七年级数学关注三角形的外角新人教版.doc

关注三角形的外角
教学目标
1．知识目标：理解三角形的外角的概念及三角形的内角和定理的两个推论.
2．能力目标：通过三角形内角和定理的推论的推导过程，进一步培养学生的推理能力.
3．情感目标：通过三角形内角和定理的推论的推导过程，培养学生的推理能力.
教学重点
三角形内角和定理的推论的推导
教学难点
三角形内角和定理的推论的应用.
教学方法
引导探索法.
教学过程
1．创设情境，自然引入
前面我们证明了三角形内角和定理，它的证明思路是通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°.

在证明这个定理时，先把△ABC的一边BC延长，这时在△ABC外得到∠ACD，我们把∠ACD叫做三角形ABC的外角，如图6.6（1）.
那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
2．设问质疑，探究尝试
通过前面的描述，可以得到三角形的外角的定义：
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
外角的特征有三条：（1）顶点在三角形的一个顶点上. （2）一条边是三角形的一边. （3）另一条边是三角形某条边的延长线.
把三角形各边向两方延长，就可以画出一个三角形所有的外角.得到：一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个相等，所以研究时，只讨论不同顶点处的三个外角的性质.
如图6.6（2），∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？

∵∠1+∠4=180°,
∠2+∠3+∠4=180°
∴∠2+∠3=180°－∠4
∠1=180°－∠4
∴ ∠1=∠2+∠3
∠1>∠2,∠1>∠3.
把结论归纳成语言为：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角.
在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）.
因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用.
注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义.3
3．变式训练，巩固提高
例1．已知：如图6.6（3），在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，
求证：AD∥BC.

证明：（方法一）
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C
∴∠B=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAE=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
证明：（方法二）
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
证明：（方法三）
∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∵∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形的内角和定理）
∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°（等量代换）
即：∠B+∠DAB=180°
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）
例2．已知：如图6.6（4），在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2.

证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1>∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠3是△CDE的一个外角（已知）
∴∠3>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
例3．已知：如图6.6（5），在△ABC中，外角∠DCA=100°,∠A=45°.
求∠B和∠ACB的度数.

解：∵∠DCA=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠DCA=100°,∠A=45°（已知）
∴∠B=∠DCA－∠A=100°－45°=55°（等式的性质）
∵∠DCA+∠ACB=180°（1平角=180°）
∴∠ACB=180°－∠DCA（等式的性质）
∵∠DCA=100°（已知）
∴∠ACB=80°（等量代换）
例4．如图6.6（6），求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图6.6（7），
则：∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图6.6（7），
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）
即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图6.6（8），
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠C+∠A+∠B（等量代换）

如果点D在线段BC的另一侧，如图6.6（9），则有
∠A+∠B+∠C+∠D=360°
4．总结串联，纳入系统
本节课我们主要研究了三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
在计算角的度数、证明两个角相等时，常常用到三角形内角和定理及推论1；证明两角不等时，常常用推论2.
教学检测
一．请你选一选
1．对于△ABC，下列命题中是假命题的为( )
A.若∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
B.若∠A+∠B＞∠C，则△ABC是锐角三角形
C.若∠A+∠B＜∠C，则△ABC是钝角三角形
D.若∠A=∠B=∠C，则△ABC是斜三角形
2．在△ABC中，已知∠A+∠C=2∠B，∠C－∠A=80°，则∠C的度数是( )
A.60° B.80° C.100° D.120°
3．如图6.6（10），∠B=∠C，则∠ADC与∠AEB的关系是( )
A.∠ADC＞∠AEB B.∠ADC=∠AEB
C.∠ADC＜∠AEB D.不能确定

4．如图6.6（11），∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是( )
A.∠A＞∠DOE＞∠BEC B.∠DOE＞∠A＞∠BEC
C.∠BEC＞∠DOE＞∠A D.∠DOE＞∠BEC＞∠A
二．请你填一填
1．△ABC中，若∠A=30°，∠B=∠C，则∠B=________，∠C=________.
2．△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD是∠A的平分线，则∠DAC的度数为________.
3．如图6.6（12），已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°则∠BDC的度数等于_______.

4．如图6.6（13），AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分∠BEF，若∠1=72°,则∠2=_______.

5．如图6.6（14），∠α=125°,∠1=50°，则∠β的度数是_______.
三．请你来计算
1．已知：如图6.6（15），AB∥CD，AD∥BC，∠1=50°，∠2=80°.
求：∠C的度数.

2．已知：如图6.6（16），D是AB上一点，E是AC上的一点，BE、CD相交于点F，
∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：（1）∠BDC的高度；
（2）∠BFD的度数.
四．请你来证明
1．已知：如图6.6（17），在△ABC中，BD、CE是∠B、∠C的平分线，且相交于点O.
求证：∠BOC=90°+∠A.

2．已知，如图6.6（18）∠ACE是△ABC的外角，∠ABC与∠ACE的角平分线BP、CP交于点P.
求证：∠P=∠A.
3．已知：如图6.6（19），D是△ABC的∠C的外角平分线与BA的延长线的交点.
求证：∠BAC＞∠B.

参考答案
一．请你选一选
1．D 2．C 3．B 4．D
二．请你填一填
1．50° 100° 2．40° 3．80° 4．54° 5．105°
三．请你来计算
1．50°
2．解：∵∠BDC=∠A+∠ACD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠A=62° ∠ACD=35°
∴∠BDC=62°+35°=97°（等量代换）
（2）∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°（三角形内角和定理）
∴∠BFD=180°－∠BDC－∠ABE（等式的性质）
∵∠BDC=97° ∠ABE=20°（已知）
∴∠BFD=180°－97°－20°=63°（等量代换）
四．请你来证明
（略）