资源描述
二次函数的应用
【教学内容】二次函数的应用（一）
【教学目标】
知识与技能 掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．
过程与方法 学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题
情感、态度与价值观
在探究活动中，体验二次函数知识在实际生活中的应用。
【教学重难点】
重点：本节的重点是应用二次函数解决图形有关的最值问题，准确把握条件列出二次函数表达式，并根据限制条件或二次函数顶点式求出最大（或最小）值。
难点：由图中找到二次函数表达式是本节的难点，它常用的有三角形相似，对应线段成比例，面积公式等，应用这些等式往往可以找到二次函数的表达式．
【导学过程】
【知识回顾】确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标：
⑴y＝3x2一6x +7 ⑵ y＝-2 x2一12x +8
【情景导入】
把二次函数表达式化为顶点式后，可以求出函数的最大（或最小）值。下面我们来看它在实际生活中的应用吧！
【新知探究】
探究一、例1、如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
(1).设矩形的一边AB=xcm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
探究二、结合例1中应用的相似形知识列出二次函数表达式，并求出最大（最小）值。
1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？
2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？
3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积．
探究三：例2、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
变式练习：某建筑物窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形．制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m．当x等于多少时，窗户透过的光线最多（结果精确到0．01m）？此时，窗户的面积是多少？
【知识梳理】本节课我们学习如何列出二次函数表达式，并根据条件求出函数最大（或最小）值。
【随堂练习】
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用y=－x2＋4表示．
（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？
（2）如果隧道内设双行道，那么这辆货运车是否可以通过？
（3）为安全起见，你认为隧道应限高多少比较适宜？为什么？
2．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是 ，自变量x的取值范围是 ．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是 ，最小值是 ，这个函数图象有何特点？
3．如图(1)所示,要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场,没靠墙的篱笆长度为xm。(1)要使鸡场的面积最大,鸡场的长应为多少米?
(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙,要使鸡场面积最大,鸡场的长应为多少米?
(3)比较(1).(2)的结果,你能得到什么结论?
4．把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？
5．周长为16cm的矩形的最大面积为 ，此时矩形的边长为 ，实际上此时矩形是 ．
6．当n= 时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．
7．已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是 ．
8．如果一条抛物线与抛物线y=－x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表达式是 ．
9．若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为 ．
10．将抛物线y=3x2－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x＋2）2＋1 B．y=3（x－2）2－1
C．y=3（x＋2）2－5 D．y=3（x－2）2－2
11．二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（ ）
A．（－1，1） B．（1，－1） C．（－1，－1） D．（1，1）
12．如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，DF⊥AC交A C于F，设DF=x．
（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；
（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．
14．如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？
15．如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？
16．如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．
（1）求△ABC中AB边上的高h；
（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？
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