资源描述
第二十九章 直线与圆的位置关系
1.了解点与圆、直线与圆的位置关系,并能用相应的数量关系说明它们的位置关系.
2.掌握切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的位置关系,会过一点画圆的切线.
3.了解直线与圆相切的有关性质,能判断一条直线是否为圆的切线,知道三角形的内心的概念.
4.理解切线长的概念,探索并证明切线长定理,并能运用它解决有关问题.
5.了解正多边形及其有关的概念,了解正多边形与圆的关系.
6.会用尺规作三角形的内切圆、圆的内接正方形和圆的内切正六边形.
1.经历从现实生活中抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,体会数学与生活的密切联系.
2.积极引导学生从事观察、测量、猜想、归纳、证明等活动,培养学生探究问题的能力及创新精神.
3.在探索点与圆、直线与圆的位置关系的过程中,体会数形结合思想在数学中的应用.
4.结合切线的判定和性质及切线长定理的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识的逻辑思维能力.
5.经历动手、探索、画图,了解正多边形和圆的关系,体会化归思想在解决问题中的重要性,培养学生的动手能力.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用等数学学习过程,使学生体会化归的数学思想,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
3.结合相关图形性质的探索和证明,进一步培养综合运用所学知识,分析问题、解决问题的能力.
4.进一步培养学生综合运用学过的知识解决问题的能力,同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育.
圆作为基本的平面图形,是人们生活中常见的图形,在上一章我们学习了圆的概念、性质、和圆有关的角等知识,积累了大量的有关圆的经验.本章在此基础上,进一步研究点与圆、直线与圆的位置关系,切线的性质和判定,切线长定理及正多边形与圆等相关的知识,是上一章圆的有关性质的延续和拓展,让学生在初中阶段比较系统、完整地学习圆的知识,为今后学习解析几何等知识打下基础.
本章从生活实际问题出发,抽象出点与圆、直线与圆的位置关系,让学生体会到学习的必要性和重要性,明确用数量关系揭示几何图形之间的位置关系,这是几何学习的深化与发展,充分体现数学中数形结合思想的应用.切线的性质和判定、切线长定理是本章内容的重点,学生通过合作学习,经历性质和判定的探究过程,进一步提高学生探究问题的能力,发展学生的逻辑思维能力.本章的学习,要用到前面许多知识和方法,比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系,把这种针对具体图形的结论和方法推广,能使学生实现由具体到抽象、特殊到一般的认识上的飞跃,提高学生的思维能力.本章知识的学习是前面知识综合应用的过程,在初中数学学习中占有重要地位,尤其是为逐步建立的数形结合、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用.
【重点】
与圆有关的位置关系;切线的性质和判定、切线长定理的证明及应用;与正多边形有关的计算.
【难点】
切线的性质和判定、切线长定理的综合运用.
1.教材将数学与生活实际相联系,让学生从实际背景中感知数学知识,体会数学在生活中的应用.在教学中应重视创设生活情景,激发学生的学习兴趣及求知欲,从生活实例中抽象出与本章相关的图形,发现图形之间的位置关系.
2.数学知识的形成过程是一个数学思维的过程,在教学过程中设计学生动手操作及合作交流的数学活动,引导学生积极参与探究活动,经历知识的形成过程,逐步提高学生的数学思维水平.
3.在教学过程中教师要关注学生的探究过程,在学生独立思考的基础上,鼓励学生通过小组合作与交流的方式解决问题,让学生在与同伴合作、自主探究中探索、归纳出数学概念、性质及判定,培养学生自主探究的精神及合作意识.
4.重视数学思想方法的渗透,数学思想与方法是数学学习的灵魂,本章涉及的数学思想和方法较多,如探究点与圆、直线与圆的位置关系时的分类讨论思想及数形结合思想;探究正多边形与圆时的转化思想.通过学习本章知识,使学生掌握化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.
5.探究直线与圆的位置关系具有一定的抽象性,需要有较高的空间想象能力和逻辑推理能力.在教学中应重视培养学生论证及推理能力.本章所研究的问题常需要综合运用多方面知识,这对培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力是相当有好处的,在教学中抓住此机会使学生解决问题的能力有较大的飞跃.
