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15.2乘法公式(第1课时)
——平方差公式
一、教学目标
1.经历发现平方差公式的过程,会运用平方差公式进行计算.
2.培养概括能力,发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点:运用平方差公式进行计算.
2.难点:先交换项的位置,再运用平方差公式.
三、教学过程
(一)基本训练,巩固旧知
1.计算:
(1)(x+3)(x-3)=
(2)(m+2)(m-2)=
(3)(2x+1)(2x-1)=
(二)创设情境,导入新课
师:我们知道,整式的乘法有三种,哪三种?单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中,哪一种计算起来比较麻烦?
生:(齐答)多项式乘多项式.
师:为什么多项式乘多项式比较麻烦?(稍停)因为多项式与多项式相乘,要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项.
师:既然多项式乘多项式比较麻烦,我们自然会想到一个问题,什么问题?多项式乘多项式有没有简单一点的方法?或者说,有没有不需要一项一项乘的方法?(稍停)老师要告诉大家,对普通的两个多项式来说,没有简单的乘的方法,你只有老老实实地乘,一项一项地乘,但对某些特殊形式的多项式相乘,倒是有简单的方法,不需要一项一项乘.什么样的多项式相乘不需要一项一项乘?用简单方法又怎么相乘呢?这就是本节课我们要学习的内容.
(三)尝试指导,讲授新课
(师出示下面的板书)
(x+3)(x-3)=x2-9
(m+2)(m-2)=m2-4
(2x+1)(2x-1)=4x2-1
师:(指板书的式子)刚才大家做了这三个题目,从这三个题目,你能发现什么规律?(生思考,要给学生充足的思考时间)
师:(指板书的式子)如果你发现了其中的规律,那么做这种形式的多项式乘多项式,就不需要一项一项乘了.譬如,(板书:(y+4)(y-4))不用一项一项乘,你能直接说出(y+4)(y-4)等于什么吗?
生:y2-16.(多让几名同学回答,然后师板书:=y2-16)
师:(板书:(a+b)(a-b))又譬如,(a+b)(a-b)等于什么?
生:a2-b2.(多让几名同学回答,然后师板书:=a2-b2)
师:看来大家是真的发现了规律,那谁又能用自己的话来说一说这个规律?
生……(多让几名同学说)
师:(指板书的式子)从这些等式我们发现了一个规律,什么规律?(指准(a+b)(a-b)=a2-b2)两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方差.
(师出示下面的板书)
两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的平方差.
师:(指板书)请大家把这个结论读两遍.(生读)
师:(指准板书)显然这个结论与这个公式(在(a+b)(a-b)=a2-b2的外面加框)的意思是一样的,只是表达形式不一样,一个文字用表达,一个用式子表达.
师:(指准(a+b)(a-b)=a2-b2)这个公式还有一个专门的名字,因为公式的右边是两个数的平方差,所以我们把这个公式叫做平方差公式(板书:平方差公式).
师:(指准(a+b)(a-b)=a2-b2)有了平方差公式,以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式,我们就不需要一项一项乘了,只要用平方差公式就行了.
师:下面我们就来做几道用平方差公式计算的题目.
(师出示例题)
例 运用平方差公式计算:
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(-x-2y)(-x+2y);
(3)(b+2a)(2a-b);
(4)(x-4)(-x-4).
师:(板书:解:(1)(3x+2)(3x-2),并指准)怎么运用平方差公式计算这个式子呢?
(师出示下图)
(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22
(a +b)( a-b)= a2 -b2
师:(指准上图)我们可以把3x看成a,把2看成b,(指(3x+2)(3x-2))这样这个式子可以看成是(a+b)(a-b).因为(a+b)(a-b)=a2-b2,所以(3x+2)(3x-2)=
(3x)2-22(板书:=(3x)2-22).
师:(指准式子)(3x)2-22等于什么?(稍停)等于9x2-4(板书:=9x2-4).
师:下面我们来看第(2)小题(板书:(2)(-x-2y)(-x+2y)).
