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第五章 5.3.1 平行线的性质
知识点1:平行线的性质1
两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
知识点2:平行线的性质2
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
知识点3:平行线的性质3
两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
注意：(1)同位角相等、内错角相等和同旁内角互补是由平行线的性质所得的结论,所以它们成立的前提是“两直线平行”.
(2)要注意正确区分平行线的性质与判定,由角的数量关系得到两条直线平行,是平行线的判定;由两条直线平行得到角的数量关系,是平行线的性质.
(3)要特别注意没有两条直线平行这个条件,同位角和内错角不相等,同旁内角也不互补.
考点1:探索平行线中的拐角
【例1】 如图,AB∥DE,则∠BCD、∠B、∠D之间的数量关系如何,为什么?
解:∠BCD=∠B-∠D.
理由:如图,过点C作CF∥AB.
∵CF∥AB,∴∠B=∠BCF(两直线平行,内错角相等).
∵AB∥DE,∴CF∥DE,
∴∠DCF=∠D(两直线平行,内错角相等),
∴∠B-∠D=∠BCF-∠DCF.
∵∠BCD=∠BCF-∠DCF,∴∠BCD=∠B-∠D.
点拨:作辅助线构造内错角是解决此题的关键.
提升点2:平行线性质的应用
【例2】 如图,已知l1∥l2,∠ABC=120°,l1⊥AB,求∠α的度数.
解答:如图,过点B作l3∥l1.
∵ l1⊥AB(已知),∴ l3⊥AB(两直线平行,同位角相等).
∴ ∠γ=90°(垂直的定义).
∵ ∠ABC=120°(已知),∴ ∠β=120°-90°=30°.
又 l3∥l1,l1∥l2(已知),∴ l3∥l2(平行公理推论).
∴ ∠α=∠β=30°(两直线平行,同位角相等).
点拨:平行线有一个非常重要的作用,就是角的传递,在本题中虽然知道l1∥l2,但却与∠ABC无法建立联系,因此我们可以过点B作一条与l1平行的直线l3,根据“平行于同一条直线的两条直线平行”的性质可得到l3∥l2,进而可以建立起∠ABC与∠α的联系.
注意：本题辅助线的作法还可以叙述为:过点B作l3⊥AB.适当添加辅助线是解数学题的重要手段.这里过直线外一点作已知直线的平行线,是常用的辅助线之一.辅助线在解题过程中起铺路架桥的作用,有化难为易之功效,是解数学图形题常用的技巧.作辅助线要注意作法的叙述,辅助线要画成虚线.
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