29.1点与圆的位置关系
1课时
29.2直线与圆的位置关系
1课时
29.3切线的性质和判定
1课时
29.4切线长定理
1课时
29.5正多边形与圆
1课时
回顾与反思
1课时
29.1 点与圆的位置关系
1.了解点与圆的三种位置关系.
2.理解并掌握点与圆的三种位置关系中相关数量间的关系.
3.能应用点与圆的位置关系解决简单问题.
1.经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系的过程,体会数学与实际生活的密切联系.
2.探索点与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索点与圆的位置关系中相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
2.在数学活动过程中,发展学生的合作交流意识和主动探索精神.
【重点】
点与圆的位置关系中相关数量间的关系.
【难点】
探索点与圆的位置关系的过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P2~3.
导入一:
(课件展示)
我国射击运动员在奥运会上屡获金牌,为祖国赢得荣誉.如图所示的是射击靶的示意图,它是由许多同心圆(圆心相同,半径不等的圆)构成的,你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗?
【教师活动】 教师展示课件,引导学生观察,要解决这个问题就要研究点与圆的位置关系.
[设计意图] 由学生感兴趣的奥运射击比赛成绩的计算导入新课,激发学生的学习兴趣.
导入二:
(课件展示)
足球运动员踢出的足球在球场上滚动,在足球穿越中圈区(中间圆形区域)的过程中,可将足球看成一个点,这个点与圆具有怎样的位置关系?
【教师活动】 教师展示课件,提出问题,导出本节课的课题.
[设计意图] 足球与中圈区之间的位置关系,让学生初步感受点与圆的位置关系,体会数学与生活密切相关,降低本节课的学习难度.
导入三:
复习提问:
1.圆的两个定义是什么?确定一个圆的两个基本要素是什么?
2.点与直线有几种位置关系?
[设计意图] 通过复习和圆有关的概念及点与直线的位置关系,为用类比思想学习新知识打下铺垫.
[过渡语] 我们已经学习了圆的性质,而圆作为一种重要的几何图形,还有许多知识,这节课我们一起学习点与圆的位置关系.
观察与思考
【师生活动】 教师通过课件演示足球穿越中圈区的动画过程,并提出问题:把足球看作点,把中圈区看作圆,点与圆有几种位置关系?学生独立思考后小组合作交流,学生代表回答,教师板书并课件展示.
(课件展示)
在同一个平面内,点与圆有三种位置关系:点在圆外、点在圆上和点在圆内.点P与☉O的位置关系如图所示.
[设计意图] 通过动画演示,让学生直观感知点与圆的位置关系,并用几何图形进行刻画,用数学语言进行描述,为进一步探究点与圆的位置关系做好铺垫,同时通过创设与生活有关的情景问题,激发学生探究本节课知识的求知欲.
共同探究
思路一
(课件展示)
已知点P和☉O,☉O的半径为r,点P与圆心O之间的距离为d.
1.请根据下列图形中点P和☉O的位置,在表格中填写r与d之间的数量关系.
语言描述
图形表示
r与d之间的
数量关系
点P在☉O外
点P在☉O上
点P在☉O内
【师生活动】 教师展示课件,学生观察独立思考后,小组内合作交流,归纳总结由点与圆的位置关系得到的r与d之间的数量关系的规律,学生代表展示后,教师板书并点评.
(板书)
点P在圆外⇒d>r;
点P在圆上⇒d=r;
点P在圆内⇒d<r.
2.当d与r分别满足条件d>r,d=r,d<r时,点P与☉O有怎样的位置关系?
【师生活动】 学生小组内交流,归纳总结r与d之间的数量关系与点与圆的位置关系的规律,小组代表展示,教师归纳点评.
(板书)
(1)点P在☉O 外⇔d>r.
(2)点P在☉O上⇔d=r.
(3)点P在☉O 内⇔d<r.
注:符号“⇔”读作“等价于”,它表示从左端可以推出右端,从右端也可以推出左端.
思路二
思考:
1.观察下列各个图中点P与☉O的位置关系?
2.各图中的点P到圆心O的距离d与☉O的半径r分别有什么关系?
