材料力学简单的超静定问题.ppt

,材 料 力 学,电 子 教 案,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第六章 简单的超静定问题,6,-,1,超静定问题及其解法,6,-,2,拉压超静定问题,6,-,3,扭转超静定问题,6,-,4,简单超静定梁,2,6,-,1,超静定问题及其解法,.,关于超静定问题的概述,第六章 简单的超静定问题,(a),(b),3,图,a,所示静定杆系为减小杆,1,2,中的内力或节点,A,的位移,(,如图,b,),而增加了杆,3,。此时有三个未知内力,F,N1,F,N2,F,N3,，但只有二个独立的平衡方程,一次超静定问题,。,第六章 简单的超静定问题,(a),(b),4,图,a,所示简支梁为减小内力和位移而如图,b,增加了中间支座,C,成为连续梁。此时有四个未知,约束力,F,Ax,F,A,F,B,F,C,，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。,超静定问题,(,statically indeterminate problem,),：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。,第六章 简单的超静定问题,F,A,F,B,l,(a),F,Ax,A,B,q,(b),l,/2,l,/2,C,F,C,F,Ax,A,B,q,F,B,F,A,5,.,解超静定问题的基本思路,例,1,超静定结构,(statically indeterminate structure),解除,“,多余,”,约束,基本静定系,(primary statically determinate system),(,例如杆,3,与接点,A,的连接,),第六章 简单的超静定问题,6,在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力,并使,“,多余,”,约束处满足变形,(,位移,),相容条件,相当系统,(equivalent system),1,2,B,C,A,F,F,N,3,F,N3,A,D,第六章 简单的超静定问题,7,于是可求出多余未知力,F,N3,。,由位移相容条件,，,利用物理关系,(,位移或变形计算公式,),可得补充方程：,第六章 简单的超静定问题,1,2,B,C,A,F,F,N3,F,N3,A,D,8,基本静定系,A,B,l,补充方程为,于是可求出多余未知力,F,C,。,第六章 简单的超静定问题,位移相容条件,Cq,+,CFC,=0,相当系统,A,B,l,/2,q,l,F,C,例,2,超静定梁,y,x,l,/2,l,/2,C,A,B,q,9,.,注意事项,(1),超静定次数,=,“,多余,”,约束数,=,“,多余,”,未知力,=,位移相容条件数,=,补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2),求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3),无论怎样选择,“,多余,”,约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。,第六章 简单的超静定问题,10,(4),“,多余,”,约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。,如上所示连续梁若取,B,处铰支座为,“,多余,”,约束，则求解比较复杂。,第六章 简单的超静定问题,x,l,/2,l,/2,C,A,B,q,F,B,y,x,l,/2,l,/2,C,A,B,q,11,6-2,拉压超静定问题,.,拉压超静定基本问题,例题,6,-,1,求图,a,所示等直杆,AB,上,下端的,约束力,，并求,C,截面的位移。杆的拉压刚度为,EA,。,解,:,1.,有两个未知,约束力,F,A,F,B,(,见图,a),，但只有一个独立的平衡方程,F,A,+,F,B,-,F,=0,故为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,12,2.,取固定端,B,为,“,多余,”,约束。相应的相当系统如图,b,，它应满足相容条件,BF,+,BB,=0,，参见图,c,，,d,。,第六章 简单的超静定问题,3.,补充方程为,由此求得,所得,F,B,为正值，表示,F,B,的指向与假设的指向相符，即向上。,13,得,F,A,=,F,-,Fa,/,l,=,Fb,/,l,。,5.,利用相当系统,(,如图,),求得,4.,由平衡方程,F,A,+,F,B,-,F,=0,第六章 简单的超静定问题,14,例题,求图,a,所示结构中杆,1,2,3,的内力,F,N1,F,N2,F,N3,。杆,AB,为刚性杆，杆,1,2,3,的拉压刚度均为,EA,。,第六章 简单的超静定问题,a,a,a,A,C,D,B,1,3,2,E,F,F,(a),a,15,解：,1.,共有五个未知力，如图,b,所示，但只有三个独立的静力平衡方程，故为二次超静定问题。,2.,取杆,1,与结点,C,处的连接以及杆,2,与结点,D,处的连接为多余约束，得基本静定系如图,c,。,C,D,3,(c),第六章 简单的超静定问题,F,F,Ay,F,Ax,F,N1,F,N3,F,N2,(b),16,3.,相当系统应满足的变形相容条件如图,d,所示为,F,N2,D,D,l,2,F,F,C,A,D,l,1,D,l,3,D,l,2,F,B,F,N2,D,F,N1,3,(d),第六章 简单的超静定问题,F,N1,C,D,l,1,E,4.,根据相容条件，利用物理方程得补充方程：,即,F,N1,=2,F,N3,F,N2,=2,F,N1,=4,F,N3,17,5.,将上述二个补充方程与由平衡条件,M,A,=,0,所得平衡方程,联立求解得,第六章 简单的超静定问题,F,N1,=2,F,N3,F,N2,=2,F,N1,=4,F,N3,F,F,Ay,F,Ax,F,N1,F,N3,F,N2,(b),18,.,装配应力和温度应力,(1),装配应力,超静定杆系,(,结构,),由于存在,“,多余,”,约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力,装配内力,，以及相应的,装配应力,。