资源描述
2．2.2 公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2．会用公式法解一元二次方程；(重点)
3．会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用．(难点)
一、情境导入
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝，x2＝.
二、合作探究
探究点一：求根公式
方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________．
解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝.
故答案为：3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，.
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根．
探究点二：用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；
(3)x2－2x＋1＝0.
解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.
∵a＝3，b＝5，c＝－2，
∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝－2.
(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，
∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，
∴原方程没有实数根．
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，
∴x＝＝，
∴x1＝x2＝1.
方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根)．
探究点三：根的判别式
【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况
已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是( )
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根
C．该方程无实数根
D．该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根．
【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k>－1 B．k>－1且k≠0
C．k<1 D．k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2－4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即解得k>－1且k≠0，故选B.
易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.
【类型三】 利用根的判别式判断三角形的形状
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状．
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2ax＋(c－b)m＝0.
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(－2a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形．
方法总结：利用根的判别式判断三角形形状的方法：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题．
【类型四】 利用根的判别式解存在性问题
是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：不存在，理由如下：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.
而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．
∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．
易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了m2≠0这一隐含条件，因此解题过程中务必细心警惕．
三、板书设计
经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程，探索求根公式，认识配方法是理解公式的基础．通过对公式的推导，认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程．体会数式通性，感受数学的严谨性和数学结论的确定性．提高学生的运算能力，并养成良好的运算习惯．
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