八年级数学上：15.2 乘法公式教案新人教版.doc

15.2乘法公式（第1课时）平方差公式一、教学目标1.经历发现平方差公式的过程，会运用平方差公式进行计算.2.培养概括能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：运用平方差公式进行计算.2.难点：先交换项的位置，再运用平方差公式.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.计算：(1)(x+3)(x-3)= (2)(m+2)(m-2)= (3)(2x+1)(2x-1)=（二）创设情境，导入新课师：我们知道，整式的乘法有三种，哪三种？单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式.在这几种整式乘法中，哪一种计算起来比较麻烦？生：（齐答）多项式乘多项式.师：为什么多项式乘多项式比较麻烦？（稍停）因为多项式与多项式相乘，要用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项.师：既然多项式乘多项式比较麻烦，我们自然会想到一个问题，什么问题？多项式乘多项式有没有简单一点的方法？或者说，有没有不需要一项一项乘的方法？（稍停）老师要告诉大家，对普通的两个多项式来说，没有简单的乘的方法，你只有老老实实地乘，一项一项地乘，但对某些特殊形式的多项式相乘，倒是有简单的方法，不需要一项一项乘.什么样的多项式相乘不需要一项一项乘？用简单方法又怎么相乘呢？这就是本节课我们要学习的内容.（三）尝试指导，讲授新课 （师出示下面的板书） (x+3)(x-3)=x2-9 (m+2)(m-2)=m2-4 (2x+1)(2x-1)=4x2-1师：（指板书的式子）刚才大家做了这三个题目，从这三个题目，你能发现什么规律？（生思考，要给学生充足的思考时间）师：（指板书的式子）如果你发现了其中的规律，那么做这种形式的多项式乘多项式，就不需要一项一项乘了.譬如，（板书：(y+4)(y-4)）不用一项一项乘，你能直接说出(y+4)(y-4)等于什么吗？生：y2-16.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-16）师：（板书：(a+b)(a-b)）又譬如，(a+b)(a-b)等于什么？生：a2-b2.（多让几名同学回答，然后师板书：=a2-b2）师：看来大家是真的发现了规律，那谁又能用自己的话来说一说这个规律？生（多让几名同学说）师：（指板书的式子）从这些等式我们发现了一个规律，什么规律？（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差. （师出示下面的板书）两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差.师：（指板书）请大家把这个结论读两遍.（生读）师：（指准板书）显然这个结论与这个公式（在(a+b)(a-b)=a2-b2的外面加框）的意思是一样的，只是表达形式不一样，一个文字用表达，一个用式子表达.师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）这个公式还有一个专门的名字，因为公式的右边是两个数的平方差，所以我们把这个公式叫做平方差公式（板书：平方差公式）.师：（指准(a+b)(a-b)=a2-b2）有了平方差公式，以后再碰到两个数的和乘以这两个数的差这样的多项式乘多项式，我们就不需要一项一项乘了，只要用平方差公式就行了.师：下面我们就来做几道用平方差公式计算的题目. （师出示例题）例 运用平方差公式计算： (1)(3x+2)(3x-2)； (2)(-x-2y)(-x+2y)； (3)(b+2a)(2a-b)； (4)(x-4)(-x-4).师：（板书：解：(1)(3x+2)(3x-2)，并指准）怎么运用平方差公式计算这个式子呢？ （师出示下图） (3x+2)(3x-2)=(3x)2-22(a +b)( a-b)= a2 -b2师：（指准上图）我们可以把3x看成a，把2看成b，（指(3x+2)(3x-2)）这样这个式子可以看成是(a+b)(a-b).因为(a+b)(a-b)=a2-b2，所以(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22（板书：=(3x)2-22）.师：（指准式子）(3x)2-22等于什么？（稍停）等于9x2-4（板书：=9x2-4）.师：下面我们来看第(2)小题（板书：(2)(-x-2y)(-x+2y)）.师：（指准(-x-2y)(-x+2y)）用平方差公式，这个式子应该把什么看成a，把什么看成b？