九年级数学上册 第二十二章 22.1 二次函数的图像及性质 22.1.2 二次函数yax2的图象和性质备课资料教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中九年级上册数学教案.doc

第二十二章 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质

知识点1:二次函数y=ax2图象的画法
二次函数y=ax2的图象的画法:
(1)列表:先取原点(0,0),然后在原点的两边,对称地选取几个x值,求出函数值列表.
(2)描点:在平面直角坐标系中描出表中数据对应的各点,一般先描y轴一侧的几个点,然后由对称性描出另一侧的几个点.
(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,就得到了二次函数y=ax2的图象.
知识点2:二次函数y=ax2的性质
1.二次函数y=ax2的图象是一条抛物线.
2.抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.a>0时,抛物线开口向上,顶点是抛物线的最低点;a<0时,抛物线开口向下,顶点是抛物线的最高点.
3.抛物线y=ax2的开口大小是由|a|决定的,|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大.
4.具体性质如下表所示:
函数

图象
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最大(小)值
y=ax2
a>0

向上
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而增大;
x<0时,y随x增大而减小
当x=0时,
y最小值=0
a<0

向下
(0,0)
y轴
x>0时,y随x增大而减小;
x<0时,y随x增大而增大
当x=0时,y最大值=0

考点1：二次函数y=ax2的性质的应用
【例1】 已知y=(k+1)是关于x的二次函数,且当x>0时,y随x增大而增大,求k的值.
解:已知y=(k+1)是关于x的二次函数,则解得:
又∵当x>0时,y随x增大而增大,∴k+1>0,即k>-1,∴k=1.
点拨：本题是关于二次函数的概念与性质的综合题.先根据二次函数的概念,自变量x的最高次数为2,且二次项系数不为0,得到k2+k=2,且k+1≠0;再根据二次函数y=ax2的性质,当且仅当其图象开口向上时,才有x>0时,y随x增大而增大,得到此题中的二次项系数k+1>0,这样就确定了k的值.
知识点2：二次函数y=ax2在几何问题中的应用
【例2】  如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别为正方形ABCD的顶点,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0<x≤10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是图中的(　　)

                          A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　  D
答案:D　
点拨：由题意知,阴影部分的面积y=4×=x2,即y=x2,因为0<x≤10,所以它的大致图象是D.
考点3：二次函数y=ax2在实际问题中的应用
【例3】　有一座桥梁,桥洞的形状是一条开口向下的抛物线,其对应的函数解析式为y=-x2(x,y的单位均为m).
(1)在平面直角坐标系中画出这条抛物线;
(2)利用图象求水面离桥洞的最高点2 m时,水面的宽度是多少米;
(3)当水面宽为6 m时,水面离桥洞的最高点有多少米?
解:(1)列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-4
-2
-
0
-
-2
-4
…
描点、连线得二次函数y=-x2的图象,如图所示.
(2)如图所示,过点M(0,-2)作直线AB平行于x轴,交抛物线于A,B两点.∵y=-x2的图象关于y轴对称,∴AM=BM.又∵直线AB平行于x轴,∴点A,B的纵坐标均为-2.当y=-2时,-x2=-2,x=±2.∴A(-2,-2),B(2,-2),即AB=4,∴此时水面的宽度为4 m.

 (3)如图所示,取点N(3,0),过点N作y轴的平行线,交抛物线于点F,过点F作x轴的平行线,交抛物线于另一点E,则EF=6,∴E,F的横坐标分别为-3和3.当x=3或x=-3时,y=-4.∴F点的纵坐标为-4,即NF=4.∴此时水面离桥洞的最高点为4 m.
点拨：本题考查了抛物线的对称性以及已知自变量x的值求函数y的值,已知函数y的值求自变量x的值的方法.