九年级数学上册 2.5 第2课时 图形面积问题教案1 （新版）湘教版-（新版）湘教版初中九年级上册数学教案.doc

第2课时　图形面积问题

1．掌握列出一元二次方程解图形问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；(重点，难点)
2．学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题．

一、情境导入
要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)．

二、合作探究
探究点：利用一元二次方程解决图形问题
【类型一】 面积问题
要对一块长60米，宽40m的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化，设计方案如图所示，矩形P，Q为两块绿地，其余为硬化路面，P，Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD的面积的，求P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽．

解：设P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为x米．
根据题意，得(60－3x)·(40－2x)＝60×40×，解得x1＝10，x2＝30.
检验：如果硬化路面宽为30米，则2×30＝60＞40，所以x2＝30不符合题意，舍去，故x＝10.
答：P，Q两块绿地周围的硬化路面的宽为10米．
易错提醒：在应用题中，未知数的允许值往往有一定的限制，因此除了检验未知数的值是否满足所列方程外，还必须检验它在实际问题中是否有意义．在求出方程的解为10或30时，如果不进行验根，就会误以为本题有两个答案，而题目中明确有“荒地ABCD是一块长60米，宽40米的矩形”这个已知条件，显然x＝30不符合题意．
【类型二】 动点问题
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．

(1)如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？
(2)点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
解析：这是一道动点问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方程求解．
解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10(cm)．
(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm.
则根据题意，得·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x＋8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.
(2)设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半．
则根据题意，得·(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x＋12＝0.
由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻．
方法总结：解决动态几何问题的关键是寻找点运动的过程中变化的量与不变的量，寻找等量关系列方程．对于动点问题，常先假设出点的位置，根据面积关系列出方程，如果方程的根符合题目的要求，就说明假设成立，否则，假设不成立．
三、板书设计
利用一元二次方程解决图形问题eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(面积问题

经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型解决问题的过程，认识方程模型的重要性.通过列方程解应用题，观察、思考、交流，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.经历探索过程，培养合作学习的意识.体会数学与实际生活的联系，进一步感知方程的应用价值.