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反比例函数图象与图形面积
于志洪

如图1，对于双曲线（k≠0）上任一点P（x0，y0），恒有x0y0=k（k为定值）．

进而可知，过反比例函数图象上任一点P（x0，y0）作PA⊥x轴于点A，作PB⊥y轴于点B，O为坐标原点，则
PA=BO=|y0|，PB=OA=|x0|．
从而S△OPA=

下面我们通过几个实例，说明反比例函数的上述性质在解题中的应用．

一、反比例函数图象与三角形面积
例1 （2006年山东省滨州市）如图2，已知M（2，1）、N（2，6）两点，反比例函数的图象与线段MN相交，过反比例函数图象上任意一点P作y轴的垂线PG，G为垂足，则△OPG的面积S的取值范围是 ．

分析：本题的关键是先求出系数k的变化范围，然后由k的变化范围来确定面积S的取值范围．根据题意，图象必与线段MN相交．因为MN平行于y轴，故当双曲线过点N时， k的值最大；当双曲线过点M时，k的值最小．
解：当双曲线过点M（2，1）时，k=2；
当双曲线过点N（2，6）时，k=12，所以k的变化范围是2≤k≤12．
根据面积公式，可知△OPG的面积S的取值范围是1≤S≤6．

例2 （2005年浙江省课改实验区）两个反比例函数在第一象限内的图象如图3所示，点P1，P2，P3，…，P2005在反比例函数的图象上，它们的横坐标分别是x1，x2，x3，…，x2005，纵坐标分别是1，3，5，…，共2005个连续奇数，过P1，P2，P3，…，P2005分别作y轴的平行线，与的图象交点依次是Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），…，Q2005（x2005，y2005），则y2005= ．

分析：本题是一道综合性试题，要求学生能够运用反比例函数的性质把两个函数结合起来，进而求出函数的值．
解：易知点P2005的坐标为（x2005，2×2005－1），又点Q2005的坐标为（x2005，y2005），分别对两个反比例函数运用性质，得

两式相除，得
所以y2005=2004．5．

二、反比例函数图象与矩形面积
例3 （2006年广西南宁市课改实验区）如图4所示的是由四条曲线围成的广告标志，建立平面直角坐标系，双曲线的表达式分别为，，现用4根钢条固定这四条曲线，已知OF=OH=2米，这种钢条加工成矩形成品按面积计算，每平方米15元．请你帮助工人师傅计算一下，所需钢条一共花多少钱？

分析：在如图4所示的反比例函数图象中，矩形AEOH的面积等于，所以S矩形ABCD=，由此即可求解．
解：因为A为的图象上的任一点，所以

故4×6=24，
所以总费用为15×24=360（元）．
答：所需钢条一共花360元．

例4 （2006年江苏省南通市）某电子游戏中，有一个魔幻长方形，它的长与宽都可任意伸长与缩短，但面积保持不变，都是6．若将此长方形放在如图5所示的位置，并且长方形在变化过程中OA、OB始终在x轴、y轴上，则在此变化过程中，所有的点C组成怎样的线？为什么？

分析：设点C的坐标为C（x，y），则
．
因为在变化过程中长方形的面积不变，所以BC·AC=6．
故x·（－y）=6，即xy=－6．
解：在变化过程中，所有的点C组成双曲线的一个分支．理由如下：
设动点C的坐标为C（x，y）．
因为点C在第四象限，则x>0，y<0，
所以BC==x，AC==－y．
因为BC·AC=6，
所以x·（－y）=6，xy=－6，
所以．
这就是说，在变化过程中，所有的点C组成双曲线在第四象限的一个分支．
评注：本题实际上是“双曲线的面积不变性”的逆过程．它告诉我们，由与本例相类似的长方形或三角形的面积不变可推知双曲线及其解析式．

三、反比例函数图象与梯形面积
例5 （2007年湖北省荆州市）如图6，D为反比例函数：（k<0）图象上一点．过D作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，一次函数与的图象都过C点，与x轴分别交于A、B两点．若梯形DCAE的面积为4，求k的值．

解析：先分析两个一次函数的图象．因为一次函数的图象交x轴、y轴分别于点B、C，所以可把y=0代入得

解得，从而B点坐标为（，0），把x=0代入得y=2，从而C点坐标为（0，2），
所以OB=，OC=2；
又因为一次函数y=－x+m的图象也经过C（0，2），所以可把C（0，2）代入y=－x+m，得m=2，从而一次函数y=－x+m即为，又因为它的图象交x轴于点A，所以可把y=0代入得

