第十章工程力学.doc

第 十 章 压杆稳定101 压杆稳定的概念一、 压杆稳定性的概念1、下面先以小球为例介绍平衡的的三种状态：如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它能够回到原有的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图101a 所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不能够回到原有的平衡位置，但能够在附近新的位置维持平衡，原有的平衡状态称为随遇平衡状态，如图101b 所示；如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态，如图101c 所示。图 101 (a)(b)(c)2、压杆稳定性的概念细长直杆两端受轴向压力作用，其平衡也有稳定性的问题。设有一等截面直杆，受有轴向压力作用，杆件处于直线形状下的平衡。为判断平衡的稳定性，可以加一横向干扰力，使杆件发生微小的弯曲变形（图102a），然后撤消此横向干扰力。当轴向压力较小时，撤消横向干扰力后杆件能够恢复到原来的直线平衡状态（图102b），则原有的平衡状态是稳定平衡状态；当轴向压力增大到一定值时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到原来的直线平衡状态（图102c），则原有的平衡状态是不稳定平衡状态。压杆由稳定平衡过度到不稳定平衡时所受轴向压力的临界值称为临界压力，或简称临界力，用Fcr表示。当F=Fcr时，压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态，称为临界平衡状态，这种状态的特点是：不受横向干扰时，压杆可在直线位置保持平衡；若受微小横向干扰并将干扰撤消后，压杆又可在微弯位置维持平衡，因此临界平衡状态具有两重性。压杆处于不稳定平衡状态时，称为丧失稳定性，简称为失稳。显然结构中的受压杆件绝不允许失稳。F1FF(a)FFcrFFcrFFcr(c)图102除压杆外，还有很多其它形式的工程构件同样存在稳定性问题，例如薄壁杆件的扭转与弯曲、薄壁容器承受外压以及薄拱等问题都存在稳定性问题，在图103中列举了几种薄壁结构的失稳现象。本章只讨论压杆的稳定性问题。(c)q(b)q(a)F图103102 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式下面以两端球形铰支、长度为l的等截面细长压杆为例，推导其临界力的计算公式。选取坐标系如图104a所示，当轴向压力达到临界力Fcr时，压杆既可保持直线形态的平衡，又可保持微弯形态的平衡。假设压杆处于微弯状态的平衡，在临界力Fcr作用下压杆件的轴线如图所示。此时压杆距原点为x的任一截面m-m的挠度为y=f(x)，取隔离体如图104b 所示，截面m-m上的轴力为Fcr，弯矩为M(x)= Fcry （a）弯矩的正负号仍按9-2的规定，Fcr取正值，挠度以y轴正方向为正。将弯矩方程(a)代入挠曲线的近似微分方程 (b)xmmM(x)= FcryyFcryFcrxyFcryFcrmm图104 (a) (b) 令(c)则式(b)可写成(d)这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为 y=Asinkx+Bcoskx (e)式中A和B是积分常数，可由压杆两端的边界条件确定。此杆的边界条件为在x=0处，y=0在x=l处，y=0由边界条件的第一式得B=0于是式(e)成为 y= Asinkx (f)由边界条件的第二式得 Asinkl=0由于压杆处于微弯状态的平衡，因此A0，所以 sinkl=0由此得 kl=n(n=0,1,2,3，) 所以 将上式代入式(c)，得由于临界力是使压杆失稳的最小压力，因此n应取不为零的最小值，即取n=1，所以 (101)上式即为两端球形铰支（简称两端铰支）细长压杆临界力Fcr的计算公式，由欧拉（L.Euler）于1744年首先导出，所以通常称为欧拉公式。应该注意，压杆的弯曲在其最小的刚度平面内发生，因此欧拉公式中的I应该是截面的最小形心主惯性矩。在临界荷载Fcr作用下，因此式(f)可写成由此可以看出，在临界荷载Fcr作用下，杆的挠曲线是一条半个波长的正弦曲线。在x=l/2处，挠度达最大值，即 因此积分常数A即为杆中点处的挠度，以表示，则杆的挠曲线方程为(g)此处挠曲线中点处的挠度是个无法确定的值，即无论为任何微小值，上述平衡条件都能成立，似乎压杆受临界力作用时可以处于微弯的随遇平衡状态。实际上这种随遇平衡状态是不成立的，之所以值无法确定，是因为在推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程。如果采用挠曲线的精确微分方程进行推导，所得到的F曲线如图105 a所示，当FFcr时，压杆在微弯平衡状态下，压力F与挠度间为一一对应的关系，所谓的不确定性并不存在；而由挠曲线近似微分方程得到的F曲线如图105 b所示，当F=Fcr时，压杆在微弯状态下呈随遇平衡状态。