（稍停片刻） （师出示下图） (-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2( a- b)( a+ b)= a2 - b2师：（指准上图）我们可以把-x看成a，把2y看成b，（指(-x-2y)(-x+2y)）这样这个式子可以看成是(a-b)(a+b).因为(a-b)(a+b)与(a+b)(a-b)相等，所以(a-b)(a+b)也等于a2-b2，所以(-x-2y)(-x+2y)=(-x)2-(2y)2（板书：=(-x)2-(2y)2）.师：（指准式子）(-x)2-(2y)2等于什么？（稍停）等于x2-4y2（板书：=x2-4y2）.师：下面我们来看第(3)小题（板书：(3)(b+2a)(2a-b)）.师：（指式子）这个式子怎么用平方差公式计算？（让生思考一会儿）师：（指准式子）这个式子好像不好直接用平方差公式，怎么办？（稍停）根据加法交换律，可以交换b与2a的位置，所以这个式子等于(2a+b)(2a-b)（板书：=(2a+b)(2a-b)）.师：（指准(2a+b)(2a-b)）利用平方差公式，这个式子等于什么？（稍停）等于(2a)2-b2（板书：=(2a)2-b2）.师：结果是4a2-b2（板书：=4a2-b2）.师：下面我们再看第(4)小题（板书：(4)(x-4)(-x-4)）.师：（指式子）第(4)小题也与第(3)小题一样，不能直接用平方差公式，需要交换两项的位置.怎么交换两项的位置使式子成为(a+b)(a-b)的样子呢？大家先自己试一试. （生尝试，师巡视）师：（指准(x-4)(-x-4)）我们把x与-4这两项交换位置，得到-4+x（板书：(-4+x)）,我们又把-x与-4这两项交换位置，得到-4-x（板书：(-4-x)）.根据加法交换律，x-4=-4+x，-x-4=-4-x，所以这两个式子相等（板书：=）.师：（指准(-4+x)(-4-x)）利用平方差公式，这个式子等于(-4)2-x2（板书：=(-4)2-x2），结果为16-x2（板书：=16-x2）.（四）试探练习，回授调节2.用平方差公式计算： (1) (a+3b)(a-3b) (2) (1+2y)(1-2y) = = = = (3) (4x-5)(4x+5) (4) (+2m)(-2m) = = = =3.用平方差公式计算： (1) (3b+a)(a-3b) (2) (3m-4n)(4n+3m) = = = = = = (3) (3+2a)(-3+2a) (4) (7-2a)(-7-2a) = = = = = =4.计算： (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) = = = = （4题订正时需要指出，(y+2)(y-2)可以用多项式乘多项式法则计算，也可以用平方差公式计算，因为用公式计算比较简单，所以我们选择用公式计算，而(y-1)(y+5)只能用多项式乘多项式法则计算）（五）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了平方差公式，对两数和乘以这两数差这种特殊形式的多项式乘法，我们可以利用平方差公式进行计算.比起用多项式乘多项式的法则进行计算，用平方差公式进行计算有什么好处？生：（齐答）简单.（作业：P156习题1(1)(2)(3)(4),P153练习1.2(4)）四、板书设计(x+3)(x-3)=x2-9 平方差公式 例(m+2)(m-2)=m2-4 (a+b)(a-b)=a2-b2 (2x+1)(2x-1)=4x2-1 两个数的和乘以(y+4)(y-4)=y2-1615.2乘法公式（第2课时）完全平方公式一、教学目标1.经历推导完全平方公式的过程，会运用完全平方公式进行计算.2.培养数学语言表达能力和运算能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：运用完全平方公式进行计算.2.难点：完全平方公式的运用.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的 ，即(a+b)(a-b)= ，这个公式叫做 公式.2.用平方差公式计算(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1)= = = (3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab)= = = = = 3.