师:(指准(-x-2y)(-x+2y))用平方差公式,这个式子应该把什么看成a,把什么看成b?(稍停片刻)
(师出示下图)
(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2
( a- b)( a+ b)= a2 - b2
师:(指准上图)我们可以把-x看成a,把2y看成b,(指(-x-2y)(-x+2y))这样这个式子可以看成是(a-b)(a+b).因为(a-b)(a+b)与(a+b)(a-b)相等,所以(a-b)(a+b)也等于a2-b2,所以(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2(板书:=(-x)2-(2y)2).
师:(指准式子)(-x)2-(2y)2等于什么?(稍停)等于x2-4y2(板书:=x2-4y2).
师:下面我们来看第(3)小题(板书:(3)(b+2a)(2a-b)).
师:(指式子)这个式子怎么用平方差公式计算?(让生思考一会儿)
师:(指准式子)这个式子好像不好直接用平方差公式,怎么办?(稍停)根据加法交换律,可以交换b与2a的位置,所以这个式子等于(2a+b)(2a-b)(板书:=(2a+b)(2a-b)).
师:(指准(2a+b)(2a-b))利用平方差公式,这个式子等于什么?(稍停)等于(2a)2-b2(板书:=(2a)2-b2).
师:结果是4a2-b2(板书:=4a2-b2).
师:下面我们再看第(4)小题(板书:(4)(x-4)(-x-4)).
师:(指式子)第(4)小题也与第(3)小题一样,不能直接用平方差公式,需要交换两项的位置.怎么交换两项的位置使式子成为(a+b)(a-b)的样子呢?大家先自己试一试.
(生尝试,师巡视)
师:(指准(x-4)(-x-4))我们把x与-4这两项交换位置,得到-4+x(板书:(-4+x)),我们又把-x与-4这两项交换位置,得到-4-x(板书:(-4-x)).根据加法交换律,x-4=-4+x,-x-4=-4-x,所以这两个式子相等(板书:=).
师:(指准(-4+x)(-4-x))利用平方差公式,这个式子等于(-4)2-x2(板书:=(-4)2-x2),结果为16-x2(板书:=16-x2).
(四)试探练习,回授调节
2.用平方差公式计算:
(1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y)
= =
= =
(3) (4x-5)(4x+5) (4) (+2m)(-2m)
= =
= =
3.用平方差公式计算:
(1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m)
= =
= =
= =
(3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a)
= =
= =
= =
4.计算:
(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
=
=
=
=
(4题订正时需要指出,(y+2)(y-2)可以用多项式乘多项式法则计算,也可以用平方差公式计算,因为用公式计算比较简单,所以我们选择用公式计算,而(y-1)(y+5)只能用多项式乘多项式法则计算)
(五)归纳小结,布置作业
师:(指准板书)本节课我们学习了平方差公式,对两数和乘以这两数差这种特殊形式的多项式乘法,我们可以利用平方差公式进行计算.比起用多项式乘多项式的法则进行计算,用平方差公式进行计算有什么好处?
生:(齐答)简单.
(作业:P156习题1(1)(2)(3)(4),P153练习1.2(4))
四、板书设计
(x+3)(x-3)=x2-9 平方差公式 例
(m+2)(m-2)=m2-4 (a+b)(a-b)=a2-b2
(2x+1)(2x-1)=4x2-1 两个数的和乘以……
(y+4)(y-4)=y2-16
15.2乘法公式(第2课时)
——完全平方公式
一、教学目标
1.经历推导完全平方公式的过程,会运用完全平方公式进行计算.
2.培养数学语言表达能力和运算能力,发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点:运用完全平方公式进行计算.
2.难点:完全平方公式的运用.
三、教学过程
(一)基本训练,巩固旧知
1.填空:两个数的和乘以这两个数的差,等于这两个数的 ,即
(a+b)(a-b)= ,这个公式叫做 公式.
2.用平方差公式计算
(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)
= =
= =
(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab)
= =
= =
= =
3.判断正误:对的画“√”,错的画“×”.
