山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 5.5 相似三角形复习教案 北师大版.doc

5.5 相似三角形复习教案
考试要求：
1.会利用比例的基本性质、合比性质和等比性质，进行比例变形及计算.
2.熟练掌握相似三角形的性质与判定定理，结合三角形中位线的定义及性质解决实际问题.
教学重点与难点：
重点：相似三角形的性质与判定定理的应用．
难点：利用相似三角形的性质和判定解决实际问题．
教法及学法指导：
本节课主要形式是通过学生的课堂练习，发现问题，我及时点拨，阐明考的知识点及如何利用知识点解决问题，形成学生自己的知识体系；再通过例题拓展知识的应用，给学生以示范，提高学生应用知识的能力，增强规范意识；最后通过达标检测，查缺补漏，从而做到“堂堂清”，提高课堂效率．
教学准备：
教师准备：多媒体课件．
学生准备：导学案．
教学过程：

一、课前热身，回顾知识
（学生在提前下发的导学案上完成知识梳理，初步回顾相似三角形的知识点.）
1.比例的性质：①比例的基本性质 ；②比例的合比性质 ；
③比例的等比性质 ；
2.相似三角形的性质：
（1） 的两个三角形叫相似三角形， 叫相似比．
（2）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角 ，对应边 ；
②相似三角形的对应 比，对应 比，对应 比， 比都等于相似比， 比等于相似比的平方．
3.相似三角形的判定方法：
（1） 角对应相等的两个三角形相似；（2）两边 ，且夹角 的两个三角形相似；（3）三边 的两个三角形相似．
4.位似图形
位似图形是特殊的相似图形，对应点所在的直线都过 ，位似比等于相似比．

5.知识网络

设计意图：在导学案上以填空题的形式给学生梳理知识，再让学生填空.检查其对知识点掌握情况，避免遗漏；同时也便于学生把握知识点间的联系，为学生归纳知识网络奠定基础.
二、题组训练，夯实基础
师：在大家全面梳理知识的基础上，让我们一起来关注几个核心内容（引领学生完成导学案上的基础题组训练）.
题组一：
1.已知，( )
A. B. C. D.
【师生反思】考察知识点是：比例的性质.
E
D
A
C
B
2.（12，菏泽）如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE．
（学生展示填法．）
【师生反思】本题为开放性试题，考查的是相似三角形的判定.本题有三种不同的填法：①∠D＝∠B；②∠DEA＝∠C；③．任选其中一种即可.

3.（11，怀化）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3．则CE的值为（ ）
A、9 B、6 C、3 D、4
D
A
B
C
4.（10，上海）如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD =∠ABC，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.

【师生反思】考察的知识点是相似三角形对应边成比例.

5.（12，遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC，，S四边形BCFE=8，则
S△ABC= ．

【师生反思】考察的知识点是相似三角形面积的比等于相似比的平方.

6.（10，湖州）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．

【师生反思】考察的知识点是位似图形的定义即位似图形对应点所在的直线过位似中心．

设计意图：本题组注重各知识点的直接应用，课堂上可以采取抢答的方式解决．通过学生口述的解题思路回顾知识点再形成知识网络，这种处理方式学生参与度高，使枯燥无味的复习课充满竞争和无限生机．当然，在学生思维受阻时，教师应及时给予点拨．
题组二：
1．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上一点．过点D作一直线截原三角形形成小三角形，并使它和原三角形相似．(注：点E是过点D的直线与△ABC另一边的交点)这样的直线有几条？
（巡视发现多数同学找到2条，而后让学生讨论发现第三条后，
多媒体动画展示）．
【师生反思】要使以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，∠A
是公共角，与∠C对应的角可以是以D为顶点的角（一种情况），还
可以是以E为顶点的角（两种情况），共3条，考虑问题要全面．

B′
A′
-1
x
1
O
-1
1
y
B
A
C
2.（11，东营）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）．
A． B． C． D．
（巡视发现多数同学不知所措，故引导学生作如下的讨论．）
【师】要求点B的横坐标一般如何做辅助线？怎样求？
【生】过B作BE垂直于x轴垂足为E，求出OE的长再转化为坐标即可．
【师】怎样求OE的长？
【生】因为点B的对应点B′的横坐标是a，过B′作B′F垂直于x轴垂足为F，证明△EBC和△FB′C相似即可．
【师】很好，请根据刚才同学的分析，自己独立完成本题．
【师生反思】考察的知识点是位似图形的性质．解决问题的关键是把点的坐标转化为线段，利用相似三角形的性质即可求出．
设计意图：相似三角形的判定和性质，是本节的重要内容，也是考试的重点，通过这个题组，让学生熟练掌握解题的一般方法，特别是答案不唯一的题目，尽力做到考虑全面、不遗漏.
三、典例剖析，深化知识
例1 （11，怀化）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M.
（1）求证：；
（2）求这个矩形EFGH的周长.
解析：（1）证明△AHG∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，证明结论．
（2）设HE＝x，则HG＝2x，利用第一问中的结论求解．
（规范学生解题步骤，多媒体出示如下）
解：（1）∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH．
∴∠AHG=∠ABC．
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC．
∴．
（2）由（1）得．
设HE=x，则HG=2x，AM=AD-DM=AD-HE=30-x．
可得，
解得，x=12，2x=24．
所以矩形EFGH的周长为2×（12+24）=72cm.