从而A点坐标为（2，0），所以OA=2．接着从条件“梯形DCAE的面积为4”出发着手建立关于k的方程，若直接用梯形面积公式计算，必须用k的代数式表示线段DC、EA的长，但由于点D的坐标未知，所以线段DC、EA的长不易表示出，所以考虑把梯形面积作适当的转化．由于图中梯形DCAE已被y轴分割成两部分矩形DCOE和△OCA，
所以可得S矩形DCOE+S△OCA=4，
由OC=2，OA=2易得S△OCA=2，
从而S矩形DCOE=2．
由于矩形DCOE恰好是双曲线的特征矩形，所以
S矩形DCOE=（因为k<0），
从而－k=2，k=－2．

四、反比例函数图象与平行四边形面积
例6 （2005年浙江省宁波市）如图7，正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴的垂线，交x轴于B，过C作x轴的垂线，交x轴于D．求证：当k取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数．

证：由题意易得，四边形ABCD为平行四边形，而S△AOB=，所以，不论k取何正数，总有四边形ABCD面积=4S△AOB=2．

例7 （2007年福建省福州市）如图8所示，已知直线与双曲线（k>0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．

（1）求k的值；
（2）过原点O的另一条直线l交（k>0）于P、Q两点（P点在第一象限，且P点的横坐标小于4），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．
解析：（1）由于点A在直线上，且点A的横坐标为4，所以可把x=4代入y=，得y=2，从而点A的坐标为（4，2）．又因为A（4，2）也在双曲线上，所以可把A（4，2）代入，得2=，所以k=8．
（2）由（1）得k=8，从而双曲线即为.因为双曲线和正比例函数的图象都是中心对称图形，所以有OA=OB，OP=OQ，从而四边形APBQ是平行四边形．
又因为S平行四边形APBQ=24，所以S△OAF=6．
而由于△OAP的边都不容易求出，所以可考虑使用割补法计算面积，为此可作PE⊥x轴于点E，AF⊥x轴于点F，则有
S△OAP=S△OPE+S梯形PEFA－S△OAF，
不难发现△OPE和△OAF都是特征三角形，
从而有S△OPE=S△OAF，
所以S△OAP=S梯形PEFA，
又S△OAP=6，所以S梯形PEFA=6．
欲求点P的坐标，可设为（x，），又因为点A的坐标为（4，2），所以
AF=2，PE=，EF=4－x．
由S梯形PEFA=6得×EF=6，
即
解得x1=2，x2=－8．
由于点P在第一象限，所以舍去x2=－8，所以x=2，故点P的坐标为（2，4）．

附练习题
1、（2006年山东省临沂市中考题）如图9，点A是反比例函数图象上的一点，自点A向y轴作垂线，垂足为T，已知S△AOT=4，则此反比例函数的表达式为（ ）

（A） （B） （C） （D）
答案：选（D）。
2、（2006年内江市中考题）如图10，反比例函数图象上一点A与坐标轴围成的矩形ABOC的面积是8，则该反比例函数的解析式为 。

答案：反比例函数的解析式为．
3、（2006年兰州市中考题）如图11，P1、P2、P3是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O、P2A2O、P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则（ ）

（A）S1<S2<S3 （B）S1<S3<S2
（C）S2<S1<S3 （D）S1=S2=S3
答案：选（D）．
4、（2006年呼和浩特市中考题）如图12，P是反比例函数的图象上的任意一点，过P点作x轴的垂线，垂足为M，已知S△POM=2.

（1）求k的值；
（2）若直线y=x与反比例函数的图象在第一象限交于A点，求过点A和点B（0，－2）的直线的解析式。
答案：（1）k=4；（2）y=2x－2。
5、（2007年湖北省武汉市）如图13，已知双曲线经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k= 。

答案：k=2。
6、（2007年山东省威海市）如图14，直线y=mx与双曲线交于点A、B。过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连结BM。若S△ABM=1，则k的值是（ ）
（A）1 （B） （C）2 （D）m
答案：选（A）。

7、（2006年天津市初二数学竞赛题）如图15，由四条曲线围成一个广告标志，建立平面直角坐标系后双曲线表达式分别为，，现用四条钢条固定这四条曲线，已知OF=OH=2米，利用这种钢条加工成成品后总费用按矩形的面积计算，每平方米20元，请你帮助师傅们计算一下，一共要花多少钱？

答案：一共要花480元．