3.总结由这三点分别与圆的位置关系得到什么样的数量关系?
【师生活动】 学生观察图形,独立思考后小组讨论、总结判断点与圆的位置关系的方法,学生展示后教师点评.
结论:
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
点P在圆外⇒d>r;
点P在圆上⇒d=r;
点P在圆内⇒d<r.
4.以任意一点为圆心画一个半径为3 cm的圆,点P1,P2,P3到圆心的距离分别为2 cm,3 cm,5 cm,在图上标出这三点的位置.
5.观察这三点与圆的位置关系,总结由这三点到圆心的距离得到什么样的位置关系?
【师生活动】 学生动手操作后,小组内交流和探索结果,学生展示后教师点评.
结论:
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
d>r⇒点P在圆外;
d=r⇒点P在圆上;
d<r⇒点P在圆内.
(课件展示)
设☉O的半径为r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
(1)点P在☉O外⇔d>r.
(2)点P在☉O上⇔d=r.
(3)点P在☉O内⇔d<r.
[设计意图] 通过观察、思考、讨论、归纳等数学活动,共同探究点与圆的位置关系、半径与点到圆心的距离之间的数量关系的互相转化,体会数形结合思想,培养学生分析问题及归纳总结能力.
例题讲解
(课件展示)
(教材第3页例)如图所示,在△ABC中,∠C = 90°,AB=5 cm,BC=4 cm,以点A为圆心、3 cm为半径画圆,并判断:
(1)点C与☉A的位置关系.
(2)点B与☉A的位置关系.
(3)AB的中点D与☉A的位置关系.
思路一
教师引导:
(1)如何判定点与圆的位置关系?
(先确定点与圆心的距离,再与半径的大小进行比较可得.)
(2)在直角三角形中已知两条直角边,如何求第三边的长?
(利用勾股定理求直角三角形的边长.)
(3)直角三角形斜边上的中线有什么性质?
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.)
(4)点C,B,D与圆心A的距离分别是多少?与半径之间的大小关系如何?
(AC=3 cm=r,BC=4 cm>r,CD=AB= cm<r.)
(5)根据点到圆心的距离与半径的大小之间的关系,你能分别判断点C,B,D与☉A的位置关系吗?
(点C在☉A上;点B在☉A外;点D在☉A内.)
【师生活动】 教师提出问题,学生思考回答,独立完成后板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
解:已知☉A的半径r=3 cm.
(1)因为AC===3(cm)= r,所以点C在☉A上.
(2)因为AB=5 cm>3 cm=r,所以点B在☉A外.
(3)因为DA=AB=2.5 cm<3 cm=r,所以点D在☉A内.
思路二
【师生活动】 学生独立思考后小组内合作交流,小组代表板书解答过程,教师点评.教师追加提问:判断点与圆的位置关系的步骤是什么?师生共同归纳总结.
(板书)
同思路一.
[设计意图] 通过例题,进一步体会判断点与圆的位置关系的一般方法,培养学生分析问题及归纳总结能力.
[知识拓展] 1.圆将平面分成三部分,圆内、圆上和圆外,因此点与圆有三种位置关系.
2.由点与圆的位置关系可以确定该点到圆心的距离和半径的关系.反过来,已知点到圆心的距离和半径之间的关系,可以确定该点与圆的位置关系.
1.点与圆的位置关系.
设☉O的半径为 r,点P到圆心O的距离OP=d,则有:
点P在圆外⇔d>r;
点P在圆上⇔d=r;
点P在圆内⇔d<r.
2.判断点与圆的位置关系的一般步骤.
1.☉O的半径为4 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,则点A与☉O的位置关系是 ( )
A.点A在圆内
B.点A在圆上
C.点A在圆外
D.不能确定
解析:OA=3 cm<4 cm,则点A与☉O的位置关系是:点A在圆内.故选A.
2.在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,点D是AB边的中点,以点C为圆心,4 cm长为半径作圆,则点A,B,C,D四点中在圆内的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:∵以点C为圆心,4为半径作圆,AC=BC=4,则A,B两点到圆心C的距离等于半径,∴点A,B在圆上.∵在直角三角形ABC中,D是AB的中点,AC=BC=4,∴AB==4,∴CD=AB=2,则2<4,∴点D在☉C内.那么在圆内只有C,D两个点.故选B.
