第十章工程力学.doc

第 十 章 压杆稳定
§10−1 压杆稳定的概念
一、 压杆稳定性的概念
1、下面先以小球为例介绍平衡的的三种状态：
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它能够回到原有的平衡位置，这种平衡状态称为稳定平衡状态，如图10–1a 所示；
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不能够回到原有的平衡位置，但能够在附近新的位置维持平衡，原有的平衡状态称为随遇平衡状态，如图10–1b 所示；
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置，当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10–1c 所示。
图 10−1

(a)

(b)

(c)

2、压杆稳定性的概念
细长直杆两端受轴向压力作用，其平衡也有稳定性的问题。设有一等截面直杆，受有轴向压力作用，杆件处于直线形状下的平衡。为判断平衡的稳定性，可以加一横向干扰力，使杆件发生微小的弯曲变形（图10–2a），然后撤消此横向干扰力。当轴向压力较小时，撤消横向干扰力后杆件能够恢复到原来的直线平衡状态（图10–2b），则原有的平衡状态是稳定平衡状态；当轴向压力增大到一定值时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到原来的直线平衡状态（图10–2c），则原有的平衡状态是不稳定平衡状态。压杆由稳定平衡过度到不稳定平衡时所受轴向压力的临界值称为临界压力，或简称临界力，用Fcr表示。
当F=Fcr时，压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态，称为临界平衡状态，这种状态的特点是：不受横向干扰时，压杆可在直线位置保持平衡；若受微小横向干扰并将干扰撤消后，压杆又可在微弯位置维持平衡，因此临界平衡状态具有两重性。
压杆处于不稳定平衡状态时，称为丧失稳定性，简称为失稳。显然结构中的受压杆件绝不允许失稳。

F1

F

F

(a)

F<Fcr

F<Fcr

(b)

F>Fcr

F>Fcr

(c)

图10−2

除压杆外，还有很多其它形式的工程构件同样存在稳定性问题，例如薄壁杆件的扭转与弯曲、薄壁容器承受外压以及薄拱等问题都存在稳定性问题，在图10−3中列举了几种薄壁结构的失稳现象。本章只讨论压杆的稳定性问题。
(c)

q

(b)

q

(a)

F

图10−3

§10−2 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式
下面以两端球形铰支、长度为l的等截面细长压杆为例，推导其临界力的计算公式。选取坐标系如图10−4a所示，当轴向压力达到临界力Fcr时，压杆既可保持直线形态的平衡，又可保持微弯形态的平衡。假设压杆处于微弯状态的平衡，在临界力Fcr作用下压杆件的轴线如图所示。此时压杆距原点为x的任一截面m-m的挠度为y=f(x)，取隔离体如图10–4b 所示，截面m-m上的轴力为Fcr，弯矩为
M(x)= Fcry （a）
弯矩的正负号仍按§9-2的规定，Fcr取正值，挠度以y轴正方向为正。
将弯矩方程(a)代入挠曲线的近似微分方程
(b)

x

m

m

δ

M(x)= Fcry

y

Fcr

y

Fcr

x

y

Fcr

y

Fcr

m

m

图10−4

(a)

(b)

令
(c)
则式(b)可写成
(d)
这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为
y=Asinkx+Bcoskx (e)
式中A和B是积分常数，可由压杆两端的边界条件确定。此杆的边界条件为
在x=0处，y=0
在x=l处，y=0
由边界条件的第一式得
B=0
于是式(e)成为
y= Asinkx (f)
由边界条件的第二式得
Asinkl=0
由于压杆处于微弯状态的平衡，因此A≠0，所以
sinkl=0
由此得
kl=nπ (n=0,1,2,3，···)
所以

将上式代入式(c)，得

由于临界力是使压杆失稳的最小压力，因此n应取不为零的最小值，即取n=1，所以
(10–1)
上式即为两端球形铰支（简称两端铰支）细长压杆临界力Fcr的计算公式，由欧拉（L.Euler）于1744年首先导出，所以通常称为欧拉公式。应该注意，压杆的弯曲在其最小的刚度平面内发生，因此欧拉公式中的I应该是截面的最小形心主惯性矩。
在临界荷载Fcr作用下，，因此式(f)可写成