FFcrOAB(a)FFcrOAB(b)图105 103 不同支承条件下细长压杆临界力的欧拉公式对于杆端支承为其它形式的细长压杆，也可以用类似的方法推导其临界力的计算公式。这里不一一推导，只介绍其结果。 对于各种支承情况的压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式： (102)式中称为长度系数，与杆端的约束情况有关，l称为压杆的计算长度，其物理意义可从细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零，故可设想拐点处有一铰，而将压杆挠曲线上两拐点之间的一段看作为两端铰支压杆，并利用两端铰支压杆的欧拉公式（101）得到原支承条件下压杆的临界力Fcr。这两拐点之间的长度即为原压杆的计算长度。应该注意，利用欧拉公式计算细长压杆临界力时，如果杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩；如果杆端在不同方向的约束情况不同（如柱形铰等），则I应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。104 欧拉公式的应用范围临界应力总图一、 欧拉公式的适用范围将压杆的临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力 (103)式中为压杆横截面对中性轴的惯性半径。令 (10 4)这是一个无量纲的参数，称为压杆的长细比或柔度。于是式（103）可写成 （105） 图106Oppcr上式是临界应力的计算公式，实际上是欧拉公式的另一种形式。根据该式压杆的临界应力cr与柔度之间的关系可用曲线表示，如图106所示，称为欧拉临界应力曲线。但是在推导欧拉公式过程中，曾用到了挠曲线的近似微分方程，而挠曲线的近似微分方程又是建立在胡克定律基础上的，因此只有材料在线弹性范围内工作时，即只有在crp时，欧拉公式才能适用。于是欧拉公式的适用范围为或写成(106)式中p为能够应用欧拉公式的压杆柔度界限值。通常称p的压杆为大柔度杆，或细长压杆；而对于p)，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如图所示，问哪根杆能够承受的压力最大，哪根最小？F(a)F(b)F(c)F(d)例题101图解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为细长杆，因此都都可以用欧拉公式计算临界力由于各杆的材料和截面都相同，所以只需比较各杆的计算长度l即可杆a：l=2a=2a杆b：l=11.3a=1.3a杆c：l=0.71.6a=1.12a杆d：l=0.52a=a临界力与l的平方成反比，所以杆d能够承受的压力最大，杆a能够承受的压力最小。例题102图示压杆用30304等边角钢制成，已知杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界力。F例题102图 y0x0xxx0y0解：首先计算压杆的柔度，要注意截面的最小惯性半径应取对y0轴的惯性半径，即 iy0=0.58cm，由此可以算出其柔度可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式计算其临界力，仍要注意截面的最小惯性矩应取对y0轴的惯性矩，即Iy0=0.77cm4，由此可以算出该压杆的临界力例题 10-3 图示一矩形截面的细长压杆，其两端用柱形铰与其它构件相连接。压杆的材料为Q235钢，E=210GPa1. 若l=2.3m，b=40mm，h=60mm，试求其临界力；2. 试确定截面尺寸b和h的合理关系。blhFFyx例题103图FFzx解：1. 若压杆在xy平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数1=1，惯性半径若压杆在xz平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数2=0.5，惯性半径由于12，因此该杆失稳时将在xy平面内弯曲。该杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力2. 若压杆在xy平面内失稳，其临界力为若压杆在xz平面内失稳，其临界力为截面的合理尺寸应使压杆在xy和xz两个平面内具有相同的稳定性，即由此可得h=2b二、中、小柔度杆的临界应力如果压杆的柔度p,则临界应力cr就大于材料的比例极限p，这时欧拉公式已不适用。对于这类压杆通常采用以试验结果为依据的经验公式。常用的经验公式有直线公式和抛物线公式两种。1. 直线公式(107)式中的a和b是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料a和b的值见书中的表102。显然临界应力不能大于极限应力（塑性材料为屈服极限，脆性材料为强度极限），因此直线型经验公式也有其适用范围。应用式(157)时柔度应有一个最低界限，对于塑性材料 sp的压杆可使用直线型经验公式(157)计算其临界应力，这样的压杆称为中柔度杆或中长压杆，一些常用材料的s值可在表152中查到。对于脆性材料可用b代替s而得到b。