九年级数学上 第22章二次根式复习教案.doc

一. 教学内容：
第22章 二次根式复习

二. 重点、难点：
本章的重点是二次根式的运算，二次根式的有关概念和性质是进行二次根式运算的基础，正确理解和运用二次根式的有关概念和性质是二次根式运算的关键，深刻理解和运用公式是本章的难点。

三. 知识梳理：
1. 本章知识提练整理

2. 学习本章的几个注意点
（1）抓对比，明确概念
本章概念多，容易混淆。学习时要抓住它们各自的特点进行对比，搞清概念间的联系和区别，如画出网络图建立二次根式与同类二次根式的联系和区别；这是获得知识、训练能力的有效方法。
（2）抓类比，发展联想
美国数学教育学家波利亚说：“类比就是一种相似，相似的对象在某个方面彼此一致，类比的对象则其相应部分在某些关系上相似。”学习二次根式时可以同算术平方根的符号、性质类比，这样学习数学就能逐步提高思维能力。
（3）抓审题，提高素质
由于前面分析过的难点，就使得学习时容易出现错误，特别在解题时，如不仔细审题，就容易用错概念，或挖掘不出隐含在题意或符号、算式中的关系和条件，所以在审题时要细心观察，善于联想，去伪存真，巧妙转化；再有，二次根式运算的题目往往比较繁杂，计算时要学会调控自己的情绪，沉着冷静，切忌浮躁，养成“审题、检查、反思”的学习习惯，培养良好的心理素质，提高自身综合素质。
（4）抓“化简”，落实双基
本章学习要抓住二次根式的运算这条主线，而二次根式的化简又是运算的表现形式，因此，要通过“化简”把算术平方根和二次根式的概念、性质，以至多项式的运算、多项式的因式分解等等知识有机地结合起来，并通过“化简”做到“明白算理，运算熟练，结果正确。”

【典型例题】
例1. 如果，则=_______.
分析： 根据二次根式的概念，在中，必须是非负数，即≥0，可以是单项式，也可以是多项式.所以由已知条件，得≥0且≥0.
解：由题意得≥0且≥0，∴，=2，∴=5.

例2. 已知数a，b，若=b－a，则 ( )
A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b
解析：此题是二次根式的性质的应用，根据其性质，即是指|a－b|=b－a，根据绝对值的意义，可得a－b≤0，所以有a≤b，故选D.

例3. 当成立时，的取值范围是___________.
分析：商的算术平方根的性质成立的条件是≥0，＞0，不能与二次根式有意义的条件混淆.
解：由≥0和2－＞0得0≤＜2.

例4. 若互为相反数，则_______。
解析：互为相反数，

点评：绝对值、算术平方根、完全平方数为非负数。即：，。非负数有一个重要的性质，即若干个非负数的和等于零，那么每一个非负数分别为零。即：；；；
.

例5. 将根号外的a移到根号内，得 ( )
A. ； B. －； C. －； D.
分析：字母从根号外移到根号内，应特别注意其正负情况，是正数则可以平方后直接移到根号内，与根号内的被开方数相乘，是负数则应整理后再做移动.此题隐含了条件＜0，所以绝不可直接平方后移动.
解：由已知得＜0，所以=－(－)=－=－.故选B.

例6. 在实数范围内分解因式。
（1）； （2）
解：（1）原式
（2）原式

例7. 比较下列数值的大小。（2001）
（1）； （2）
分析：为了比较两个数的大小，本题要用乘法运算的逆向思维法解决。
解：（1）
由，得
（2）

由，得
考点：无理数大小比较的常用方法。

例8. 的整数部分是_________，小数部分是________。
分析：因为是无理数，即无限不循环小数，所以把分成整数部分a和小数部分b，其中a是小于且最靠近的整数，而，这样就可以从中先求出a，再求出b。
解：，即，
，即
又是无限不循环小数。
的整数部分是2，小数部分是。

例9. 计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）计算：；
（6）计算：
（7）计算：；
（8）计算：
（9）计算：
（10）计算：
分析： 这类二次根式的混合运算计算题一直是中考的重点，要求在计算时，注意题目的特点，确定运算顺序，根据二次根式的性质化简二次根式，特别是正确地进行分母有理化，使运算合理、正确、简便。
解：（1）原式

（2）原式
（3）原式
；
（4）原式；
（5）

（6）

（7）

；
（8）

；
（9）

（10）由所给算式知

例10. 观察下列各式及其验证过程：
， 验证：；
验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
分析：这是一道规律探索题，探索某些特殊的二次根式，可以将根号外面的数直接移到根号内与被开方数相加.通过观察不难发现，这类特殊的二次根式其根号外面的数与根号内的数的分子相同，根号内的数的分母是根号外的数的平方与1的差.其验证过程也给我们提供了解题思路.
解：（1）； 验证略
（2）(n≥2，且是整数).
验证： .

例11. 已知，则a_________
分析：把已知式的前三项分母有理化后，解出a。
解：已知式化为

，
，

点评：因之前的各项分母有理化后，“环环相扣，前后相消”，仅留2，就好求a了。进一步看到，若把2看成，则。
发展：已知，则a______。（答案：a）.

例12. 化简.
分析：很多同学由于对分母有理化比较熟悉，把分子和分母都乘以，从而得到结果为.对此题而言却是错误的!因为这里不能保证≠0，所以正确的解法应该是用约分的方法对其化简.
解： ==.

【模拟试题】（答题时间：80分钟）
一、选择题：
1. 若在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）。
A. m≥2 B. m>2 C. m≤2 D. m<2
2. 若=3，则x的取值范围是（ ）。
A. x=0 B. －1≤x≤2 C. x≥2 D. x≤－1
3. 二次根式、、的大小关系是（ ）。
A. << B. <<
C. << D. <<
4. 下列式子中，正确的是（ ）。
A. （－3）（+3）=2 B. 5÷×=5
C. 2×（=2－1 D. （2－）（2+）2=－2－
5. 使等式成立的实数a的取值范围是（ ）。
A. a≠3 B. a≥，且a≠3 C. a>3 D. a≥
6. 下列各组二次根式（a>0）中，属于同类二次根式的是（ ）。
A. C.
7. 当0<x<2时，化简2的结果是（ ）。
A.
8. 甲、乙两个同学化简时，分别作了如下变形：
甲：==；

乙：=。
其中，（ ）。
A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确
C. 只有甲正确 D. 只有乙正确

二、填空题：
9. 已知a、b在数轴上的位置如图所示，－│b－a│的化简结果是_______。

10. 若x≠0，y≠0，则成立的条件是__________。
11. 已知m是小于10的正整数，且可化为同类二次根式，m可取的值有_______。
12. 如果xy=，x－y=5－1，那么（x+1）（y－1）的值为________。
13. 已知x=12，x=________。
14. 若a<－2，的化简结果是________。

三、计算题：
15. 。
16. 。
17. （a+b）（－）（a>0，b>0）。
18. （2－）2（7+4）+（－2）（－2－）。
19. 已知x=（+），y=（－），求的值。
20. 已知a、b、c均为实数，且=c。
化简。
21. 观察下列各式及其验证过程：
①2
验证：2。
②3
验证：3。
（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n表示的等式，其中n为自然数，且n≥2，并进行证明。

试题答案
1. D 2. B 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. A
9. –b 10. x<0，y<0 11. 7和1 12. －4 13.
14. － 15. － 16. 17. （a－b）
18. 0 19. x+y=，xy=，==12
20. a<0，b<0，c≥0，
原式=b
21. （1）4=。
验证：4==；
（2）n。
证明：n。