由此可以看出，在临界荷载Fcr作用下，杆的挠曲线是一条半个波长的正弦曲线。在x=l/2处，挠度达最大值，即

因此积分常数A即为杆中点处的挠度，以δ表示，则杆的挠曲线方程为
(g)
此处挠曲线中点处的挠度δ是个无法确定的值，即无论δ为任何微小值，上述平衡条件都能成立，似乎压杆受临界力作用时可以处于微弯的随遇平衡状态。实际上这种随遇平衡状态是不成立的，之所以δ值无法确定，是因为在推导过程中使用了挠曲线的近似微分方程。如果
采用挠曲线的精确微分方程进行推导，所得到的F–δ曲线如图10–5 a所示，当F≥Fcr时，压杆在微弯平衡状态下，压力F与挠度δ间为一一对应的关系，所谓的δ不确定性并不存在；而由挠曲线近似微分方程得到的F–δ曲线如图10–5 b所示，当F=Fcr时，压杆在微弯状态下呈随遇平衡状态。
F

Fcr

O

δ

A

B

(a)

F

Fcr

O

δ

A

B

(b)

图10−5

§10−3 不同支承条件下细长压杆临界力的欧拉公式
对于杆端支承为其它形式的细长压杆，也可以用类似的方法推导其临界力的计算公式。这里不一一推导，只介绍其结果。

对于各种支承情况的压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：
(10–2)
式中μ称为长度系数，与杆端的约束情况有关，μl称为压杆的计算长度，其物理意义可从细长压杆失稳时挠曲线形状的比拟来说明：由于压杆失稳时挠曲线上拐点处的弯矩为零，故可设想拐点处有一铰，而将压杆挠曲线上两拐点之间的一段看作为两端铰支压杆，并利用两端铰支压杆的欧拉公式（10–1）得到原支承条件下压杆的临界力Fcr。这两拐点之间的长度即为原压杆的计算长度。
应该注意，利用欧拉公式计算细长压杆临界力时，如果杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则I应取最小的形心主惯性矩；如果杆端在不同方向的约束情况不同（如柱形铰等），则I应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。
§10−4 欧拉公式的应用范围·临界应力总图
一、 欧拉公式的适用范围
将压杆的临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力
(10–3)
式中为压杆横截面对中性轴的惯性半径。令
(10– 4)
这是一个无量纲的参数，称为压杆的长细比或柔度。于是式（10–3）可写成
（10–5）
图10−6

O

σp

λp

σcr

λ

上式是临界应力的计算公式，实际上是欧拉公式的另一种形式。根据该式压杆的临界应力σcr与柔度λ之间的关系可用曲线表示，如图10–6所示，称为欧拉临界应力曲线。但是在推导欧拉公式过程中，曾用到了挠曲线的近似微分方程，而挠曲线的近似微分方程又是建立在胡克定律基础上的，因此只有材料在线弹性范围内工作时，即只有在σcr≤σp时，欧拉公式才能适用。于是欧拉公式的适用范围为

或写成
(10–6)
式中λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度界限值。通常称λ≥λp的压杆为大柔度杆，或细长压杆；而对于λ<λp的压杆，就不能应用欧拉公式。
压杆的λp值取决于材料的力学性能。例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，则由式(15–6)可得

因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时才能应用欧拉公式计算临界力或临界应力。一些常用材料的λp值见表10–2。
例题10–1 图示各杆均为圆截面细长压杆(λ>λp)，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如图所示，问哪根杆能够承受的压力最大，哪根最小？

F

(a)

F

(b)

F

(c)

F

(d)

例题10−1图

解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为细长杆，因此都都可以用欧拉公式计算临界力

由于各杆的材料和截面都相同，所以只需比较各杆的计算长度μl即可
杆a： μl=2×a=2a
杆b： μl=1×1.3a=1.3a
杆c： μl=0.7×1.6a=1.12a
杆d： μl=0.5×2a=a
临界力与μl的平方成反比，所以杆d能够承受的压力最大，杆a能够承受的压力最小。
例题10–2图示压杆用30×30×4等边角钢制成，已知杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界力。
F