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,CM是中线,以点C为圆心, cm为半径作圆,则A,B,M三点在圆外的有 ,在圆上的有 ,在圆内的有 .
解析:∵∠ACB=90°,AC=2 cm,BC=4 cm,∴AB==2(cm).∵CM是中线,∴CM=AB= cm,∴点M在圆上.∵AC=2 cm< cm,∴点A在圆内.∵BC=4 cm> cm,∴点B在圆外.
答案:B M A
4.已知☉O的半径为5,O为原点,点P的坐标为(2,4),则点P与☉O的位置关系是 .
解析:由勾股定理,得OP== <5,∴点P与☉O的位置关系是点P在☉O内.故填点P在☉O内.
29.1 点与圆的位置关系
观察与思考
共同探究
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第4页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第4页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.☉O的半径为3 cm,点O到点P的距离为 cm,则点P ( )
A.在☉O外 B. 在☉O内
C. 在☉O上 D. 不能确定
2.已知☉O的半径为5 cm,A为线段OP的中点,当点A在☉O的外部时,线段OP的长度可以是 ( )
A.6 cm B.10 cm C.14 cm D.8 cm
3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,CM为中线,以点C为圆心,以 cm为半径作圆,则点A,B,C,M四点在☉C外的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.若☉A的半径为5,点A的坐标为(3,4),点P的坐标为(5,8),则点P的位置为 ( )
A.在☉A内 B.在☉A上
C.在☉A外 D.不确定
5.☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P,且PM=3 cm,则点P ( )
A.在☉O内
B.在☉O上
C.在☉O外
D.可能在☉O上或在☉O内
6.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作☉O,设线段CD的中点为P,则点P与☉O的位置关系是 .
7.若点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,以2为半径的圆内,则a的取值范围是 .
8.已知☉O的半径为1,点P到圆心O的距离为d,且方程x2-2x+d=0没有实数根,则点P与☉O的位置关系是 .
9.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,点D是BC的中点,现在以点D为圆心,DC为半径作☉D.
(1)当BC=8时,判断点A与☉D的位置关系;
(2)当BC=6时,判断点A与☉D的位置关系;
(3)当BC=5时,判断点A与☉D的位置关系.
【能力提升】
10.若☉O所在平面内一点P到☉O上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的直径为 ( )
A. B.
C.或 D.a+b或a-b
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径的半圆交AB于D,P是弧上的一个动点,连接AP,则AP的最小值是 .
(第11题图)
(第12题图)
12.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,CD⊥AB于D.
(1)以点C为圆心,6为半径作圆,试判断点A,D,B与圆C的位置关系;
(2)若点O是AB的中点,则☉C的半径为多少时,点O在☉C上?
【拓展探究】
13.爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9 cm,点导火索的人需要跑到离爆破点120 m以外的安全区域,已知这个导火索的长度为18 cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5 m是否安全?
【答案与解析】
1.A(解析:∵OP= cm>3 cm,∴点P与☉O的位置关系是:点P在圆外.)
2.C(解析:当点A在☉O的外部时,OA>5 cm,所以OP>10 cm.故选项C符合.)
3.C(解析:∵∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=8 cm,∴AB==4(cm).∵CM是中线,∴CM=AB=2 cm,∴点M在圆外.∵AC=4 cm> cm,∴点A在圆外,∵BC=8>,∴点B在圆外.)
4.A(解析:∵点A的坐标为(3,4),点P的坐标是(5,8),∴AP==2.∵☉A的半径为5,且5>2,∴点P在☉A的内部.)
5.B(解析:∵☉O的半径r=5 cm,圆心到直线l的距离OM=4 cm,在直线l上有一点P且PM=3 cm,∴MP=3,OM=4,OM⊥PM,∴PO=5,∴点P在圆上.)
6.点P在☉O内(解析:∵AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,∴AD=5.∵点O是AC的中点,点P是CD的中点,∴OP是△CAD的中位线,OC=OA=3,∴OP=AD=2.5.∵OP<OA,∴点P在☉O内.故填点P在☉O内.)
