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第一章 勾股定理
综述：勾股定理是反映自然界基本归律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用.勾股定理的发现.验证和应用蕴含着丰富的文化价值.勾股定理从变的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过勾股定理的学习，同学们将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解.
勾股定理的逆定理也有着重要的地位，但在本章中不要求同学们从逻辑上对定理与逆定理进行一般的认识，因此，课本没有给出勾股定理逆定理的名称，而是称之为直角三角形的判别条件.课本以历史上古埃及人做直角的方法引入“三角形的三边如果满足a2+b2=c2,是否能得到一个直角三角形”的问题，然后通过让学生按已知数据作三角形，从测量三角形的度数来获得一个三角形是直角三角形的有关变的条件.
为了让同学们更好的体会勾股定理在实际问题中的作用，课本提供了较为丰富的历史的或现实的例子来展示他们的应用，体会了它们的文化价值.限于同学们已有的知识，有关应用中涉及数均为完全平方数，本章更多关注的是对勾股定理的理解和实际应用，而不追求计算的复杂.在同学们学习了无理数之后，可以再用勾股定理解决一些涉及无理数的实际问题.
1.1探索勾股定理
应知必会
1.培养合情推理.主动探究的习惯，进一步体会数形结合的思想.
2.掌握勾股定理，知道该定理反映了直角三角形三边之间的关系，它是直角三角形的一个重要性质.
3.能运用勾股定理由已知直角三角形的两边长求出第三边的长.
新知提要
1.勾.股.弦的概念：在我国古代，人们把直角角形中的较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.
2.勾股定理：直角三角形两边的平方和等于斜边的平方.即c2=a2+b2(c为斜边，a.b为直角边).
3.勾股定理作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；（3）可用来证明线段平方关系的问题等等.
典例精析
【例1】如图所示，隔湖有两点A,B,从与BA 方向成直角的BC上的C点，
测得CA=50米，CB=40米.求：A,B两点的距离.（2） 你能知道B点到直线AC
得最短距离吗？
【分析】（1）由题意可知，三角形ABC是直角三角形，A,B两点间的距离就是AB的长，所以用勾股定理可以求出.
（2）要问B到直线AC得最短距离，就是要求出B到AC的垂涎BD的长，运用面积公式可以解出.
【答案】解：由题意知ΔABC是直角三角形，勾股定理知AC2=BC2+AB2,又AC=50,BC=40,于是 AB2=502+402=900.
由AB为正，所以： AB=30米.
ΔABC的面积=·AB×BC =AC × BD.
则AB×BC=AC×BD所以BD====24（米）.
答：AB两地的距离为30米，B到AC 的最短距离为24米
【例2】如图所示，一根旗杆在离地面9米的A处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处的C处，旗杆折断之前有多高？
【分析】本题考查勾股定理的证明，解题时需要把本题的问题设法转化为求直角三角形的三边问题，求解思路为先用勾股定理求AB,再由旗杆折断之前的高度=AC+AB,求出结果.
【答案】如图，由题意AB2=92+122=225,所以AB=15故旗杆的高为15+9=24米.
过关练习1.1
1.选择题
（1） 一个直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边长为（ ）
A.4 B.8 C.10 D.12
(2) 斜边为17，一条直角边长为15的直角三角形的面积为（ ）
A.60 B.30 .C90 D.120
(3)直角三角形两直角边分别为5，12，则斜边上的高为（ ）
A.6 B.8 C. D.
2.填空题
（1） 在Rt△ABC中，斜边 AB=2, 则 AB2+BC2+CA2= .
（2） 直角三角形的周长是12CM，斜边的长是5CM ,则其面积为 .
（3） 如果一个直角三角形的一条直角边是另一直角边的2倍，斜边长是5㎝，
那么这个直角三角形的面积为 .
3． 如图，图中阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积.
15㎝
17㎝
4.如图，是一个长方形的操场，今不绕长方形的操场的两边走（A→C→B）而取捷径沿对角线（A → B）走，省去了长方形长边的距离，求长方形短边与长边各是多少？
C BB
A D
5.已知旗杆AB 高17米，在离旗杆顶端B处1米的地方系一条绳索，绳索长20米，将绳索拉直，绳索的另一端恰好到地面上的C处，求：A.C间的距离.