s的压杆称为小柔度杆或短粗杆，对于小柔度杆不会因失稳而破坏，只会因压应力达到极限应力而破坏，属于强度破坏，因此小柔度杆的临界应力即为极限应力。2. 抛物线公式 （108）式中的a是与材料力学性能有关的常数。在我国钢结构设计规范中，对以为极限应力的材料制成的中长杆提出了如下的抛物线型经验公式 (109)式（159）的适用范围是c,对于Q235钢和16锰钢，式中的系数为0.43，c为，c值取决于材料的力学性能。例如对于Q235钢，c=123。三、压杆的临界应力总图由上述讨论可知，压杆的临界应力cr的计算与柔度有关，在不同的范围内计算方法也不相同。压杆的临界应力cr与柔度之间的关系曲线称为压杆的临界应力总图。图107是直线型经验公式的临界应力总图。p的压杆为细长杆或大柔度杆，其临界应力crp，可用欧拉公式计算；sp，可用经验公式(107)计算；s的压杆为短粗杆或小柔度杆，其临界应力cr=u，应按强度问题处理。Oppcr图107 直线型经验公式的压杆临界应力总图su图108是抛物线型经验公式的临界应力总图。在工程实际中，并不一定用p来分界，而是用c=0.57s来分界，即当c时,压杆的临界应力crc，可用欧拉公式计算；当c时,压杆的临界应力按经验公式(158)或(159)计算。 图108 抛物线型经验公式的压杆临界应力总图Occcrs105 压杆的稳定计算一、压杆的稳定许用应力 折减系数与压杆的强度计算相似，在对压杆进行稳定计算时，不能使压杆的实际工作应力达到临界应力cr，需要确定一个适当低于临界应力的稳定许用应力cr式中nst为稳定安全系数，其值随压杆的柔度而变化，一般来说nst随着柔度的增大而增大。工程实际中的压杆都不同程度地存在着某些缺陷，严重地影响了压杆的稳定性，因此稳定安全系数一般规定得比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.41.7,而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。为了计算方便，将稳定许用应力cr与强度许用应力之比用来表示，即或式中称为折减系数或稳定系数，因cr和nst均随压杆的柔度而变化，因此是的函数，即，其值在01之间。二、压杆的稳定条件压杆的稳定条件是使压杆的实际工作压应力不能超过稳定许用应力cr，即引用折减系数，压杆的稳定条件可写为 （10-10a）或 (10-10b)与强度计算类似，稳定性计算主要解决三方面的问题：1. 稳定性校核2. 选择截面3. 确定许用荷载需要说明，截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定计算中横截面面积一般按毛面积进行稳定计算，但需要对该处进行强度校核。再者，因为压杆的折减系数（或柔度）受截面形状和尺寸的影响，因此在压杆的截面设计过程中，不能通过稳定条件求得两个未知量，通常采用试算法，如后面的例题所示。例题 104 图示结构由两根材料和直径均相同的圆杆组成，杆的材料为Q235钢，已知h=0.4m，直径d=20mm，材料的强度许用应力=170MPa，荷载F=15kN，试校核两杆的稳定性。FABC4530(a)12yAxFFN1FN2(b)例题104图解：为校核两杆的稳定性，首先需要计算每个杆所承受的压力，为此考虑结点A的平衡，其平衡方程为由此解得两杆所受的压力分别为FN1=0.896F=13.44kNFN2=0.732F=10.98kN两杆的长度分别为l1=h/sin45=0.566ml2=h/sin30=0.8m两杆的柔度分别为查表153，并插值可得两杆的折减系数分别为对两杆分别进行稳定性校核：两杆均满足稳定条件。例题 105图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料的许用应力=160MPa。解：在稳定条件1010a中，不能同时确定两个未知量A与，因此必须采用试算法。（1）第一次试算：假设=0.5，根据稳定条件1510axFyz例题105图z查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面面积，最小惯性半径，于是查折减系数表得 ，由于与相差较大，因此必须进行第二次试算。（2）第二次试算：假设根据稳定条件1510a 再选25a号工字钢，其横截面面积，最小惯性半径,于是查折减系数表并插值与相差仍较大，因此还需进行第三次试算。（3）第三次试算：假设根据稳定条件1510a再选22b工字钢，其横截面面积，最小惯性半径,于是此时与已经相差不大，可以进行稳定校核最后选定22b号工字钢。例题106 图示托架中的AB杆为16号工字钢，CD杆为两根50506等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m材料为Q235钢，其许用应力 = 160 MPa，试求该托架的许用荷载F。解：首先考虑AB杆的平衡CFlABD(a)1由CD杆的稳定性确定许用荷载(b)ABCFFCD例题106图(c)M图Fl/2+2F(d)FN图由此可得2由AB杆的强度确定许用荷载AB杆为拉弯组合受力状态，其弯矩图和轴力图分别如图c和图d所示，可见截面C左为危险截面，由此可以建立强度条件：通过比较，该托架的许用荷载为F=18.9kN