7.-1<a<3(解析:以点A(1,0)为圆心,2为半径的圆交x轴两点的坐标为(-1,0),(3,0).∵点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,2为半径的圆内,∴-1<a<3.)
8.点P在☉O外(解析:由题意,得(-2)2-4d<0,解得d>1,所以点P在☉O外.)
9.解:∵AB=AC=5,D为BC的中点,∴AD⊥BC.(1)当BC=8时,DC=BD=4,∴AD==3<BD,所以点A在☉D内. (2)当BC=6时,BD=3,∴AD==4>BD,∴点A在☉D外. (3)当BC=5时,∴BD=,AD===BD,∴点A在☉D上.
10.D(解析:当点P在☉O内时,此圆的直径为点P到☉O上的点的最大距离与最小距离之和,即d=a+b;当点P在☉O外时,此圆的直径为点P到☉O上的点的最大距离与最小距离之差,即d=a-b.)
11.-1(解析:取BC的中点E,连接AE,交半圆于P2,在半圆上取P1,连接AP1,EP1,则AP1+EP1>AE,即AP2是AP的最小值.∵AE==,P2E=1,∴AP2=-1.)
12.解:(1)在△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,由勾股定理,得AC=6=r,所以点A在☉C上.由S△ABC=CD·AB=AC·BC,所以CD=4.8<r.所以点D在☉C内.又BC=8>r,所以点B在☉C外. (2)在Rt△ACB中,O为斜边AB的中点,所以CO=AB=5,所以当☉C的半径为5时,点O在☉C上.
13.解:点导火索的人非常安全.理由如下:
导火索燃烧的时间为=20(s),此时人跑的路程为20×6.5=130(m),因为130 m>120 m,所以点导火索的人非常安全.
本节课由学生感兴趣的计算奥运射击的成绩和足球穿越中圈区导入新课,让学生直观地感受点与圆的位置关系,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活的密切联系,然后通过建立数学模型,进一步探究点与圆的三种位置关系.学生通过观察图形、思考、归纳,先得到点与圆的三种位置关系和点到圆心的距离之间的关系,体会由形到数,然后再动手操作,由点到圆心的距离可以确定点与圆的位置关系,体会由数到形,感受数形结合思想在数学中的应用.在整节课的探究过程中,学生通过观察、独立思考,小组合作交流,共同归纳结论等数学活动探究点与圆的位置关系,学生思维活跃,积极参与思考和交流,课堂气氛活跃,每个学生都在享受学习带来的快乐.
本节课的重点是探究点与圆的位置关系,内容较为简单,在教学设计中以生活实际情景导入新课后,学生通过自主学习、小组合作交流共同归纳点与圆的位置关系,让学生在经历知识的形成过程中,体会数形结合思想在数学中的应用,在实际教学中,有的学生对由形到数、由数到形的探究过程思路混乱,数学学习就是掌握数学思想和方法的过程,在以后的教学中,注意在课堂上逐步渗透数学思想和数学方法的教学,提高学生的数学思维能力.
本节课经历从现实情景中抽象出点与圆的位置关系,精心创设情景,让学生初步感知点与圆的位置关系的同时,激发学生的学习兴趣和探究欲望.在探究过程中,以学生自主学习为主,通过学生之间的交流与合作,共同探究点与圆的位置关系及相应的数量关系,并由数量关系判断点与圆的位置关系,体会数形结合的思想.在教学设计中突出学生的主体地位,以学生活动为主,教师在教学活动中做到点评精讲,以培养学生的思考能动性,提高学生数学学习能力为主.
练习(教材第4页)
1.解:因为OA==2,且2<5,所以点A在☉O内.因为OB==5,所以点B在☉O上.因为OC==4,且4>5,所以点C在☉O外.因为OD==,且>5,所以点D在☉O外.
2.解:设BA与☉A交于点C,则BC=10-3=7(km),7÷10=0.7(h),即渔船从B处向点A处行驶0.7 h之内是安全的,超过0.7 h就进入了危险区域.