(1)(a-b)(a+b)=a2-b2; ( )
(2)(b+a)(a-b)=a2-b2; ( )
(3)(b+a)(-b+a)=a2-b2; ( )
(4)(b-a)(a+b)=a2-b2; ( )
(5)(a-b)(a-b)=a2-b2. ( )
(二)创设情境,导入新课
师:(板书:(a+b)(a-b)=a2-b2,并指准)上节课我们学习了平方差公式,对两个数的和乘以这两个数的差这种形式的式子,利用平方差公式计算,不需要一项一项地乘,比起用多项式乘多项式法则计算,要简单一些.现在,我们要进一步问:除了平方差公式,还有别的多项式乘多项式的公式吗?答案是肯定的.本节课我们就来学习一种新的公式,叫完全平方公式(板书课题:15.2.2完全平方公式,并擦掉平方差公式).
(三)尝试指导,讲授新课
师:什么是完全平方公式?先请大家利用多项式乘多项式的法则计算下面两个式子.
4.用多项式乘多项式法则计算:
(1) (a+b)2 (2) (a-b)2
=(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b)
= =
= =
(生计算,师巡视,要给学生充足的计算时间)
师:(板书:(a+b)2)利用多项式乘多项式法则计算这个式子,得到的结果是什么?
生:a2+2ab+b2.(多让几位同学回答,然后师板书:=a2+2ab+b2)
师:(板书:(a-b)2)这个式子的计算结果又是什么?
生:a2-2ab+b2.(多让几位同学回答,然后师板书:=a2-2ab+b2)
师:(指两个等式)这两个等式就是完全平方公式(在两个公式外加框).
师:与平方差公式一样,完全平方公式也可以用语言来说,怎么说呢?
(指准(a+b)2=a2+2ab+b2)两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.
师:下面同学们一起跟着老师说,(指准(a+b)2=a2+2ab+b2)两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.(生跟着说,如有必要可以再跟着说一遍)
师:(指(a-b)2=a2-2ab+b2)哪位同学来说说这个式子?
生:……(多让几名同学说)
师:(指准(a-b)2=a2-2ab+b2)两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.
(师出示下面的板书)
两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍;
两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.
师:大家把这个结论读一遍.(生读)
师:下面我们就用完全平方公式来计算几道题目.
(师出示例题)
例 运用完全平方公式计算:
(1)(4m+n)2; (2)(y-)2.
师:(板书:解:(1)(4m+n)2,并指准)利用多项式乘多项式法则可以计算(4m+n)2,现在有了完全平方公式,就不需要一项一项乘了,可以运用完全平方公式来计算.怎么计算?
(师出示下图)
(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2
(a +b)2= a2 + 2 a b+b2
师:(指准上图)我们可以把4m看成a,把n看成b,因为(a+b)2=a2+2ab+b2,所以(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2(板书:=(4m)2+2·4m·n+n2).
师:(指(4m)2+2·4m·n+n2)这个式子又等于什么?(稍停)等于16m2+8mn+n2(边讲边板书:=16m2+8mn+n2)
师:(板书:(2)(y-)2)下面我们来看第(2)小题.
师:完全平方公式有两个,(指(y-)2)计算这个式子,应该用哪一个公式?
生:……
师:(指(y-)2)计算这个式子,(指(a-b)2=a2-2ab+b2)显然应该用这个公式.运用这个公式,(y-)2等于什么?
生:y2-2·y·+.(多让几名同学回答,然后师板书:=y2-2·y·+)
师:(指y2-2·y·+)这个式子又等于什么?
生:y2-y+.(师板书:=y2-y+)
(四)试探练习,回授调节
5.运用完全平方公式计算:
(1) (x+6)2 (2) (y-5)2
= =
= =
(3) (-2x+5)2 (4) (x-y)2
= =
= =
6.计算:
(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2)
=
=
=
7.选做题:如图,利用图形你能得到公式
(a+b)2=a2+2ab+b2吗?
(五)归纳小结,布置作业
师:本节课我们学习了完全平方公式,完全平方公式有两个,(指准公式)两数和的平方,等于它们的平方和,加它们的积的2倍.两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.
(作业:P156习题2(1)(2)(3)(4)4)
四、板书设计
15.2.2完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 例
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数和的平方……
两数差的平方……
15.2乘法公式(第3课时)
——完全平方公式
一、教学目标
1.知道添括号法则,会添括号.
2.会先添括号再运用乘法公式.
3.培养学生的运算能力,发展符号感.