判断正误：对的画“”，错的画“”. (1)(a-b)(a+b)=a2-b2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a2-b2； （ ） (3)(b+a)(-b+a)=a2-b2； （ ） (4)(b-a)(a+b)=a2-b2； （ ） (5)(a-b)(a-b)=a2-b2. （ ）（二）创设情境，导入新课师：（板书：(a+b)(a-b)=a2-b2，并指准）上节课我们学习了平方差公式，对两个数的和乘以这两个数的差这种形式的式子，利用平方差公式计算，不需要一项一项地乘，比起用多项式乘多项式法则计算，要简单一些.现在，我们要进一步问：除了平方差公式，还有别的多项式乘多项式的公式吗？答案是肯定的.本节课我们就来学习一种新的公式，叫完全平方公式（板书课题：15.2.2完全平方公式，并擦掉平方差公式）.（三）尝试指导，讲授新课师：什么是完全平方公式？先请大家利用多项式乘多项式的法则计算下面两个式子.4.用多项式乘多项式法则计算： (1) (a+b)2 (2) (a-b)2 =(a+b)(a+b) =(a-b)(a-b) = = = = （生计算，师巡视，要给学生充足的计算时间）师：（板书：(a+b)2）利用多项式乘多项式法则计算这个式子，得到的结果是什么？生：a2+2ab+b2.（多让几位同学回答，然后师板书：=a2+2ab+b2）师：（板书：(a-b)2）这个式子的计算结果又是什么？生：a2-2ab+b2.（多让几位同学回答，然后师板书：=a2-2ab+b2）师：（指两个等式）这两个等式就是完全平方公式（在两个公式外加框）.师：与平方差公式一样，完全平方公式也可以用语言来说，怎么说呢？ （指准(a+b)2=a2+2ab+b2）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.师：下面同学们一起跟着老师说，（指准(a+b)2=a2+2ab+b2）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.（生跟着说，如有必要可以再跟着说一遍）师：（指(a-b)2=a2-2ab+b2）哪位同学来说说这个式子？生：（多让几名同学说）师：（指准(a-b)2=a2-2ab+b2）两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍. （师出示下面的板书）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.师：大家把这个结论读一遍.（生读）师：下面我们就用完全平方公式来计算几道题目. （师出示例题）例 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2； (2)(y-)2.师：（板书：解：(1)(4m+n)2，并指准）利用多项式乘多项式法则可以计算(4m+n)2，现在有了完全平方公式，就不需要一项一项乘了，可以运用完全平方公式来计算.怎么计算？ （师出示下图） (4m+n)2=(4m)2+24mn+n2(a +b)2= a2 + 2 a b+b2师：（指准上图）我们可以把4m看成a，把n看成b，因为(a+b)2=a2+2ab+b2，所以(4m+n)2=(4m)2+24mn+n2（板书：=(4m)2+24mn+n2）.师：（指(4m)2+24mn+n2）这个式子又等于什么？（稍停）等于16m2+8mn+n2（边讲边板书：=16m2+8mn+n2）师：（板书：(2)(y-)2）下面我们来看第(2)小题.师：完全平方公式有两个，（指(y-)2）计算这个式子，应该用哪一个公式？生：师：（指(y-)2）计算这个式子，（指(a-b)2=a2-2ab+b2）显然应该用这个公式.运用这个公式，(y-)2等于什么？生：y2-2y+.（多让几名同学回答，然后师板书：=y2-2y+）师：（指y2-2y+）这个式子又等于什么？生：y2-y+.（师板书：=y2-y+）（四）试探练习，回授调节5.运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 = = = = (3) (-2x+5)2 (4) (x-y)2 = = = =6.计算： (x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) = = = 7.选做题：如图，利用图形你能得到公式 (a+b)2=a2+2ab+b2吗？（五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了完全平方公式，完全平方公式有两个，（指准公式）两数和的平方，等于它们的平方和，加它们的积的2倍.两数差的平方，等于它们的平方和，减它们的积的2倍.（作业：P156习题2(1)(2)(3)(4)4）四、板书设计15.2.2完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 例(a-b)2=a2-2ab+b2两数和的平方两数差的平方15.2乘法公式（第3课时）完全平方公式一、教学目标1.