资源描述
实数
知识点
算术平方根
平方根的概念
立方根的概念
有理数、无理数的区别
实数的估算
实数的混合运算
7、实数的大小比较
教学目标
理解算术平方根、平方根、立方根、的概念、能用开平方和开立方运算求一个数的平方根和立方根。
会用计算器进行数的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。
了解无理数的意义，会对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义
了解实数与数轴上的点一一对应，了解有理数的运算律适用于实数的范围，会按结果所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行实数的四则运算。
教学重点
平方根与算术平方根的概念、性质；无理数与实数的意义；
教学难点
算术平方根的意义及实数的性质。
教学过程
一、课堂导入
实数的分类：
按照定义分类如下：
实数
按照正负分类如下：
实数
二、复习预习
三、知识讲解
考点/易错点1
平方根：
1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：
2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
考点/易错点2
算术平方根：
1.如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
考点/易错点3
立方根
1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
考点/易错点4
无理数
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如:等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点/易错点5
实数
1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。
四、例题精析
【例题1】
【题干】（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是
（4）当x 时，有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
【答案】(1),.（2）1和0 .（3）16;. （4） .（5）m=2,4
【解析】利用平方根的定义解答问题。
【例题2】
【题干】已知：A=是的算术平方根，B=是的立方根，求A－B的平方根。
【答案】A=是的算术平方根，x-y=2; 又B=是的立方根，x-2y+3=3，得方程组，解得：，A=3，B=2
A-B=1.
【解析】根据算术平方根的概念和立方根的概念解题。
【例题3】
【题干】下列说法中：①都是27的立方根，②，③的立方根是2，④。
其中正确的有 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【答案】B
【解析】正数的立方根是正数，27的立方根是3，所以①错误；
一个数的立方后再开立方结果还是这个数，
故 ②正确；=8,8的立方根是2，故③正确。正数的立方根是正数，故④不正确。
【例题4】
【题干】下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，A错误；,去绝对值取相反数，故B正确；无意义，C错误；不能合并D错误。
【例题5】
【题干】数 的大小关系是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【例题6】
【题干】若，且，则：= 。
【答案】-7.
【解析】
又，则a-b=-7.
【例题7】
【题干】若，则b等于（ ）
A. 1000000 B. 1000 C. 10 D. 10000
【答案】B
【解析】被开方数扩大倍，开方后结果扩大倍；根据开方与乘法互逆运算可得。
【例题8】
【题干】如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x－y的值.
【答案】的整数部分是x=2，小数部分是y=4--2=2-，x-y=.
【解析】由题意知，的整数部分是2，小数部分是4--2=2-，再代入代数式计算．
【例题9】
【题干】计算：
（1）（精确到0.01）；
（2） （精确到十分位）。
【答案】（1）
（2）
【解析】无理数的近似值，以下需要学生记忆。
【例题10】
【题干】已知的小数部分为a，的小数部分为b．求：
（1）a+b的值；
（2）a-b的值．
【答案】，
∴的小数部分a=4+-7=-3
的小数部分b=4-；
（1）a+b=-3+4-=1；
（2）a-b=-3-（4-）=-7．
【解析】首先估算出的取值范围：3＜＜4，进一步确定a、b的数值，代入求得（1）（2）即可．
课程小结
本章中，我们通过类比有理数及运算，引入了实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作用。实数与数轴上的点一一对应的。因此，我们可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助。
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