怎样利用集合关系探究充要条件.doc

利用集合思想探究一类充要条件问题

陈 凌 宗平芬

六盘水市第一中学 553002

数学思维活动中，探究命题的充要条件有极为重要的数学思维价值，这是因为充要条件与等价转化思想如同孪生兄弟，而等价转化思想的广泛应用可将待证（待解）数学问题转化为与之等价的易证（已解）问题。数学关系中的各种充要条件的应用，是实现这种转化的基本手段。
集合思想早已渗透到现代数学研究的各个领域，它也就很自然地成为探索各种充要条件的基础。对于那些可以转化为集合关系的充要条件问题，若能用好集合思想，则能简化思维过程，提高思维效率。并能有效避免对原命题及相应的四种命题形式进行繁琐的转化和过多的（有时甚至是不必要）真假判定，这对于初涉充要条件问题的学生，有更积极的意义。引导学生探究集合思想在充要条件问题中的应用，对提高学生探索充要条件的能力将大有帮助。
一、子集，真子集及相等集合关系中所所蕴含的充要条件问题
首先，从子集关系理解充分条件与必要条件，是指：对于集合、，若，则“”是“”的充分条件，同时称“”是“”的必要条件。
其次，将充要条件问题以集合思想表现出来，是指：
① 当时，“”是“”的充分且必要条件；
② 当时（真子集），“”是“”的充分不必要条件；同时，称“”是“”的必要不充分条件；
③ 若上述条件都不成立，则称“”是“”的既不充分也不必要条件。
二、将充要条件问题以集合关系表现出来，这是用集合关系探究数学知识中的各种充要条件问题的基础，如：探索方程或不等式的解集，即是求方程或不等式成立的充要条件；直角坐标系下的曲线交点问题的求解过程，也就是探索以对应的方程组的解集为其充要条件的过程。
对于条件与结论，若“真”等价于集合，“真”等价于集合，则条件与结论的关系可通过集合之间的集合关系来体现：
① 当时，条件是结论的充分且必要条件；
② 当时，条件是结论的充分但不必要条件；
③ 当时，条件是结论的必要但不充分条件；
④ 若在上述情况之外，则条件是结论的称为既不充分也不必要条件。
以下鳞选出近几年高考试题的典型实例，逐一加以分析，让我们共同欣赏和品味集合思想开出的这朵小花。
例1. (2008高考湖北省理2)若非空集合、、满足，且不是的子集，则（ ）
（A）“”是“”的充分条件但不是必要条件
（B）“”是“”的必要条件但不是充分条件
（C）“”是“”的充要条件
（D）“”既不是“”的充分条件，也不是“”的必要条件
分析 由题意知的集合关系为，因而“”是“”的必要但不充分条件，选（B）。
例2. (2007辽宁省理10)设、是两个命题，， ，则是的（）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
分析 由真，则， 真，则
因为是真子集，所以，是的充分而不必要条件，故选（A）。
例3. (2008高考福建省理2)设集合，那么“”是“”的（）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
分析 由于，可知，因而“”是“” 的充分而不必要条件，选（A）。
例4. (2007江西省理12)设在内单调递增，，则是的（）
（A）分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
分析 由，则在时恒成立， 即在恒成立，设在的最小值为，则，所以，。若真，则，真，则由于，因而选（B）。

三、 推广应用───利用集合关系探索命题真假问题。
例5.(2003高考全国卷理19) 已知，设：函数在上单调递减， ：不等式的解集为，如果和有且仅有一个正确，求的取值范围.
分析 若真，则， 真，由于不等式的解集与不等式同解。应用数形结合思想，在同坐标系下分析函数和的图象，可得，将两个集合表示的数轴上，如右图：
由图可知，是和同时
为真的充要条件；而，真且
假，，假且真，都满足和有且仅有一个正确，所以 为所求。

参考文献：罗增儒，《形异而质同───要看清问题的深层结构》，中学数学教学参考（高中版），2006，10