习题(教材第4页)
A组
1.解:由题可知OD⊥l,且OD=3,PD=4,∴OP=5,∵r=5,∴点P在☉O上.∵QD>4,∴OQ>r,∴点Q在☉O外.同理可知点R在☉O内部.
2.解:如图所示,连接AC,∵AB=3,AD=4,∴AC=5,∴点B到圆心A的距离最小,点C到圆心A的距离最大,∴3<r<5.
(第2题图)
B组
1.解:如图所示.(1)当点A1在☉D上时,由于BC为直径,A1B=A1C,可知△A1BC为等腰直角三角形,故∠BA1C=90°. (2)当点A2在☉D内时,90°<∠BA2C<180°. (3)当点A3在☉D外时,0°<∠BA3C<90°.
(第1题图)
2.解:☉O上到弦AB所在直线的距离为2的点有4个.分别是:过O点作直线CD∥AB交☉O于C,D两点,且直线CD到直线AB之间的距离为2,则点C,D到直线AB的距离为2;在直线AB下方作直线EF∥AB交☉O于E,F两点,且直线EF与直线AB之间的距离为2,则点E,F到直线AB的距离为2,如图所示.
(第2题图)
重视数学思想和数学方法的培养
圆在初中平面几何中占有重要的地位,并且点与圆的位置关系的应用比较广泛,它是在前面学习了圆的有关性质的基础上进行的,为后面的直线和圆的位置关系做铺垫的一节课.本节课的重点是探究点与圆的位置关系,通过生活实际情景引入这节课的内容,通过点与圆的相对运动,揭示点与圆的位置关系,培养学生运动变化的辩证唯物主义观点.本节课的教学内容看似少而简单,但让学生真正理解如何由图形的位置关系得出数量关系,以及从数量关系联想到图形的位置关系,却并非简单.如果教师在教学过程中不重视知识的形成过程,只是让学生记忆结果,就无法体会到学习的本质,不能体会数学思想和方法在学习中的应用.数学思想方法是数学教学的重要内容,在知识的形成过程中,适时渗透数学思想方法,可以提高学生的数学学习能力.本节课中探究点与圆的位置关系,让学生通过观察、思考、交流、归纳等数学活动,体会数形结合思想在数学中的应用,真正理解和掌握基本的数学知识、数学思想和数学方法,同时获得广泛的数学学习经验,从而提高学生的数学思维能力.
如图所示,已知矩形ABCD的边AB=3 cm,AD=4 cm.
(1)若以A点为圆心,4 cm为半径作☉A,判断点B,C,D与☉A的位置关系;
(2)若以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在☉A内,且至少有一点在☉A外,求☉A的半径r的取值范围.
解:(1)连接AC.
∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4 cm,
由勾股定理,得AC==5(cm).
∵AB=3 cm<4 cm,AC=5 cm>4 cm,AD=4 cm,
∴点B在☉A内,点C在☉A外,点D在☉A上.
(2)以点A为圆心作☉A,使B,C,D三点中至少有一点在圆内,且至少有一点在圆外,则圆A的半径要大于AB的长,小于AC的长,所以3<r<5.
29.2 直线与圆的位置关系
1.理解直线与圆之间有相交、相切和相离三种位置关系.
2.了解切线的概念,探索直线与圆的各种位置关系及相应的数量关系.
1.经历从现实情景中抽象出直线与圆的位置关系的过程,体会数学来源于生活.
2.在探索直线与圆的三种位置关系的过程中,体会数学分类讨论思想和数形结合思想.
3.通过探索直线与圆的位置关系与相关数量间的关系,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的策略.
1.在教学活动中,培养学生独立思考的学习习惯、合作交流的意识.
2.通过探索知识的过程激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和探索欲望.
【重点】
直线与圆的位置关系与相关数量间的关系.
【难点】
数形结合思想在直线与圆的位置关系中的应用.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P5~6.
导入一:
动手操作:
如图所示,在纸上画一条直线l,把钥匙环(或硬币)看作一个圆.在纸上移动钥匙环(或硬币),你能发现在移动钥匙环(或硬币)的过程中,它与直线l的公共点个数的变化情况吗?
【师生活动】 学生动手操作,教师借助课件动画演示,师生共同观察运动过程中公共点的个数变化情况.