二、教学重点和难点
1.重点:先添括号再运用乘法公式.
2.难点:先添括号再运用乘法公式.
三、教学过程
(一)基本训练,巩固旧知
1.填空:
(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ;
(2)完全平方公式(a+b)2= ,(a-b)2= .
2.运用公式计算:
(1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y)
= =
= =
(3) (m-3)(m+3) (4) (x+6y)2
= =
= =
3.判断正误:对的画“√”,错的画“×”.
(1)(a+b)2=a2+b2; ( )
(2)(a-b)2=a2-b2; ( )
(3)(a+b)2=(-a-b)2; ( )
(4)(a-b)2=(b-a)2. ( )
4.去括号:
(1)(a+b)-c=
(2)-(a-b)+c=
(3)a+(b-c)=
(4)a-(b+c)=
(二)创设情境,导入新课
师:(板书:(x+2y-3)(x-2y+3),并指准)怎么计算这个式子?(稍停)利用多项式乘多项式的法则,用x+2y-3的每一项去乘x-2y+3的每一项,这样计算当然是可以的.但是,假如老师要求利用平方差公式和完全平方公式来计算,哪又怎么做呢?(让生思考一会儿)
师:(指式子)要用平方差公式和完全平方公式计算这个式子,会涉及添括号问题(板书:添括号).本节课我们先学习怎么添括号,然后再回过头来计算这个式子.
(三)尝试指导,讲授新课
师:在初一的时候我们学过去括号(板书:去括号),添括号与去括号是相反的问题,一个是加上括号,一个是去掉括号.
师:譬如,a+(b+c)=a+b+c(边讲边板书:a+(b+c)=a+b+c)这是去括号;反过来a+b+c=a+(b+c)(边讲边板书:a+b+c=a+(b+c))这是添括号.
师:又譬如,a-(b+c)=a-b-c(边讲边板书:a-(b+c)=a-b-c)这是去括号;反过来a-b-c=a-(b+c)(边讲边板书:a-b-c=a-(b+c))这是添括号.
师:那么,怎么添括号呢?添括号的方法与去括号的方法是一样的.
师:我们知道怎么去括号,(指准去括号式子)怎么去括号?如果括号前面是正号,去括号后括号内各项都不变符号;如果括号前面是负号,去括号后括号内各项都改变符号.
师:添括号也是这样的,(指准添括号式子)如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
(四)试探练习,回授调节
5.填空:
(1)a+b+c=( )+c;
(2)a-b+c=( )+c;
(3)-a+b-c=-( )-c;
(4)-a-b+c=-( )+c;
(5)a+b-c=a+( );
(6)a-b+c=a-( );
(7)a-b-c=a-( );
(8)a+b+c=a-( ).
(订正时,让生用去括号检查添括号是否正确)
(五)尝试指导,讲授新课
师:知道了怎么添括号,(指(x+2y-3)(x-2y+3))现在我们回过头来看这道题.(在(x+2y-3)(x-2y+3)前板书:例1 运用乘法公式计算)
师:(指准例1)运用乘法公式计算,这里所说的乘法公式就是平方差公式和完全平方公式.怎么用乘法公式计算这个式子呢?
(以下师边讲解边板演,解题过程如课本第155页所示)
师:下面我们再来看一道例题.
(师出示例2)
例2 运用乘法公式计算(a+b+c)2.
(先让生尝试,然后师边讲解边板演,解题过程如课本第155页所示)
(六)试探练习,回授调节
6.运用乘法公式计算:
(1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z)
= =
= =
= =
= =
(七)归纳小结,布置作业
师:本节课我们学习了什么?我们学习了用公式计算的一种技巧.(指准例1)这个式子,初一看好像不能用公式计算,但是,如果能对式子进行适当的变形,就可以用公式计算了.在这个题目中,我们是怎么对式子进行变形的?我们通过添括号使式子成为(a+b)(a-b)的样子,这样就可以用公式计算了.例2的道理也是一样.
(作业:P156习题3)
四、板书设计
去括号 添括号 例1
a+(b+c)=a+b+c a+b+c=a+(b+c)
a-(b+c)=a-b-c a-b-c=a-(b+c) 例2
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