资源描述
实际问题与一元二次方程
课标依据
1.能根据具体问题中的数量关系列出方程；
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
一、教材分析
在学习本节课之前，学生已经学会了用一元一次方程、二元一次方程（组）解决实际问题。所以本节课对学生来说并不陌生。同时，本节课又是学生在学习了一元二次方程的解法后进行具体应用的第一课时。本节内容是运用一元二次方程分析解决生活中的两个实际问题。通过本节课的学习，可以对一元二次方程的解法加以巩固，同时本节课的学习又是后面继续学习列方程解决实际问题、用二次函数解决实际问题的基础。因此，它具有承上启下的作用。
二、学情分析
多数学生对列方程解应用题的一般步骤已经很熟悉，具有丰富的想象力、好奇心和好胜心理，较容易开发他们的主观能动性。通过自主探究、合作交流的学习方式，多数学生掌握本节的知识可能不太困难。
三、教学目标
知识与
技能
1.使学生会列出一元二次方程解应用题，初步掌握利用一元二次方程解决生活中的实际问题.
2.培养学生的阅读能力.
过程与
方法
1.通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
2.通过观察，思考，交流，进一步提高逻辑思维和分析问题解决问题能力.
3.经历观察，归纳列一元二次方程的一般步骤
情感态度与价值观
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
四、教学重点难点
教学重点
建立数学模型，找等量关系，列方程
教学难点
找等量关系，列方程
五、教法学法
引导发现、归纳推理
六、教学过程设计
师生活动
设计意图
一、复习引入
1、解一元二次方程都是有哪些方法？
2、列一元一次方程解应用题都是有哪些步骤？
①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥答
二、探索新知
【探究1】
有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
思考：（1）本题中有哪些数量关系？
（2）如何理解“两轮传染”？
（3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了 人；第一轮传染后，共有 人患了流感；
在第二轮传染中，传染源是 人，这些人中每一个人又传染了 人，那么第二轮传染了 人，第二轮传染后，共有 人患流感.
（4）根据等量关系列方程并求解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
解方程得
x1=10， x2=-12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
(5)为什么要舍去一解？
（6）如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
通过对这个问题的探究,你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?
（后一轮被传染的人数前一轮患病人数的x倍）
(学生审题，理解题意，有问题时可合作交流，找出等量关系，列方程并求出方程的解，找出符合实际问题的解。教师巡视指导，发现问题及时纠正。)
【探究2】
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？
（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了 元，此时成本为 元；两年后，甲种药品下降了 元，此时成本为 元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？
(学生独立解答问题（1）、（2），然后交流，讨论，达到共识.)
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．
依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
设乙种药品成本的平均下降率为y．
则：6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大
（5）思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）
小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
三、巩固练习
1.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
2.公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
（学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正）
四、课堂小结
本节课要掌握：
1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2. 用“传播问题”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．
3.对于变化率问题，若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：（常见n=2）
五、作业
必做：P25： 3、7、10.
选做：P26：9
为继续学习建立一元二次方程的数学模型解实际问题作好铺垫．
使学生充分体会传播问题，培养学生对传播问题的解题能力.
使学生通过多种方法解传播问题，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验
弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系
通过练习加深学生列一元二次方程解应用题的基本思路
使学生巩固提高，
了解学生掌握情况
总结本节课内容，把握利用列一元二次方程解常见实际问题的题的技巧。
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