九年级数学上册 1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（四） 教案 青岛版.doc

1.3 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定（4）
教学目标
1、会归纳正方形的特性并进行证明
2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明
3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用
4、在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系
教学重、难点
重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力
难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点
教学过程：
一、情境创设
这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？

二、合作交流

探索正方形的性质
（1）边的性质： ；
（2）角的性质： ；
（3）对角线的性质： ；
（4）对称性： 。

例1、 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于
点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E，
A’D’交CD于点F，E是BC的中点。

（1）求证：F是CD的中点
（2）若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？
分析：（1）方法一∵OB=OC,E是BC的中点
∴OE⊥BC,∠OEC=90°
∵∠EA’F=∠ECF=90°
∴∠OFC=90°
∵OC=OD
∴F是CD的中点

方法二 ∵∠EA’F=90°,AC⊥BD ∴∠EOC+∠COF=∠DOF+∠COF=90°
∴∠EOC=∠DOF 又OC=OD,∠OCE=∠ODF=45°
∴△OCE≌△ODF(ASA)
∴DF=CE=BC=CD,即F是CD的中点。
（2）证明方法同前方法二。
由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等）

练习
（第18题）
A1
A2
A3
A4
如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ C ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D． cm2

C
B
E
A
D
F

例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，∠FAE﹦∠BAE.
求证：AF﹦BC+FC.

例3、 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

例4、已知正方形ABCD。

（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH；
（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；
（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。

练习：
1、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．1- D．1-

2、已知：如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周长是多少？若不能求出，请说明理由．

三、分层训练
1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。
E
P
D
C
B
A
F
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A

2、如图,正方形ABCD中,∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则∠BEC= 度.
3、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= 。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对角线的距离之和等于
。

4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论:（1）∠E=22.50. (2) ∠AFC=112.50. (3) ∠ACE=1350（4）AC=CE(5) AD∶CE=1∶. 其中正确的有（ ）（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个
5、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN⊥DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由．

O
B
M
C
O
O
D

A

N

6、（2006·济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45°角画线，将正方形纸片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 8； cm；若在上述正方形纸片中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规律？ ．得到的阴影部分的面积是，即阴影部分的面积不变．

16题图

四、小结

（1） 正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。

（2）正方形的性质：
①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
⑤正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对
（3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思想方法。

五、课堂检测
六、教后感