过关练习1.1参考答案
1．（1）C (2)A (3)D 2.(1)8 (2)6㎝2 (3) 5㎝2
3. 正方形的面积为S 所以，S=172-152=82=64
4. 设长方形长为 X,宽为y.则有：
x2+y2=(x+y-)2, x2+y2=( +y)2
x2+y2=x2+xy+y2
x2=xy两边同除以x2
得，=,故，长与宽的比为4：3.
5．A.C之间的距离是12米.
1.2 能得到直角三角形吗
应知必会
1.通过实际做图得直角三角形的判定条件（即勾股定理的逆定理），弄清定理的条件和结论，并能与勾股定理相区别.
2.会用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否是直角三角形，并能进行简单的应用.
3.理解勾股定理的含义，探索常用勾股数的含义.
新知提要
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a.b.c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.
2.弄清勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系.
① 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，其逆定理是判定定理.
② 联系：勾股定理与其逆定理得题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
3.如何用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形：
① 首先求出最大边（如c）
② 验证c2与a2+b2是否具有相等关系.
若c2=a2+b2,则∆ABC是∠C=900的直角三角形；
若c2≠a2+b2,则∆ABC不是直角三角形.
4.勾股数：满足a2+b2=c2的三个整数，称为勾股数.
对于任何一组已知的勾股数，都扩大相同的正整数倍后，就得到了一组新的勾股数.
典例精析
【例1】试判断：三边长分别为2n+2n,2n+1,2n+2n+1(n>0)的三角形是否为直角三角形.
【分析】先确定最大边，再由勾股定理的逆定理判断.本题易错点是不先确定最大边而盲目判断.解题的关键是判定最大边.你可以用作差比较法来判断.
【答案】解：因为（2n2+2n2+1）— (2n2+2n)=1>0
(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n2>0(n>o)
所以，2n2+2n+1为三角形中的最大边.
又因为，（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1
所以，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1
所以（2n2+2n+1）2=(2n2+2n)2+(2n+1)2
根据勾股定理的逆定理可知，此三角形为直角三角形.
【例2】如图，已知D是∆ABC边BC上的一点，
且AC=AD+DC.小明说，由上面条件可得到
AB2-AC2=BD2-CD2,你说小明说得对吗？为什么？
【分析】先利用AC2=AD2+DC2得∆ACD 是直角三角形，且∠ADC=900从而，∠ADB=900,
∆ABD也是直角三角形，再由勾股定理，即得.
【答案】解：小明说的对.因为由AC2=AD2+DC2,知∆ADC是直角三角形，且∠ADC=900从而，∠ADB=1800-∠ADC=900 所以∆ADB也是直角三角形，从而，AB=AD+BD
所以 AD2=AC2-DC 2,AD2=AB2-BD2
所以 AC2-DC2=AB2-DB2
即AB2-AC2=BD2-DC2
过关练习1.2
1．选择题
（1）以下列各组线段为边作三角形，其中能做出直角三角形的式( )
A.3,5,3 B.4,6,7 C.2,3,4 D.6,8,10
（2）一个零件的形状如图所示，按规定这个
零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A,∠A符合要求
B. ∠BDC符合要求
C. ∠A 和 ∠ BDC都符合要求
D. ∠A 和∠BDC都不符合要求
（3）在△ABC中，a,b,c分别是∠A, ∠B, ∠C的对边，在满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的式（ ）
A. ∠A: ∠B:∠C =3:4:5 B. ∠A: ∠B:∠C=1:2:3
C.a:b:c=3:4:5 D. .a:b:c=5:13:12
2.填空题
（1）某三角形的三条边长为15，20，25，则此三角形最长边上的高为 .
（2）△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，a+b+c是3得倍数，则c应为 ，
此三角形为 三角形.
（3）△ABC中，AC=13,BC=10,BC边上的中线
AD=12,则AC= .
3.如图，量的窗框AB 的长为160厘米，
窗框BC的长为120厘米，又量得AC的长为
200厘米，∠ABC是直角吗？为什么？
4．如果a,b,c是一组勾股数，且a,b,c没有大于1的因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41都是基础勾股数.观察这些基础勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾.股.弦三者的积有和特点?写出你的发现结果.
5．如图△ABC中，
∠ACB=900,CD⊥AB垂足为D, 若 ∠ B=300,
CD=6 求AB的长.
过关练习1.2参考答案
1.(1)D (2)D (3)A
2.(1)12 (2)13 直角（提示：7〈 C<17又C为奇数，所以C=9,11,13,15又a+b+c是3的倍数，只有C=13符合〉（3）13.提示：易知：△ACD也是直角三角形，由勾股定理得：AC=13
3. ∠ABC是直角.