例题10−2图

y0

x0

x

x

x0

y0

解：首先计算压杆的柔度，要注意截面的最小惯性半径应取对y0轴的惯性半径，即 iy0=0.58cm，由此可以算出其柔度

可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式计算其临界力，仍要注意截面的最小惯性矩应取对y0轴的惯性矩，即Iy0=0.77cm4，由此可以算出该压杆的临界力

例题 10-3 图示一矩形截面的细长压杆，其两端用柱形铰与其它构件相连接。压杆的材料为Q235钢，E=210GPa
1. 若l=2.3m，b=40mm，h=60mm，试求其临界力；
2. 试确定截面尺寸b和h的合理关系。

b

l

h

F

F

y

x

例题10−3图

F

F

z

x

解：1. 若压杆在xy平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数μ1=1，惯性半径

若压杆在xz平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数μ2=0.5，惯性半径

由于λ1>λ2，因此该杆失稳时将在xy平面内弯曲。该杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力
2. 若压杆在xy平面内失稳，其临界力为

若压杆在xz平面内失稳，其临界力为

截面的合理尺寸应使压杆在xy和xz两个平面内具有相同的稳定性，即

由此可得
h=2b
二、中、小柔度杆的临界应力
如果压杆的柔度λ<λp,则临界应力σcr就大于材料的比例极限σp，这时欧拉公式已不适用。对于这类压杆通常采用以试验结果为依据的经验公式。常用的经验公式有直线公式和抛物线公式两种。
1. 直线公式
(10–7)
式中的a和b是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料a和b的值见书中的表10–2。
显然临界应力不能大于极限应力（塑性材料为屈服极限，脆性材料为强度极限），因此直线型经验公式也有其适用范围。应用式(15–7)时柔度λ应有一个最低界限，对于塑性材料

λs≤λ<λp的压杆可使用直线型经验公式(15–7)计算其临界应力，这样的压杆称为中柔度杆或中长压杆，一些常用材料的λs值可在表15–2中查到。对于脆性材料可用σb代替σs而得到λb。
λ<λs的压杆称为小柔度杆或短粗杆，对于小柔度杆不会因失稳而破坏，只会因压应力达到极限应力而破坏，属于强度破坏，因此小柔度杆的临界应力即为极限应力。
2. 抛物线公式
（10–8）
式中的a是与材料力学性能有关的常数。
在我国钢结构设计规范中，对以为极限应力的材料制成的中长杆提出了如下的抛物线型经验公式
(10–9)
式（15–9）的适用范围是λ<λc,对于Q235钢和16锰钢，式中的系数为0.43，λc为，λc值取决于材料的力学性能。例如对于Q235钢，λc=123。
三、压杆的临界应力总图
由上述讨论可知，压杆的临界应力σcr的计算与柔度λ有关，在不同的λ范围内计算方法也不相同。压杆的临界应力σcr与柔度λ之间的关系曲线称为压杆的临界应力总图。
图10–7是直线型经验公式的临界应力总图。
λ≥λp的压杆为细长杆或大柔度杆，其临界应力σcr≤σp，可用欧拉公式计算；
λs≤λ<λp的压杆为中长杆或中柔度杆，其临界应力σcr>σp，可用经验公式(10–7)计算；
λ<λs的压杆为短粗杆或小柔度杆，其临界应力σcr=σu，应按强度问题处理。
O

σp

λp

σcr

λ

图10−7 直线型经验公式的压杆临界应力总图

λs

σu

图10–8是抛物线型经验公式的临界应力总图。在工程实际中，并不一定用σp来分界，而是用σc=0.57σs来分界，即
当λ≥λc时,压杆的临界应力σcr≤σc，可用欧拉公式计算；
当λ<λc时,压杆的临界应力按经验公式(15–8)或(15–9)计算。
图10−8 抛物线型经验公式的压杆临界应力总图

