湖北省黄冈市高2009级高三下期3月月考(数学理).doc

湖北省黄冈市高2009级高三下期3月月考
数学试题（理科）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选择中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数,则|z|的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知数列{}的通项公式是,若对于m，都有成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k > 0 B．k > - 1 C．k > - 2 D．k > - 3
3．已知、、是锐角三角形的三个内角，向量，
，则与的夹角是（ ）
A．锐角 B．钝角 C．直角 D．不确定
4．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．展开式中共有八项 B．展开式中共有四项为有理项
C．展开式中没有常数项 D．展开式中共有五项为无理项
5．已知,则实数的值为（ ）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
6．如图正方体中为棱的中点，则在平面内过点
与直线成角的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．无数
7．已知椭圆（）的短轴端点分别为、，左、右焦点分别为、，长轴右端点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知大于1的实数、满足，则函数与函数的图象关系是（ ）
A．关于原点对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
9．某篮球选手每次投篮命中的概率为，各次投篮间相互独立，令此选手投篮次的命中率为（为进球数与之比），则事件,发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知命题：
①已知函数的图象如图1所示，则；
②过如图2所示阴影部分区域内点可以作双曲线同一支的两条切线；
③已知、、是平面内不同的点，且，则是
、、三点共线的充要条件．以上正确命题个数是

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．坐标原点为，抛物线与过其焦点的直线交于、两点，则______．
12．若数列{}满足，则数列{}为“调和数列”，已知数列{}为“调和数列”，且，则的最大值是_______．
13．已知满足条件，则的取值范围是_______________．
14．函数图象上有且仅有两个点到轴距离等于1，则a的取值范围是_______.
15．如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E、F分
别为PA、PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF//平面PBC；
④平面BCE平面PAD
其中正确的有______________个
三、解答题
16．（本题满分12）
已知函数，且给定条件,
（1）求的最大值及最小值；
（2）若又给条件且，p是q的充分条件，求实数m的取值范围。

17．（本题满分12分）四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子中，从中任意摸出两个小球，它们的标号分别为，记=
（1）求随机变量的分布列及数学期望；
（2）设“函数在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率。

18．（本题满分12分）如图，在直三棱柱中，,AC=BC CC，
D为AB的中点.
（1）求证：
（2）求二面角B—BC—D的余弦值的大小。

19．（本题满分12分）设椭圆的两个焦点是，且椭圆上存在点，使．
（1）求实数的取值范围；
（2）若直线：与椭圆存在一个公共点，使得取得最小值，求此最小值及此时椭圆的方程；
（3）在条件（2）下的椭圆方程，是否存在斜率为的直线,与椭圆交于不同的两、，满足，且使得过点两点的直线满足？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

20．（本题满分13分）
设函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）判断方程的实数解的个数，并加以证明。

21. （本题满分14分）已知定义域在R上的单调函数,存在实数，使得对于任意的实数，总有恒成立。
（1）求的值；
（2）若=1，且对任意正整数n,有,
记，比较与T的大小关系，并给出证明；
(3)在(2)的条件下，若不等式
对任意不小于2的正整数n都成立，求实数x的取值范围。

参考答案
一、选择题
1.B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C 10.A
二、填空题
11. 12.100 13.[3.9] 14.a<-1或a=0或a>1 15.2个
三、解答题
16.解：(1)
（3分）
又
（6分）
(2)
又 （12分）
17.解（1）随即变量的取值为2、3、4.
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C.
设四个小球分别为
当=2时，摸出小球为1。 ；
当=3时，摸出的小球为1和2和2、1和2和2共4种情况。
P（=3）=；
当=4时，摸出的小球为
的分布列为

2
3
4
P

E=2×+3×+4×=3 （6分）
（2）函数在区间（2，3）上有且只有一个零点。
。即
（12分）
18.解：（1）连接BC交BC于E，连接DE，BCCC，

（6分）
（2）作BF于F，连接EF

又
设

又（12分）
19.解：（1）由椭圆定义可得，可得
，而,
解得 （4分）
（或解：以为直径的圆必与椭圆有交点，即
（2）由，得

解得 此时
当且仅当m=2时， （8分）
（3）由知，点是的中点
设A，B两点的坐标分别为，中点Q的坐标为
则，两式相减得
①
且在椭圆内的部分，又由可知
②
①②两式联立可求得点Q的坐标为
点Q必在椭圆内
又
20.解：（1）
故
(2)

故
由此猜测
下面证明：当时，由
得
若
当
当时,
当时，
总之故在(- （10分）
又

所以当时，在（-1，0）上有唯一实数解，从而在
上有唯一实数解。
综上可知，. (13分)
21.解：（1）令
令
由①②得 （4分）
（2）由（1）可得
则
又

又

(3)令
则
当

即
解得或
故 （14分）

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