4.勾与股必为一奇一偶，勾与股的积能被4整除，勾.股.弦三数的积能被60 整除.
5.8
1.3 蚂蚁怎么走最近
应知必会
1.能利用勾股定理解决简单的实际问题.
2.构造直角三角形，运用勾股定理解决最短距离问题.
3.经历问题解决的过程，培养将空间问题转化为平面问题去解决的能力.
新知提要
“蚂蚁怎样走最近”这个问题不仅是勾股定理的应用，而且体现了二.三维图形的转化，对发展空间观念很有好处，蚂蚁从棱柱下地面上的一点要爬到与之相对的上底面上的一点，且要求所走的距离最短，看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过棱柱的侧面展开而转化为平面上的路线问题.
涉及知识点“两点之间的所有连线中，线段最短”的结论.
典例精析
【例1】甲.乙两位探险者在沙漠探险，某日早晨8：0甲先出发，他以6千米/时的速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向西南方向行进，上午10：00甲.乙两人相距多远？
【分析】要求加以两人的距离，就要确定甲乙两人在平面的位置关系，由于甲往东南方向，乙往西南方向，所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直，然后求出甲.乙走的路程，利用勾股定理，即可求得甲.乙两人的距离.
【答案】解：甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米.
乙从上午9：00到上午10：00一共走了一小时，走了5千米.
那么，10：00甲.乙两人相距为：122+52=169=132
答：这是甲乙两人相距13千米.
【例1】如图1所示，一只蜘蛛从长方体的一个端点A爬到另一个端点D,已知长方体的长.宽.高分别是AB=8cm ,BC=7cm ,CD= 8cm ,求这个蜘蛛爬行的最短距离.
图1
图2
【分析】这个问题不仅是勾股定理的应用，俄而且体现了二.三维图形的转化，蜘蛛从长方体的一个端点A爬到与之相对应的另一个端点D,且要求所走的路线最短，看上去是一个立体图形上的路线问题，但实际上可通过长方体的侧面展开而转化为平面上的路线问题.具体思维过程可概括为：立体图形 平面图形 直角三角形问题.
【答案】解：如图2所示. AC=AB+BC=15cm,CD=8cm，且∠ACD =900 在Rt∆ACD 中，AD2 =AB2+CD2=152+82=289， AD=17.
答：这个蜘蛛爬行的最短距离为17cm .
【例3】如图1所示，公路MN 和公路PQ在点P处交会，且∠QPN=302，点A 处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为180千米/小时，那么受影响的时间为多少秒？
【分析】要判断拖拉机的噪音是否影响到学校A,实质上是看A到公路的距离是否小与100米，小于100米则受影响，大于100米则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度.要求出学校受影响的时间，实质上是要求拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校.
【答案】解：作AB⊥MN,垂足为B.
在Rt△ABP中，因为，∠ABP=900,
∠APB=300,AP=160
所以，AB=1/2AP=80(在直角三角形中，
30所对的直角边等于斜边的一半)
图1
因为，点A到直线MN的距离小于100m.
所以这所学校会受到影响.
如图2，假设拖拉机在公路上沿方向行驶至点C 处学校开始受到影响，那么AC=100(m)
由勾股定理得：BC2=1002-802=3600
∴BC=60
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100(m),BD=60(m)
∴CD=120（m）
图2
∴t=120/18=1/150(h)=24(s)
答：学校会受到噪音影响，受影响时间为24秒.
过关练习1.3
1.选择题
（1）如图1，在一块长4米，宽3米的长方形草地ABCD的四个顶点处各居住着一只蚂蚁，居住在定点A处的蚂蚁准备拜访居住在B,C,D三个顶点的蚂蚁，那么他拜访到最后一只蚂蚁的时候，它的旅程最小为（ ）
A.10M B. 11M C.13M D.14M
(2)如图2，在高为5M,坡长为13M的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A.17M B.18M C.25M D.26M
图1 图2
（3）已知立方体的棱长为1，则蚂蚁在表面上从一个顶点爬行到相对顶点的距离的平方为（ ） A. 8 B. 5 C. 3 D. 2
（4）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.填空题
（1）求圆柱下底面圆上一点与上底面上一点之间的距离时，需要将 展开.