导入二:
(课件展示)
清晨,一轮红日从东方冉冉升起,太阳的轮廓就像一个运动的圆,从地平线下渐渐升到空中.在此过程中,太阳轮廓与地平线有几种不同的位置关系呢?
【师生活动】 教师播放太阳升起的动画图片,学生观察、思考、动手操作后小组内交流,共同归纳直线与圆的位置关系,学生回答各问题后,教师进行点评,导入新课.
[设计意图] 利用动手操作、动画演示形式导入新课,让学生在实际生活情景中直观地感受直线与圆的位置关系,调动学生的学习兴趣,同时感受数学来源于生活,又应用于生活中去.类比点与圆的位置关系,能轻松地归纳出直线与圆的位置关系.
[过渡语] 通过观察和操作,我们可以发现直线与圆的三种位置关系,如何用数量关系来描述直线与圆的位置关系呢?类比点与圆的位置关系,让我们一起去探究吧!
共同探究
思考:
1.一条直线与一个圆的公共点的个数可分为几种情况?
2.什么是直线与圆相交、相离、相切?什么叫做圆的切线?
3.直线与圆有几种位置关系?
【师生活动】 学生自主学习教材P5,小组内合作交流,共同归纳总结,小组代表展示,教师点评归纳.
(课件展示)
直线l与☉O相交、相切和相离的三种位置关系,如图所示.
相交:当直线与圆有两个公共点时,我们称直线与圆相交.
相切:当直线与圆有唯一一个公共点时,称直线与圆相切,此时这个公共点叫做切点,这条直线叫做圆的切线.
相离:当直线与圆没有公共点时,称直线与圆相离.
[设计意图] 学生在直观感受直线与圆的位置关系后,通过自主学习、合作交流等数学活动,经历知识的形成过程,体验数学学习的快乐,用几何图形刻画直线与圆的位置关系,并用数学语言进行描述,为进一步探究直线与圆的位置关系做好铺垫.
观察与思考
[过渡语] 类比点与圆的位置关系,我们可以用有关数量之间的关系刻画直线与圆的位置关系.
思路一
1.动手操作:画出直线l和☉O的三种位置关系,并作出圆心O到直线l的垂线段.
2.设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
思考:
你能类比点与圆的位置关系与相关数量之间的关系,用圆心到直线的距离d和圆半径r之间的数量关系,来揭示直线与圆的三种位置关系吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,学生代表展示后,教师点评归纳.
(课件展示)
(1)直线l与☉O相交⇔d<r.
(2)直线l与☉O相切⇔d=r.
(3)直线l与☉O相离⇔d>r.
思路二
(课件展示)
如图所示,已知☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.
思考:
1.当直线l与☉O相交、相切或相离时,r与d分别具有怎样的数量关系?
2.当d<r,d=r或d>r时,l与☉O分别具有怎样的位置关系?
【师生活动】 学生独立思考后,小组内合作交流,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,小组代表展示交流成果,教师点评归纳,课件展示.
(课件展示)
(1)直线l与☉O相交⇔d<r.
(2)直线l与☉O相切⇔d=r.
(3)直线l与☉O相离⇔d>r.
追加提问:
1.判断直线与圆的位置关系有几种方法?
(两种:直线与圆的公共点的个数;圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系.)
2.完成下列表格:
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
圆心到直线的距离
d与圆的半径r的关系
公共点的名称
直线的名称
【师生活动】 学生在教师的引导下思考、回答,师生共同完成表格.
[设计意图] 学生经历动手操作、观察、思考、交流、归纳的探究过程,类比点与圆的位置关系探索出直线与圆的位置关系与相关数量之间关系的互相转化,体会数形结合思想在数学中的应用,通过追加提问,培养学生的归纳总结能力,使学生的数学思维得以提升.
例题讲解
(课件展示)
(教材第6页例)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm.以点C为圆心,2 cm,2.4 cm,3 cm分别为半径画☉C,斜边AB分别与☉C有怎样的位置关系?为什么?
教师引导思考:
1.如何判断直线与圆的位置关系?
(计算圆心到直线的距离,与半径的大小比较可得.)