知道添括号法则，会添括号.2.会先添括号再运用乘法公式.3.培养学生的运算能力，发展符号感.二、教学重点和难点1.重点：先添括号再运用乘法公式.2.难点：先添括号再运用乘法公式.三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1.填空：(1)平方差公式(a+b)(a-b)= ；(2)完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= .2.运用公式计算：(1) (2x-3)2 (2) (-2x+3y)(-2x-3y)= = = (3) (m-3)(m+3) (4) (x+6y)2= = = 3.判断正误：对的画“”，错的画“”. (1)(a+b)2=a2+b2； （ ） (2)(a-b)2=a2-b2； （ ） (3)(a+b)2=(-a-b)2； （ ） (4)(a-b)2=(b-a)2. （ ）4.去括号： (1)(a+b)-c= (2)-(a-b)+c= (3)a+(b-c)= (4)a-(b+c)=（二）创设情境，导入新课师：（板书：(x+2y-3)(x-2y+3)，并指准）怎么计算这个式子？（稍停）利用多项式乘多项式的法则，用x+2y-3的每一项去乘x-2y+3的每一项，这样计算当然是可以的.但是，假如老师要求利用平方差公式和完全平方公式来计算，哪又怎么做呢？（让生思考一会儿）师：（指式子）要用平方差公式和完全平方公式计算这个式子，会涉及添括号问题（板书：添括号）.本节课我们先学习怎么添括号，然后再回过头来计算这个式子.（三）尝试指导，讲授新课师：在初一的时候我们学过去括号（板书：去括号），添括号与去括号是相反的问题，一个是加上括号，一个是去掉括号.师：譬如，a+(b+c)=a+b+c（边讲边板书：a+(b+c)=a+b+c）这是去括号；反过来a+b+c=a+(b+c)（边讲边板书：a+b+c=a+(b+c)）这是添括号.师：又譬如，a-(b+c)=a-b-c（边讲边板书：a-(b+c)=a-b-c）这是去括号；反过来a-b-c=a-(b+c)（边讲边板书：a-b-c=a-(b+c)）这是添括号.师：那么，怎么添括号呢？添括号的方法与去括号的方法是一样的.师：我们知道怎么去括号，（指准去括号式子）怎么去括号？如果括号前面是正号，去括号后括号内各项都不变符号；如果括号前面是负号，去括号后括号内各项都改变符号.师：添括号也是这样的，（指准添括号式子）如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.（四）试探练习，回授调节5.填空： (1)a+b+c=( )+c； (2)a-b+c=( )+c； (3)-a+b-c=-( )-c； (4)-a-b+c=-( )+c； (5)a+b-c=a+( )； (6)a-b+c=a-( )； (7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ). （订正时，让生用去括号检查添括号是否正确）（五）尝试指导，讲授新课师：知道了怎么添括号，（指(x+2y-3)(x-2y+3)）现在我们回过头来看这道题.（在(x+2y-3)(x-2y+3)前板书：例1 运用乘法公式计算）师：（指准例1）运用乘法公式计算，这里所说的乘法公式就是平方差公式和完全平方公式.怎么用乘法公式计算这个式子呢？ （以下师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）师：下面我们再来看一道例题. （师出示例2）例2 运用乘法公式计算(a+b+c)2. （先让生尝试，然后师边讲解边板演，解题过程如课本第155页所示）（六）试探练习，回授调节6.运用乘法公式计算： (1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z) = = = = = = = =（七）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了什么？我们学习了用公式计算的一种技巧.（指准例1）这个式子，初一看好像不能用公式计算，但是，如果能对式子进行适当的变形，就可以用公式计算了.在这个题目中，我们是怎么对式子进行变形的？我们通过添括号使式子成为(a+b)(a-b)的样子，这样就可以用公式计算了.例2的道理也是一样.（作业：P156习题3）四、板书设计去括号 添括号 例1a+(b+c)=a+b+c a+b+c=a+(b+c)a-(b+c)=a-b-c a-b-c=a-(b+c) 例2