（2）某农户有一块直角三角形地，两直角边长分别为15米和36米，靠近这块地的斜边有一个长方形养鱼塘，已知鱼塘宽5米，则这个鱼塘的面积是 .
（3）图⑴.图⑵是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面图.设图⑴.图⑵两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a.b(不记接头部分），则a.b的大小关系为：a________b(填“＜”.“＝”或“＞”）.
3.有一个小朋友拿着一根竹竿要过一个长方形的门，如果把
竹竿竖放就必们高出1尺，斜放就恰好等于们的对角线厂，
已知门宽4尺 ，求竹竿高与门高.
4.葛藤之中缠绕生长的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它饶树盘开的路线，总是沿最短路线螺旋前进的.难道植物也懂数学？
通过阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？
（1）如果树的周长为3厘米，绕一圈升高4厘米，则它
爬行路程是多长？
（2）如果树的周长为8厘米，绕一圈爬行10厘米，则爬行一圈升高多少？如果爬行10圈到达树顶，则树干高是多少？
过关练习1.3参考答案
1.(1) A.(按A B C D)
(2)A(先由勾股定理求另一直角边12，地毯长为12+5=17米.
（3）B.
（4）C.
2.(1)过下底面（上底面）的高；
（2）195米2
（3）=.
3.解：设门高为x尺，则竹竿高为X+1尺，这样门的对角线长也为X+1
于是根据题意：X2+42=(X+1)2 所以X=7.5尺
答：竹竿高为8.5尺，门高为7.5尺
4.展开圆柱（树干的一段）的侧面，为一个长方形.
（1）长为4dm,宽为3dm,则长方形对角线长为5dm.
(2)爬行一圈升高6cm,长为8cm,则长方形的对角线长为10cm ;绕10圈则有60cm高.
整章检测题
（共100分，时间100分钟）
一、填空题（每小题4分，共40分）
1.请你任写两组勾股数： 、 .（要求两组数的比值不同）
2.如图（一），图中的字母.数代表正方形的面积，则A= .
3.如图（二），9，36表示两个正方形的面积，则阴影部分的面积是 .
4.如图（三），根据图中的数据进行计算，AB= .
5.在直角三角形中，a，b为直角边，c为斜边.（1）若a=3，b=4，则c= .
（2）若c=17，a=15，则b= .
6.小明.小红在同一位置，小明向北走了6m，小红向东走了8m，这时两人相距 m.
7.△ABC的三边长分别是，，2，则△ABC的面积是 .
8.如图（四），在方格纸中，一个小正方形的面积是1，则图中四边形ABCD的面积是
.
9.如图（五），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，若AC=12，BC=5，则CD= .
10.如图（六），工人师傅准备在一个长.宽分别是10cm，9cm的长方形铁板上打两个小孔，小孔的圆心距两边的距离都是3cm，则两孔圆心间的距离是 cm.
二、解答题（10分）如图（七），用四个边长是a，b，c的直角三角形拼成右边的一个正方形，用这种拼图，你能推导出勾股定理吗？
写出你的推导过程.
（七）
三、解答题（10分）如图（八），一架长25米的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑5米，那么云梯的底端在水平方向将滑多少米？（保留一位小数）
A
C
O
D
B
（八）
四、解答题（10分）如图（九），工人要从甲楼顶端A处引一条电线到乙楼的顶端B处，已知甲楼高14米，乙楼高20米，而两楼之间相距33米，这根电线至少要多长？（保留两位小数）.
A
五、解答题（10分）如图（十），一段台阶，每级台阶的高度为30cm，宽度为60cm，A、B两点间相距多远？（保留整数）
B
六、解答题（10分）如图（十一），△ABC中，AB=25，AC=7，BC=24，根据题中的已知，提出几个与△ABC有关的问题，并加以解决（每个问题3分）.
（十一）
七、解答题（10分）如图（十二），一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
整章检测题参考答案
一、1.3，4，5；5，12，13. 2.22；3.56；4.65；5.5，8；6.10；7.1；8.25；
9.；10.5.
二、提示：正方形的面积可表示为：c2
也可表示为：2ab+(b-a) 2= a2 +b2
三、解：在Rt△ABO中，，
则CD=AO－AC=24－5=19
在Rt△CDO中，16.3
则BD=OD－OB=≈9.3（米）
四、33.54米.
五、390cm.