,第六章 简单的超静定问题,19,图,a,中所示杆系,(,E,1,A,1,=E,2,A,2,),中杆,3,的长度较应有长度短了,D,e,，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆,3,在结点,A,处受到装配力,F,N3,作用,(,图,b,),，而杆,1,2,在汇交点,A,处共同承受与杆,3,相同的装配力,F,N3,作用,(,图,b,),。,第六章 简单的超静定问题,(a),(b),20,求算,F,N3,需利用位移,(,变形,),相容条件,(,图,a,),列出补充方程,由此可得装配力,F,N3,，亦即杆,3,中的装配内力为,第六章 简单的超静定问题,(,拉力）,(a),21,至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力,(,轴力,),除以杆的横截面面积即得。,由此可见，计算超静定杆系,(,结构,),中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移,(,变形,),相容条件并利用物理关系列出补充方程。,而杆,1,和杆,2,中的装配内力利用图,b,中右侧的图可知为,第六章 简单的超静定问题,22,例题,6,-,3,两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆,1,2,(,图,a,),，其长度,l,=200 mm,，直径,d,=10 mm,。试求将长度为,200.11 mm,，亦即,D,e=,0.11 mm,的铜杆,3,(,图,b,),装配在与杆,1,和杆,2,对称的位置后,(,图,c,),各杆横截面上的应力。已知：铜杆,3,的横截面为,20 mm30 mm,的矩形，钢的弹性模量,E,=210 GPa,，铜的弹性模量,E,3,=100 GPa,。,第六章 简单的超静定问题,23,解,：,1.,如图,d,所示有三个未知的装配内力,F,N1,F,N2,F,N3,，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明,F,N1,=F,N2,，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：,所以这仍然是一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,(d),24,2.,变形相容条件,(,图,c),为,这里的,D,l,3,是指杆,3,在装配后的缩短值，不带负号。,3.,利用物理关系得补充方程：,第六章 简单的超静定问题,25,4.,将补充方程与平衡方程联立求解得：,所得结果为正，说明原先假定杆,1,2,的装配内力为拉力和杆,3,的装配内力为压力是正确的。,5.,各杆横截面上的装配应力如下：,第六章 简单的超静定问题,（拉应力）,（压应力）,26,(2),温度应力,也是由于超静定杆系存在,“,多余,”,约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力,。铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。,第六章 简单的超静定问题,27,例题,6,-,4,试求两端与刚性支承连接的等截面杆,(,图,a,),当温度升高,D,t,时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为,A,，材料的弹性模量为,E,，线膨胀系数为,l,。,第六章 简单的超静定问题,(a),28,解,:,1.,由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出,约束力,的值，可见这是一次超静定问题。,2.,以刚性支撑,B,为,“,多余,”,约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形,D,l,t,和,“,多余,”,未知力,F,N,产生的缩短变形,D,l,F,分别如图所示。,第六章 简单的超静定问题,29,3.,变形相容条件为,4.,补充方程为,5.,由此得多余未知力,6.,杆的横截面上的温度应力为,30,若该杆为钢杆而,l,=1.210,-,5,/,(,C,),，,E,=210GPa,，,则当温度升高,D,t,=40,时有,第六章 简单的超静定问题,（压应力）,31,6,-,3,扭转超静定问题,例题,6,-,5,两端固定的圆截面等直杆,AB,，在截面,C,处受扭转力偶矩,M,e,作用，如图,a,。已知杆的扭转刚度为,GI,p,。试求杆两端的,约束力,偶矩以及,C,截面的扭转角。,第六章 简单的超静定问题,(a),32,解,:,1.,有二个未知,约束力,偶矩,M,A,M,B,，但只有一个独立的静力平衡方程,故为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,(a),M,A,M,B,33,2.,以固定端,B,为,“,多余,”,约束，,约束力,偶矩,M,B,为,“,多余,”,未知力。在解除,“,多余,”,约束后基本静定系上加上荷载,M,e,和,“,多余,”,未知力,偶矩,M,B,，如图,b,；它应满足的位移相容条件为,注：这里指的是两个扭转角的,绝对值,相等。,第六章 简单的超静定问题,34,另一,约束力,偶矩,M,A,可由平衡方程求得为,3.,根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：,由此求得,“,多余,”,未知力，亦即,约束力,偶矩,M,B,为,第六章 简单的超静定问题,35,4.,杆的,AC,段横截面上的扭矩为,第六章 简单的超静定问题,从而有,(a),36,例题,6,-,6,由半径为,a,的铜杆和外半径为,b,的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩,M,e,作用，如图,a,。