山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.4确定圆的条件》教案 北师大版.doc

山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.4确定圆的条件》教案 北师大版
教学目标：
1．通过解决问题过程，使学生理解“不在一直线的三点确定一个圆” ；
2．能熟练掌握不在一直线上的三点作圆方法；
3．明确三角形的外接圆、三角形外心、圆的内接三角形概念；
4．培养学生的应用意识，通过扩散应用、联想等综合练习，把数学问题与生活实际紧密联系起来，及巩固了学生的新知
教学重点：
经过已知点作圆的方法．
教学难点：
确定圆的思维过程．．
教学准备：多媒体课件、几何画板软件．
教法学法：
教师指导学生自主探索交流．
教学过程：
一、 设置问题情境，提出问题
师：大家看屏幕上我出示的是一个什么东西？
生1：假发．
师：很有想象力．
生2：日食．
师：相对于日食来说，这个边缘有些太不整齐了．
生3：那就是一个破损的圆．
师：当然了，没头没脑的给大家一个东西，大家完全可以去发挥想象力．实际上，这是由一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时发现一圆形瓷器碎片影印出来的图片，你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆，以便于进行深入的研究吗？这里提出了一个问题也正是我们这节课要研究的课题——3.4确定圆的条件（板书课题）．也就是说在什么条件下，这个圆才能被确定下来，如果有了这方面的知识我们对复原圆盘是不是就有信心了？
生：是的．
设计意图：在实际背景中创设情境，激发学生的学习兴趣，引发学生求知心理，积极思考，人人急于知道问题的答案．
二、 启发探求思路，分析问题
（一）复习铺垫——确定直线的条件
师：之前同学们学过直线的确定方法，还记不记得？请看这两个问题．
课件出示：
1、过一点可以作几条直线？
2、过几点可确定一条直线？
师：第一个问题，谁来回答一下？
生1：过一点可以作无数条直线．
学生回答的同时，教师利用几何画板现场作图：
师：过几点可确定一条直线呢？
生2：两点．
师：是的．（边说边利用几何画板画图）我们知道两点确定一条直线：

师：那么类似的经过几点可以确定一个圆？
生猜测：一点、两点、三点……
师：究竟是几个点，我们需要来探究一下．那么我们这个问题的探究应该从那儿开始？
生：一个点．
师：是的，我们要仿照直线的确定条件的谈就那样，从一个点开始．
设计意图：和学生共同回忆以前的知识，降低教学难度，激发兴趣，从而顺利过渡到本节知识内容，为下一个环节做好铺垫．
（二）探究一——确定圆的条件
师：首先给你一个点，我们能不能确定一个圆？我们一起来看一下．
师在几何画板上先画上一个点，然后画一个圆经过这个点．
师：同学们看我先画了一个圆经过点A，同学们还能画出其他的圆也经过点A吗？
生：能．
师：同学们在你的练习本上画上一个点，然后看看过这个点究竟可以画多少个圆．有兴趣的同学可以到电脑上来画．
多数学生在自己的练习本上画图，个别学生到电脑上利用几何画板作图．

师：我们一起来看一下，同学们说过一个能不能作圆？
生：可以．
师：那过一点可不可以确定一个圆？
生：不能．经过一个点可以做无数个圆．
师：下面我们探究什么？
生：过两点能不能确定一个圆．
师：那还等什么！开始．
课件出示：经过两个已知点A，B能确定一个圆吗?
多数同学在自己的练习本上进行作图探究，数名同学在老师的指导下在电脑上利用几何画板作图：

师：大家看，过两点个能不能作圆？
生：可以．
师：过两点可不可以确定一个圆？
生：不能．经过两个点还是可以做无数个圆．
师：不知同学们观察到没有，这次的圆不像第一次那样杂乱无章，而是好像按照一定的规律排列．
生：它们看起来是轴对称图形．
师：是的．那同学们能不能进一步思考一下，这些圆的圆心在怎样的一条线上？ 现在给同学们两分钟的时间，小组讨论一下，到时候一定要说明理由．
学生开始讨论，教师巡视，并适时参与讨论．
师：谁来说一下你们小组的想法？
生：我们认为经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．因为一个圆经过A,B两点，那么这个圆的圆心到这两个点的距离相等，而到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；同理再有一个圆经过A,B两点，它的圆心也在AB的垂直平分线上．两点确定一条直线，所以经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．
师：那我们就可以得到这样的结论：经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上．反过来，我们想画一个圆经过A,B两点，圆心应该怎样去找？
生：在AB的垂直平分线上．
师：这个结论将为我们后面作圆打下基础．接下来我们该探究几个点了？
生：三个点．
师：哎，我们学习数学就是这样不要怕麻烦，一旦找到规律，事情就简单了．我们来看，经过三个已知点A,B,C能确定一个圆吗？首先我们先来看过同一直线上的三点能不能作圆．同学们在自己的练习本上画出共线的三点，看看能不能画一个圆同时经过这三个点．
学生作图，思考．
师：能不能做出一个符合条件的圆？
生：不能．
师：为什么？
生：（学生回答的时候教师利用几何画板画图）经过以上的探究我们知道同时经过A,B两点的圆的圆心在AB的垂直平分线l1上，同时经过B，C两点的圆的圆心在BC的垂直平分线l2上，又因为同位角相等两直线平行，所以l1∥l2，两条平行的直线是没有交点的．所以我们不能做出一个圆同时经过在同一条直线上的三点．

