐标为(8,6),(－8,6),(8,－6),(－8,－6).
例3点A（m＋3,m＋1）在x轴上，则A点的坐标为（ ）
A （0，－2） B、（2，0） C、（4，0） D、（0，－4）
【错解】:因为点A在x轴上,所以m+3＝0,所以m＝-3, 所以m＋1＝－2,所以点P的坐标为(0,－2).答案选A。
【剖析】:错解在把x、y轴上的点的坐标特点搞混了，x轴上的点的坐标特征是纵坐标为0．而不是横坐标为0．
【正解】：由点A在x轴上可知y＝0，即m＋1＝0,解得m＝ －1，所以m＋3＝2,所以A点坐标为（2，0）．故选B．
五、数学思想的应用
数学思想是数学知识、数学技能、数学方法的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的灵魂。本章的数学思想归纳起来,主要有以下几种:
1．数形结合的思想方法：这一数学思想贯穿于本章的每一节。本章内容由点找坐标、由坐标描点确定位置。通过图形的坐标变化呈现图形的平移变换，从而促进数形的相互转化。数形结合使抽象问题更形象、直观，化形为数，变数为形，使用权复杂问题易于解决。
2．转化思想：所谓即转化思想一般是指将新问题向旧问题转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化等等．平面内的点由两条数轴上的点来表示，把新的知识转化为旧知识，体现了即转化的数学思想，化“复杂”为“简单”，从而实现问题的解决．
3．分类讨论思想：由坐标轴两点的距离和象限内的点到坐标轴的距离与绝对值的概念相联系，渗透分类讨论的思想。
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