九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第3节 正方形的性质与判定（第2课时）教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级上册数学教案.doc

第一章《特殊平行四边形》
《正方形的性质与判定》(第2课时)
【教学目标】
1.知识与技能
知道正方形的判定方法，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的论证和计算.
2.过程与方法
经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法.
3.情感态度和价值观
理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点.
【教学重点】
掌握正方形的判定条件.
【教学难点】
合理恰当地利用特殊平行四边形的判定进行有关的论证和计算.
【教学方法】
合作、探究
【课前准备】
多媒体课件
【教学过程】
一、 复习回顾
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中.
通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形.
1.怎样判断一个四边形是平行四边形？
2.怎样判断一个四边形是矩形？
3.怎样判断一个四边形是菱形？
4.怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？
议一议:你有什么方法判定一个四边形是正方形？
二、探究新知
正方形的判定1.矩形法
活动1：满足什么条件的矩形是正方形？

操作1.你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
有一组邻边相等

或对角线垂直

你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一组邻边相等的矩形是正方形.
几何语言：∵在矩形ABCD中，AB=AD
∴矩形四边形ABCD是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：∵在矩形ABCD中，AC⊥BD
∴矩形四边形ABCD是正方形
正方形的判定2：菱形法
活动2：满足什么条件的菱形是正方形？

操作2 .你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？

有一个角是直角
或对角线相等

你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一个角是直角的菱形是正方形.
几何语言：∵在菱形ABCD中，∠BAC=90°
∴菱形四边形ABCD是正方形
对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：∵在菱形ABCD中，AC=BD
∴菱形四边形ABCD是正方形
正方形的判定3：定义法
活动3：满足什么条件的平行四边形是正方形？

有一组邻边相等 有一个角是直角

有一个角是直角 有一组邻边相等

对角线相 对角线垂直
等

对角线垂对角线相等
直

你能从这个变化过程中总结出正方形的判定方法吗？
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，∠A=90°，AB=AD
∴平行四边形ABCD是正方形
对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
几何语言：∵在平行四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是正方形
正方形的判定4：四边形法

（1）四条边相等，四个角都是直角

（2）对角线互相垂直、平分且相等

既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
总结：正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
7.既是菱形又是矩形的四边形是正方形.
三、例题讲解
例1.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 B．AD∥BC ∠A＝∠C　
C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC
D．AC＝BD
解析：由正方形的判定，对角线互相平分且相等，互相垂直的四边形是正方形，故选A.
例2.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是_________.
分析：由AB=BC=CD=DA，得到四边形ABCD是菱形，要使菱形ABCD是正方形，根据正方形的判定，则只需AC=BD.
例3. 已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF//CE，CF//BE，求证：四边形BECF是正方形.
分析：先由BF∥CE，CF∥BE得出四边形BECF是平行四边形，又因为∠BEC=90°得出四边形BECF是矩形，BE=CE邻边相等的
矩形是正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE
∴四边形BECF是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB
∴∠EBA=∠ECB=45°
∴∠BEC=90°，BE=CE
∴四边形BECF是正方形．
四、巩固练习：
1.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　D　）
A.∠D=90° B.AB=CD C.AD=BC D.BC=CD
分析：由∠A=∠B=∠C=90°可判定为矩形，因此再添加条件：一组邻边相等，即可判定为正方形，故选D．
2.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　B　）
A. ①② B.②③ C.①③ D.②④
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件 ______ 时，四边形DECF是正方形．（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF= AC=CE，，DE=BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
4.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的角平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F．判定四边形EBFM的形状，并证明你的结论．
首先证得四边形EBFM为矩形，再进一步利用角平分线的性质得出ME=MF，证得结论成立即可．
解：四边形EBFM是正方形．理由如下：
∵矩形ABCD，
∴∠ABC=90°，
∵MF⊥BC，ME⊥AB，
∴∠BFM=∠MEB=90°，
∵∠ABC=∠BFM=∠MEB=90°，
∴四边形EBFM为矩形，
∵BM平分∠ABC，
∴ME=MF，
∴四边形EBFM为正方形
五、拓展提高
已知D、E、F、G分别是四边形AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG四平行四边形。
证明：如图，连接BD
∵D、G分别是AB、AD的中点
∴DG是△ABD的中位线
∴DG//BD,,
∵E、F分别是BC、CD的中点
∴EF是△BCD的中位线
∴EF//BD,
∴DG=EF,DG//EF
∴四边形DEFG是平行四边形.
若四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
归纳：特殊四边形的中点四边形：
◆平行四边形的中点四边形是平行四边形
◆矩形的中点四边形是菱形
◆菱形的中点四边形是矩形
◆正方形的中点四边形是正方形
◆等腰梯形的中点四边形是菱形
◆直角梯形的中点四边形是平行四边形
◆梯形的中点四边形是平行四边形
六、课堂总结
正方形常用的判定方法：
1.有一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.有一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
5.有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
6.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.
七、作业布置
习题1.8：知识技能第2，3两题
【板书设计】
§1.3 正方形的性质与判定(2)
正方形的判定：
例1
例2

练习
【教学反思】
本节课可以分为三部分，第一部分是用复习和问题导入新课，复习正方形与平行四边形和矩形、菱形的关系，从而引出正方形的判定。第二部分是合作探究证明正方形的判定。第三部分是应用和检测。应用正方形的判定解决问题。