师：是啊．连作都作不出来，又何谈确定呢？那我们来看过不在同一条直线上的三点能不能作圆呢？大家赶紧作一下，我找一个小组的同学到电脑上来作图．
师生共同叙述作图的过程：分别连接AB，AC，BC，作AC的垂直平分线j,BC的垂直平分线k,j和k交于点O，连接OC，以O为圆心，以OC为半径作圆，则⊙O同时经过A,B,C三点．
同时课件出示：过不在同一条直线上的三点作圆．
作法
图示
1．连结AB、BC

2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O

3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆

师：这样的圆是不是唯一的？
生：是的．因为以前我们学习过三角形三边垂直平分线的交点是唯一的，这个交点到三角形三个顶点的距离相等，这样圆心和半径都是唯一确定的，所以圆也是唯一确定的．
师：说理很有力．所以我们可以得到一个怎样的结论？
生齐声说：不在同一条直线上的三点确定一个圆．
师：这里的“确定”是什么意思？
学生回答，师总结：定理中的“确定”的意思是，过不在同一条直线上的三点能作圆，并且只能作一个圆．
设计意图：在整个的探究过程中，教师始终深入参与小组活动，指导、倾听学生交流，尊重学生的个体差异，鼓励学生敢想敢说，同时让学生充分体会到自主探究与合作交流同等重要．
（三）建模
师：现在请同学看黑板，我给大家介绍几个概念．三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．如图所示：

师：通过以上的探究，我们知道三角形的外接圆是唯一确定的，那一个圆的内接三角形是不是唯一的呢？
生思考，马上想到：不是的，任意连接圆上三点都能组成一个三角形．
师：我们来设想一下，三角形有外心，那相对应的有没有“内心”呢？
生：有．
师：是的，这个可以有．
学生笑场，气氛融洽．
师：接下来一个小练习：已知下面三个三角形，分别作出它们的外接圆，他们外心的位置有怎样的特点？请同学们在课本119页作图，做完后在小组内对照一下，交流一下．
学生作图、交流，师巡视、指导．
师：现在我们来一起看一下，整个的作图过程同学们已经比较熟练了，就是作其中两条边的垂直平分线，它们的交点就是圆心，在以圆心到任意一个顶点的距离为半径作圆．如图：

我们来看它们的外心分别在哪儿？
生：锐角三角形的外心在它的内部，直角三角形的外心在它的直角边的中点处，钝角三角形的外心在它的外部．
师：总结的很好．
设计意图：巩固找三角形的外心的方法，进一步体验“不在同一直线上的三点确定一个圆”的事实．另外也体会到三角形的形状对它的外心位置带来的影响．
（四）引导解答落实，解决问题
师：到现在我们对知识的学习已经结束了，大家还记不记得刚开始上课时考古学家留给我们的问题，现在请同学们在我给大家准备的作业纸上尝试复原这个圆形的盘子．

学生开始作图，师巡视．有疑问的同学可在小组内交流．
师生共同作图：首先我们在圆弧上找三个点A,B,C，为了方便作图，我们找的这三个点的距离最好大一点；然后分别连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，它们的交点就是圆心，记为点O；然后以OA为半径作圆即可．
师：大家想不想知道，考古学家到底有没有把这个圆盘复原？
生：想．
师：大家请看，这就是存放于马王堆汉墓博物馆的这个圆盘的复原品，是不是很漂亮？这对于我们研究几千年前的汉朝的风土人情、人文历史都很有帮助．

设计意图：承接上文，不留遗憾，同时提高学生的审美意识．
三、强化训练，消化新知
1、课本121页习题3.6知识技能第一题．
2、下面命题中正确的有几个？
（1）每个三角形都只有一个外心．
（2）三角形的外心倒三角形的各边距离相等．
（3）四边形不一定有外接圆．
（4）三点确定一个圆
设计意图：加深学生对结论的理解和应用．
四、课堂小结,形成知识体系
师：通过以上的练习，我发现同学们对本节课的知识掌握的不错．现在我们来整体回顾一下本节课我们都有哪些收获？
生1：我们知道不在同一条直线上的三点确定一个圆．
生2：我体会到了数学来源于生活并服务于生活．
师：是的，我们复原圆盘只是数学来源于生活并服务于生活的一个点，实际上在我们生活的方方面面都渗透着数学的思想和知识．所以我希望同学们对我们的数学感兴趣并且学好它，以后为我们的生活生产服务．
设计意图：及时总结．在传授知识，训练技能时，及时引导学生把所学知识加以总结，并找出规律性的东西．
五、随堂检测，深化提高
（一）填空题:
1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.毛
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.
4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.
5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
（二）选择题:
7.下列条件,可以画出圆的是( )
A.已知圆心 B.已知半径;
C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;
C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点
9.下列命题不正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B.3个或4个
C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个
（三）解答题:
13.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).

六、布置作业，消化新知
A类：课本122页第2、4题．
B类：如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.

设计思路：在作业设计时，面向全体学生，尊重学生的个体差异，以掌握知识形成能力为目的．
七、板书设计
§3.4确定圆的条件
一、 确定圆的条件

不在同一条直线上的三点确定一个圆．
二、 概念

教学反思：
本课在学生感兴趣的实际背景中创设情景，激发学生的求知欲，让学生处于积极的思维状态．
通过设置三个分层活动，让学生经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，三个问题由易到难、层层递进，引导学生积极参与探索从而让其发现结论，并过渡到三角形外接圆、外心等概念的学习．回头解决开头提出的问题，形成知识技能，并引导学生进行再反思，培养思维的深刻性．
问题：本课的探究过程中，学生摸索着前进，出错率较高，走了一些弯路，耽误了一些时间，上课时教师本人有些急躁，有些问题忽略了．
改进：要正视学生的错误，这正是暴露思维的方式，通过大家讨论反复纠错的方式来引导学生掌握分析问题的方法，从而突破难点．