O

σc

λc

σcr

λ

σs

§10−5 压杆的稳定计算
一、压杆的稳定许用应力 折减系数
与压杆的强度计算相似，在对压杆进行稳定计算时，不能使压杆的实际工作应力达到临界应力σcr，需要确定一个适当低于临界应力的稳定许用应力[σcr]

式中nst为稳定安全系数，其值随压杆的柔度λ而变化，一般来说nst随着柔度λ的增大而增大。工程实际中的压杆都不同程度地存在着某些缺陷，严重地影响了压杆的稳定性，因此稳定安全系数一般规定得比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.4～1.7,而稳定安全系数规定为1.5～2.2，甚至更大。
为了计算方便，将稳定许用应力[σcr]与强度许用应力[σ]之比用来表示，即

或

式中称为折减系数或稳定系数，因σcr和nst均随压杆的柔度而变化，因此是λ的函数，即，其值在0～1之间。
二、压杆的稳定条件
压杆的稳定条件是使压杆的实际工作压应力不能超过稳定许用应力[σcr]，即

引用折减系数，压杆的稳定条件可写为
（10-10a）
或
(10-10b)
与强度计算类似，稳定性计算主要解决三方面的问题：
1. 稳定性校核
2. 选择截面
3. 确定许用荷载
需要说明，截面的局部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定计算中横截面面积一般按毛面积进行稳定计算，但需要对该处进行强度校核。再者，因为压杆的折减系数（或柔度λ）受截面形状和尺寸的影响，因此在压杆的截面设计过程中，不能通过稳定条件求得两个未知量，通常采用试算法，如后面的例题所示。
例题 10−4 图示结构由两根材料和直径均相同的圆杆组成，杆的材料为Q235钢，已知h=0.4m，直径d=20mm，材料的强度许用应力[σ]=170MPa，荷载F=15kN，试校核两杆的稳定性。
F

A

B

C

45°

30°

(a)

1

2

y

A

x

F

FN1

FN2

(b)

例题10−4图

解：为校核两杆的稳定性，首先需要计算每个杆所承受的压力，为此考虑结点A的平衡，其平衡方程为

由此解得两杆所受的压力分别为
FN1=0.896F=13.44kN
FN2=0.732F=10.98kN
两杆的长度分别为
l1=h/sin45°=0.566m
l2=h/sin30°=0.8m
两杆的柔度分别为

查表15−3，并插值可得两杆的折减系数分别为

对两杆分别进行稳定性校核：

两杆均满足稳定条件。
例题 10−5图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料的许用应力[σ]=160MPa。
解：在稳定条件10−10a中，不能同时确定两个未知量A与，因此必须采用试算法。
（1）第一次试算：假设=0.5，根据稳定条件15−10a

x

F

y

z

例题10−5图

z

查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面面积，最小惯性半径，于是

查折减系数表得 ，由于与相差较大，因此必须进行第二次试算。
（2）第二次试算：假设

根据稳定条件15−10a

再选25a号工字钢，其横截面面积，最小惯性半径,于是

查折减系数表并插值

与相差仍较大，因此还需进行第三次试算。
（3）第三次试算：假设

根据稳定条件15−10a

再选22b工字钢，其横截面面积，最小惯性半径,于是

此时与已经相差不大，可以进行稳定校核

最后选定22b号工字钢。
例题10−6 图示托架中的AB杆为16号工字钢，CD杆为两根50×50×6等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m材料为Q235钢，其许用应力[σ] = 160 MPa，试求该托架的许用荷载[F]。
解：首先考虑AB杆的平衡
C

F

l

A

B

D

(a)

1．由CD杆的稳定性确定许用荷载
(b)

A

B

C

F

FCD

例题10−6图

(c)

M图

Fl/2

–

+

2F

(d)

FN图

由此可得

2．由AB杆的强度确定许用荷载
AB杆为拉弯组合受力状态，其弯矩图和轴力图分别如图c和图d所示，可见截面C左为危险截面，由此可以建立强度条件：

通过比较，该托架的许用荷载为[F]=18.9kN