2.已知三角形的两条直角边的长,如何求斜边上的高?
(先根据勾股定理求出斜边长,再根据三角形的面积公式求斜边上的高.)
3.圆心C到直线AB的距离与2 cm,2.4 cm,3 cm之间的大小关系如何?
(三角形斜边上的高与2 cm,2.4 cm,3 cm比较大小.)
【师生活动】 教师引导学生思考、回答问题,学生独立完成后板书解答过程,教师点评归纳.
(板书)
解:如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D.
在Rt△ABC中,
AB===5(cm).
由三角形的面积公式,并整理,得:
AC·BC=AB·CD.
从而CD===2.4(cm).
即圆心C到斜边AB的距离d=2.4 cm.
当r=2 cm时,d>r,斜边AB与☉C相离.
当r=2.4 cm时,d=r,斜边AB与☉C相切.
当r=3 cm时,d<r,斜边AB与☉C相交.
[设计意图] 通过例题,进一步体会通过相关数量之间的关系来判断直线与圆的位置关系的方法,体会数形结合思想在数学中的应用,提高学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 1.直线与圆有三种位置关系:相交、相离、相切,由直线与圆的位置关系可以确定圆心到该直线的距离和半径的大小关系.反过来,已知圆心到直线的距离和半径的大小关系,可以确定该直线与圆的位置关系.
2.判断直线与圆的位置关系有两个途径:一是通过直线与圆的交点的个数;二是通过圆心到直线的距离与半径的大小关系.
1.直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点的个数
2
1
0
圆心到直线的距离
d与圆的半径r的关系
d<r
d=r
d>r
公共点的名称
交点
切点
无
直线的名称
割线
切线
无
2.判断直线与圆的位置关系:
(1)直线l与☉O相交⇔d<r.
(2)直线l与☉O相切⇔d=r.
(3)直线l与☉O相离⇔d>r.
1.已知☉O的半径是6,点O到直线l的距离为5,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切
C.相交 D.无法判断
解析:因为圆心到直线的距离d=5,圆的半径r=6,满足d<r,所以直线与圆相交.故选C.
2.已知☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,当d=r时,直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上都不对
解析:根据直线与圆的位置关系可得:直线l与☉O相交⇔d<r;直线l与☉O相切⇔d=r;直线l与☉O相离⇔d>r.故选B.
3.已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线a的距离为3 cm,则☉O与直线a的位置关系是 ,直线a与☉O的公共点个数是 .
解析:圆心O到直线a的距离d<r,所以直线和圆相交.当直线与圆相交时,公共点的个数为两个.
答案:相交 两个
4.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4 cm,以点C为圆心,3 cm长为半径作圆,则☉C与直线AB的位置关系是 .
解析:作CD⊥AB于D,则CD=BC=×4=2(cm),由3>2知☉C与直线AB相交.故填相交.
5.如图所示,已知Rt△ABC的斜边AB=8 cm,AC=4 cm.
(1)以点C为圆心作圆,当AB与☉C相切时,求☉C的半径;
(2)以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB有怎样的位置关系?
解:(1)过点C作CD⊥AB,交AB于点D,在Rt△ABC中,斜边AB=8 cm,AC=4 cm,根据勾股定理,得BC=4 cm.∵S△ABC=AB·CD=AC·BC,∴CD==2(cm),则当以点C为圆心的☉C与AB相切时,半径为2 cm.
(2)∵2<2<4,∴以点C为圆心,分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆,这两个圆与直线AB分别相离和相交.
29.2 直线与圆的位置关系
共同探究
观察与思考
例题讲解
一、教材作业
【必做题】
教材第7页习题A组的1,2题.
【选做题】
教材第7页习题B组的1,2题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.已知☉O的半径为2 cm,圆心O到直线l的距离为 cm,则直线l与☉O的位置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.位置不定
2.直线l与半径为r的☉O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是 ( )
A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥6
3.在平面直角坐标系中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆 ( )
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为 ( )
A.2 cm B.2.4 cm
C.3 cm D.4 cm
5.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆,半径分别为5和3,若大圆的弦AB与小圆相交,
则弦长AB的取值范围
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