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩,T,a,和,T,b,，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。,第六章 简单的超静定问题,(a),37,解,:,1.,铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力,矩,扭矩,T,a,和,T,b,(,图,b),，但只有一个独立的静力平衡方程,T,a,+,T,b,=,M,e,，故为一次,超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,T,a,T,b,(b),2.,位移相容条件为,38,3.,利用物理关系得补充方程为,4.,联立求解补充方程和平衡方程得：,第六章 简单的超静定问题,T,a,T,b,(b),39,第六章 简单的超静定问题,5.,铜杆横截面上任意点的切应力为,钢管横截面上任意点的切应力为,40,上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量,G,a,小于钢的切变模量,G,b,，故铜杆和钢管在,r,=,a,处切应力并不相等，两者之,比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。,第六章 简单的超静定问题,41,6,-,4,简单超静定梁,.,超静定梁的解法,第六章 简单的超静定问题,解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图,a,所示一次超静定梁时可以铰支座,B,为,“,多余,”,约束，以,约束力,F,B,为,“,多余,”,未知力。解除,“,多余,”,约束后的基本静定系为,A,端固定的悬臂梁。,基本静定系,42,基本静定系在原有均布荷载,q,和,“,多余,”,未知力,F,B,作用下,(,图,b,),当满足位移相容条件,(,参见图,c,d,),时该系统即为原超静定梁的相当系统。,若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系,(,参见教材中的附录,),所得的补充方程为,第六章 简单的超静定问题,43,从而解得,“,多余,”,未知力,第六章 简单的超静定问题,所得,F,B,为正值表示原来假设的指向,(,向上,),正确。固定端的两个,约束力,利用相当系统由静力平衡条件求得为,44,该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图,所示,。,思考,1,.,该梁的反弯点,(,弯矩变换正负号的点,),距梁的左端的距离为多少？,2,.,该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？,第六章 简单的超静定问题,45,例题,6,-,7,试求图,a,所示系统中钢杆,AD,内的拉力,F,N,。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量,E,已知；钢杆的横截面积,A,和钢梁横截面对中性轴的惯性矩,I,亦为已知。,第六章 简单的超静定问题,46,解,:,1.,该系统共有三个未知力,(,图,b),F,N,F,B,F,C,，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。,2.,取杆和梁在点,A,处的连接铰为,“,多余,”,约束，相应的,“,多,余,”,未知力为,F,N,。位移,(,变形,),相容条件,(,参见图,b,),为,w,A,=,D,l,DA,。,第六章 简单的超静定问题,47,3.,物理关系,(,参见图,c,d,),为,需要注意，因,D,l,DA,亦即图,b,中的 是向下的，故上式中,w,AF,为负的。,第六章 简单的超静定问题,48,4.,于是根据位移,(,变形,),相容条件得补充方程：,由此求得,第六章 简单的超静定问题,49,例题,6,-,8,试求图,a,所示等截面连续梁的,约束力,F,A,F,B,F,C,，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度,EI,=5,10,6,N,m,2,。,第六章 简单的超静定问题,50,解,:,1.,两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。,第六章 简单的超静定问题,51,2.,为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为,“,多余,”,约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为,“,多余,”,未知力，如图,b,。,第六章 简单的超静定问题,此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座,B,处的梁端还分别作用有等值反向的,“,多余,”,未知力矩 弯矩,M,B,，图,b,中的,“,多余,”,未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件,(,参见图,b,),为,52,3.,利用教材中的附录,可得物理关系为,应该注意，在列出转角,的算式时每一项的正负号都必须按同一规定,(,例如顺时针为正，逆时针为负,),确定。,第六章 简单的超静定问题,53,4.,将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得,这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图,b,中所设相反，即为负弯矩。,第六章 简单的超静定问题,5.,利用图,b,可得,约束力,：,54,第六章 简单的超静定问题,(c),(d),然后绘出剪力图和弯矩图如图,c,d,。,