资源描述
一元二次方程
第9课时：一元二次方程的根的判别式（二）
教学目标：
1、熟练运用判别式判别一元二次方程根的情况．
2、学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．
3、通过例题教学，渗透分类的思想．
教学重点：
运用判别式求出符合题意的字母的取值范围．
教学难点：
教科书上的黑体字“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根”可看作一个定理，书上的“反过来也成立”，实际上是指它的逆命题也成立．对此的正确理解是本节课的难点．可以把这个逆命题作为逆定理．
教学过程：
上节课学习了一元二次方程根的判别式，得出结论：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根．”这个结论可以看作是一个定理．在这个判别方法中，包含了所有各种情况，所以反过来也成立，也就是说上述结论的逆命题是成立的，可作为定理用．本节课的目标就是利用其逆定理，求符合题意的字母的取值范围，以及进行有关的证明．
本节课是上节课的延续和深化，主要是在“明确目标”中所提的逆定理的应用．通过本节课的内容的学习，更加深刻体会到“定理”与“逆定理”的灵活应用．不但不求根就可以知道根的情况，而且知道根的情况，还可以确定待定的未知数系数的取值，本节课内容对学生严密的逻辑思维及思维全面性进行恰如其分的训练．
一、新课引入：
（1）一元二次方程的一般形式？说出二次项系数，一次项系数及常数项．
（2）一元二次方程的根的判别式是什么？用它怎样判别根的情况？
二、新课讲解：
将复习提问中的问题（2）的正确答案板书，反之，即此命题的逆命题也成立，即“一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果方程有两个不相等的实数根，则△＞0；如果方程有两个相等的实数根，则△=0；如果方程没有实数根，则△＜0．”即根据方程的根的情况，可以决定△值的符号，‘△’的符号，可以确定待定的字母的取值范围．请看下面的例题：
例1 已知关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1＝0，k取什么值时
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（1）方程无实数根．
解：∵ a＝2， b＝-4k-1，c＝2k2-1，
∴ b2-4ac＝（-4k-1）2-4×2×（2k2-1）
＝8k+9．
方程有两个不相等的实数根．
方程有两个相等的实数根．
方程无实数根．
本题应先算出“△”的值，再进行判别．注意书写步骤的简练清楚．
练习1．已知关于x的方程x2＋（2t＋1）x＋（t-2）2＝0．
t取什么值时，（1）方程有两个不相等的实数根？（2）方程有两个相等的实数根？（3）方程没有实数根？
学生模仿例题步骤板书、笔答、体会．
教师评价，纠正不精练的步骤．
假设二项系数不是2，也不是1，而是k，还需考虑什么呢？如何作答？
练习2．已知：关于x的一元二次方程：
kx2+2（k+1）x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．
和学生一起审题（1）“关于x的一元二次方程”应考虑到k≠0．（2）“方程有两个实数根”应是有两个相等的实数根或有两个不相等的实数根，可得到△≥0．由k≠0且△≥0确定k的取值范围．
解：∵ △＝[2（k＋1）]2-4k2＝8k＋4．
原方程有两个实数根．
学生板书、笔答，教师点拨、评价．
例 求证：方程（m2＋1）x2-2mx＋（m2＋4）＝0没有实数根．
分析：将△算出，论证△＜0即可得证．
证明：△＝（-2m）2-4（m2+1）（m2+4）
＝4m2-4m4-20m2-16
＝-4（m4＋4m2＋4）
＝-4（m2＋2）2．
∵ 不论m为任何实数，（m2＋2）2＞0．
∴ -4（m2＋2）2＜0，即△＜0．
∴ （m2＋1）x2-2mx＋（m2-4）＝0，没有实根．
本题结论论证的依据是“当△＜0，方程无实数根”，在论证△＜0时，先将△恒等变形，得到判断．一般情况都是配方后变形为：a2，a2＋2，（a2＋2）2，-a2，-（a2＋2）2，-（a＋2）2，……从而得到判断．
本题是一道代数证明题，和几何类似，一定要做到步步有据，推理严谨．
此种题型的步骤可归纳如下：
（1）计算△；（2）用配方法将△恒等变形；
（3）判断△的符号；（4）结论．
练习：证明（x-1）（x-2）=k2有两个不相等的实数根．
提示：将括号打开，整理成一般形式．
学生板书、笔答、评价、教师点拨．
三、课堂小结：
1．本节课的主要内容是教科书上黑体字的应用，求符合题意的字母的取值范围以及进行有关的证明．须注意以下几点：
（1）要用b2-4ac，要特别注意二次项系数不为零这一条件．
（2）认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，还是要证明△＞0．
（3）要证明△≥0或△＜0，需将△恒等变形为a2＋2，-（a＋2）2……从而得到判断．
2．提高分析问题、解决问题的能力，提高推理严密性和思维全面性的能力．
四、作业：
1．教材P．29中B1，2，3．
2．当方程x2+2（a+1）x+a2+4a-5=0有实数根时，求a的正整数解．
参考题目：
一、选择题（每题4分，共24分）
将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。
1、下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A、x2-9x+100=0 B、5x2+7x+5=0
C、16x2-24x+9=0 D、2x2+3x-4=0
2、下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A、4(x-1)2-49=0 B、(x-2)(x-3)+(3-x)=0
C、x2+(2+1)x+2=0 D、x(x-)+1=0
3、下列方程中，无实数根的是（ ）
A、2x2-3x+5=0 B、3x2+4x=5
C、2x2-5x+2=0 D、4x2+25=20x
4、当4q>p2时，方程x2-px+q=0的根的情况是（ ）
A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根
C、没有实数根 D、不能确定有没有实数根
5、下列方程中，有两个不相等的实数根的方程的个数是（ ）
(1)0.5x2-0.3=x (2)4x2-4x+5=0
(3)3x2-mx-1=0 (4)5x2-x+2=0
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6、已知方程x2-x+=0，则它的根的情况是（ ）
A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根
C、有两个相等的实数根 D、无法确定实数根的个数
二、填空题（每题5分，共20分）
1、当△_______时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根；反之，当方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根时，必有________.
2、一元二次方程2x2-3x+4=0的根的判别式△的值是______,方程的根的情况是_________.
3、一元二次方程的根的判别式△的值是______,方程的根的情况是______.
4、一元二次方程4(x-2)2-4(x-2)+1=0 的根的判别式的值是________, 方程根的情况是_______.
三、不解方程，判断下列方程根的情况（每题7分，共56分）
1、x2+12x-14=0
2、4x2+13x+9=0
3、(2x-1)2+x(x+2)=0
4、3(x-2)=x2
5、4x2-3x=(x+1)2
6、(2x+5)2=x-1
7、
8、5y(y-3)=-1
选作题（每题10分，共20分，不计入总分）
1、当m为何值时，方程8mx2+(8m+1)x+2m=0，
(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？
2、求证方程(k-1)x2+3kx+k+1=0(k≠1)必有两个不相等的实数。
教学后记：
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