推理与证明复数.doc

十三推理与证明复数
一．选择题
1. 若复数 (为虚数单位)，则复数z在第（ ）象限。
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
1.A解析：。由于点（1，1）在第一象限，所以选择A。
2. 推理“①矩形是平行四边形；
②三角形不是平行四边形；
③所以三角形不是矩形”中的小前提是(　　)
（A）．①　　　 （B）．②　　　 （C）．③　　　（ D）．①②
2.B[解析]　①是大前提，②是小前提，③是结论
3. 由…若a>b>0,m>0,则与之间大小关系为 ( )
A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不确定
3.B解析：观察题设规律，易得,故应选B.
4. 下面是关于复数的四个命题：①；　②；　③的共轭复数为；　④的虚部为．其中正确的命题………………………… ………………………（　　）
A．②③ B．①② C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】，所以。的共轭复数为，的虚部为，，所以②④ 正确，选C.
5. 设，则“” 是“且”的（ ）
A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
5.B.解析：令，满足不等式，但此时不满足且，当且时，有成立，所以是且成立的必要不充分条件，选B.
6.如果圆C的方程是,则有过圆C上一点作圆C的切线的方程是，类比这一结论，若椭圆C的方程是，则有过椭圆C上一点（2，4）作椭圆C的切线方程是（ ）。
A. B.
C. D.
6.C
解析：类比过圆上一点的切线方程得：过椭圆上一点的切线方程是，所以把点（2，4）代入上式即得切线方程是。
7. 若复数，则是成立的（ ）
(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件
【答案】D
【解析】若，则成立。若，不妨取，则有成立，但不成立，所以是成立的必要不充分条件，所以D.
8. 观察下列方程的解的不同整数解的个数为4，的不同整数解的个数为8，的不同整数解的个数为12 …．则的不同整数解的个数为（ ）。
A. 2014 B. 1002 C. 2018 D.8056
8：D解析：观察可得不同整数解的个数4，8，12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为，则所求为第2014项，所以。
9. 分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦•B•曼德尔布罗特（Benoit B．Mandelbrot）在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图按照的分形规律生长成一个树形图，则第14行的实心圆点的个数是（　　）

（A）.52 (B).89 (C).32 (D)233
9.D解析：由题意及图形知不妨构造这样一个数列{an}表示实心圆点的个数变化规律，令a1=1，a2=1，n≥3时，an=an-1+an-2，本数列中的n对应着图形中的第n+1行中实心圆点的个数．由此知a11即所求．故各行中实心圆点的个数依次为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144,233．．a13=233，即第14行中实心圆点的个数是233,故选B.
10.设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为：
A、1 B、2 C、4 D、8
【答案】B
【解析】由题意，可得，因为数列为等差数列，故其前2013项的和等于
，解得，由等差数列的性质可得
，所以=2，
所以，
因为，，所以，
当且仅当，也就是等差数列的公差d=0是取等号，
所以，故选B.
二．填空题
11. （文科）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a-b是m的倍数，则称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示；在a=6（Mod23）中，a的取值可能为_______。
答案：29等
解析：m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a-b是m的倍数，
则称a、b模m同余，我们易得若a=6（Mod23），
则a-6为23的整数倍，
则a=23n+6，
故29，52，75，…均满足条件
故答案可填：29。
（理科）设m是一个正整数，对两个正整数a、b，若a-b=km（k∈Z，k≠0），我们称a、b模m同余，用符号a=b（Modm）表示； 在8=b（Modm）中，当，且m>1时，b的所有可能值是_________。
答案：2，4，6
解析：由两个数同余的定义，可得8=b（Modm）中，则称8-b=km（k是非零整数），即8=b+km，又∵且m>1，
∴m是8的正约数，可得m=2、4或8
①当m=2时，8=b+2k，可得b=2或4或6符合题意；
②当m=4时，8=b+4k，可得b=4符合题意；
⑥当m=8时，根据定义不符合题意，舍去
故答案为：2或6或4
12. 已知复数 ()的模为,则的最大值是 .
【答案】
【解析】由题意知，即，所以对应的圆心为，半径为。设，则。当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得，所以由图象可知的最大值是。
13. 我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质．①_____________________；②_______________________．
【答案】①；②；
③；④
【解析】由类比可知整除关系的两个性，为①；②；
③；④。
14. 二维空间中圆的一维测度（周长）l＝2πr，二维测度（面积）S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度（表面积）S＝4πr2，三维测度（体积）V＝πr3，观察发现V′＝S。则四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝　　　　　。
【答案】
【解析】因为，所以W＝
15. 在公比为3的等比数列中，若是数列的前n项积，则仍成等比数列，且公比为，类比上述结论，在公差为5的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则有______________也成等差数列，该等差数列的公差为 ．
答案：；500.
解析：由等比数列中，若是数列的前n项积，则仍成等比数列，且公比为，类比推出，成等差数列，公差为100d=500.
三．解答题
16. 已知，且满足．
（1）求；
（2）若，，求证：．
【答案】（1）设，则， ………… 2分
由
得 ……………………………4分
解得 或 ……………………………… 5分
∴或………………………………6分
（2）当时，
…………………… 10分
当时，

∴ ……………………………… 12分
17. 如图，在四棱柱中，已知平面平面且,.
（1）求证：
（2）若为棱的中点，求证：平面.
证明：⑴在四边形中，因为，，所以，……………2分
又平面平面，且平面平面，
平面，所以平面，………………………………………4分
又因为平面，所以．………………………………………7分
⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，………9分
又因为在四边形中，，，
所以，，所以，所以，
因为平面，平面，所以平面．…12分
18.（本题满分12分）如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．
（1）当，时，设，求的值；
（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；
（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．

解 （1）直线，解方程组 ，得．
所以． …4分
（2）设，，
因为三点共线，于是，即． ……6分
又，即．
所以
．
所以当时，为常数． ……8分
另解 设，解方程组 得．
要使为定值，有，即．（相应给分）
（3）若给出“设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或．” ……10分
若给出“当时，为常数或．” ……12分