六、问题：（1）△ABC是什么形状的三角形？（解略）（2）△ABC的周长是多少？（解略）（3）△ABC斜边AB上的高是多少？（解略）（4）△ABC的面积是多少？（解略）
（5）△ABC的BC边上的中线长是多少？（解略）（6）△ABC的AC边上的中线长是多少？（解略）
七、如图1，当∠B=90°时，设BC=m，
则AC=（m 在Rt△ABC中，
，即
解之 则AC=，这时 图 1
该点将绳子分成两段.
如图2，当∠C=90°时，
根据勾3股4弦5可知这两段
为30cm，40cm.
图2
资料补充——
广角镜
托尔斯泰名题
俄国作家列夫·托尔斯泰在他的作品中写了一个故事：巴霍姆想在草原上买一块地，他问卖地人价钱如何，卖地人说：“每天100卢布，只要出1000卢布，你从日出到日落走过的路所围成的地都归你.不过，你日落前会不到原来出发的地方，你的钱就白花了”.巴霍姆沉着核算，就付了1000卢布.
第二天，太阳刚升起，巴霍姆就在大草原上跑起来，他先向南奔跑了10千米，才向东怪，接着又跑了15千米，向北拐；当他又跑了2千米，他发现太阳快落下去了，于是马上改变方向，笔直地朝出发点跑去，为了不是1000卢布白花，他拼命地跑，总算在太阳消失之前赶回出发点，可它向前一扑，再也站不起来了.
贪婪的巴霍姆人财两空，自作自受.但是他却给我们留下一个数学问题.你能算出巴霍姆一共跑了多远的路程吗？
（44千米）提示：作DE ┴ AB,可求AD=17.
费尔马定理证明的艰难探索
1993年6月，普林斯顿大学教授A.Wiles在英国剑桥大学作了三次报告，在第三次报告中，他宣布证明了费尔马定理，这一消息在世界数学界中引起震动.然而，同年12月4日，Wiles又宣布他的证明有漏洞，还不能算最后解决.
费尔马（1601-1665）是法国图卢兹城一个商人的儿子，大学毕业后当了一名律师，30岁以后才对数学发生了兴趣.但是，他却在数学的许多领域取得了辉煌的成就.他与笛卡尔一道奠定了解析几何的基础，与帕斯卡一起创立了概率论，与牛顿.莱布尼兹共同创立了微积分.
费尔马一生发表的著作极少，他在数学方面的种种发现大都记录在和友人的通信中或是新首批注在所阅读过的书籍文献的空白处.1621年，费尔马买了古希腊数学家丢番图所著的《算术》一书的拉丁文译本，他在书上加了不少批语.有一段批语是：“将一个正整数的立方表示为两个正整数的立方和；将一个正整数的四次方幂表示为两个正整数的四次方幂的和；或者一般地，将一个正整数高于二次的幂表示为两个正整数同次幂的和.这是不可能的.对此，我确信已经找到了令人惊异的证明，但是书页的边幅太窄了，无法把他写下.”
这个批语可简述为：“当n是大于或等于3的正整数时，不定方程x+y=z无正整数解.”这就是费尔马定理.由于这个批语是费尔马去世后才发现的，所以人们无从得知费尔马本人给出的证明.许多数学家致力于证明这个“定理”.
早期的尝试是对特殊的n值求证.1780年，欧拉首先证明了n=3时费尔马大定理成立.随后50余年里，狄里希莱.勒让德.拉梅等又相解决了n=5,7,11,14等情况.最近，，美国加利福尼亚大学教授罗瑟利用计算机把n的上限推到4100万.
由于n可以无限大，这种以n值逐个求证的方法是不能最终证明费尔马大定理的.从19世纪40年代开始，德国数学家库麦尔另辟蹊径，对一类他称之为“正则素数”的n整体证明了费尔马大定理.并且它在研究定理证明的过程中创立了重要的新概念和新的数学分支.20世纪初，费尔马大定理的证明进入了一个新阶段.一些数学家将这一定理与代数曲线的研究联系起来，引进了强有力的代数几何工具.1992年莫代尔提出一代数曲线至多有有限个点的猜想.1993年这一猜想被德国人法廷斯证明.根据莫代尔猜想，费尔马方程x+y=z(n3,n是正整数)至多只有有限个互素的整数解.这是向最终证明费尔马大定理的极大逼近.法廷斯因此荣获1986年度的菲尔兹数学奖.
菲尔马大定理的证明的思考过程运用了分类讨论的数学思想，先从n=3,4,5……逐意讨论，再将n区分为几种情况讨论.
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