【师生反思】解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．

例2 （12，菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)

解析：（1）在网格中证明一个三角形是直角三角形常用的方法是先计算三边的平方，再利用勾股定理的逆定理．
（2）在网格中判定两三角形相似常用的方法是“三边对应成比例，两三角形相似”．
（3）仔细观察图形，应用三角形中位线定理即可．
（规范学生解题步骤，多媒体出示如下）
解：（1）证明：根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5；显然有AB2＋AC2＝BC2，
根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形．
（2）△ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得AB＝2，AC＝，BC＝5，DE＝4，DF＝2，EF＝2.
∵＝＝＝.
∴△ABC∽△DEF.
（3）如图，△P2P4 P5即为所求.

【师生反思】在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据三组对应边的比相等，得两三角形相似．

例3（12，凉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F.
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求EF的长．

解析：(1)由四边形ABCD是矩形，易得∠A＝∠D＝90°，又由EF⊥BE，利用同角的余角相等，即可得∠DEF＝∠ABE，则可证得△ABE∽△DEF；
（2）由(1)△ABE∽△DEF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得＝，又由AB＝6，AD＝12，AE＝8，利用勾股定理求得BE的长，由DE＝AD－AE，求得DE的长，继而求得EF的长．
（规范学生解题步骤，多媒体出示）
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEB＋∠ABE＝90°.
∵EF⊥BE，
∴∠AEB＋∠DEF＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；
(2)∵△ABE∽△DEF，∴＝.
∵AB＝6，AD＝12，AE＝8，
∴BE＝＝10，DE＝AD－AE＝12－8＝4，
∴，解得.
【师生反思】判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”．
设计意图：通过例1引导学生发现‘解决有关三角形的内接正方形(或矩形)的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质’来解答．通过例2引导学生发现‘在网格中证明两个三角形相似，可分别计算两个三角形三边的长度，再计算三组对应边的比是否相等，根据“三组对应边的比相等，得两三角形相似”．’ 通过例3引导学生发现判定两个三角形相似的常规思路：①先找两对对应角相等；②若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；③若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则可考虑相似三角形的“传递性”．
四、总结收获，反思提升
师：今天我们复习了哪些数学知识？
我最大的收获是……
我表现不足的地方是……
我想进一步研究的问题是……
设计意图：学生互相说出自己的感受和收获，都能说出相似三角形的各个考点及解决方法，让学生感受到相似三角形的应用．
五、限时训练，当堂达标
（1、2、4为必做题，3为选做题）
1．（12，随州）如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED，若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为_________．

2．（12，衢州）如图，平行四边形ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE．若△DEF的面积为a，则平行四边形ABCD的面积为_________（用a的代数式表示）．

3．（11，河北）如图10，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点.
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；
（2）连接（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）

4．（12.枣庄）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F，已知OA=3，AE=2.
（1）求CD的长；
（2）求BF的长．

设计意图：选取中考题作为课堂检测，题目难度适中，贴近中考，具有检测的实效性，更能让学生体验解决中考题的快乐和成功感，增强学生复习阶段学习的信心.分层设置一组课堂反馈训练题，要求学生完成必做题后，可以有选择的去做选做题，有助于学生开拓思维，提高能力．
六、布置作业，课堂延伸
A组：复习指导丛书 92页-94页 第1、2、3、4、8、9、10、12、14题．
B组：复习指导丛书 92页 第5题 95页 第16题．
预习：课本八年级上册 第四章；九年级上册 第三章；
复习指导丛书 考点六 平行四边形．
设计意图：复习课后分层布置作业，让不同程度的学生有不同的收获；俗话说“万变不离其宗”中考题也是一样，学生认真研读教材，夯实双基，只会离成功更近一步．

板书设计:
第五讲 考点5 相似三角形
例1

例2

例3

投
影
区

学生板演区

教学反思：
本节课的基本思路是以基础题组的训练复习巩固知识点，以助同学们构建和完善知识网络；以典型例题的讲解——点拨解题思路及常用解题方法，来锻炼同学们思维的深度和广度；以当堂达标练习，提高课堂效率，真正做到“堂堂清”．
在基本思路的基础上，我又采用了由易到难的问题设计，层层推进教学过程，达到分散难点的同时也突出重点的效果，真正由浅入深，使学生理解的更充分；突破单一教学方案的设计，采用导学案、多媒体双管齐下的方式，真正扩大了课堂的容量,让学生清楚每一步的任务的同时，能更直观系统地掌握知识；与此同时，完成了从老师填鸭式教学到课上学生自主探讨、合作学习的转变，通过“例题后自我总结”这一教学细节的设计，体现知识的消化过程，使“方法归纳”真正成为学生自己的心得；最后，为了规范学生的做题步骤，我改变了师生共同完成解答过程的思路，反而先让学生完整写出例题的解题过程，然后再与多媒体的过程作比较，虽然过程耗费些许时间，但学生能够得到真正的训练．
如此下来一节课，给我最大的感受就是要学会把握时间．在基础知识方面，可以适当的多用一些时间，“磨刀不误砍柴工”，再多变的题目都还是由课本生发，夯实基础最重要；在各种题型的时间把握上，就要特别注意——稍简单些的可以稍稍减少些时间；而对于重难点，不贪多但必须讲一题透一题，应多放些时间，让学生深入讨论，明晰思路，再辅以点拨，效果可能会更好.