九年级数学上册公理及其推论教案 北师大版.doc

公理及其推论
年 级
初三
学 科
数学
版 本
北师大版
内容标题
你能证明它们吗？§1、§2
编稿老师
孙月

【本讲教育信息】
一. 教学内容：

年 级
初三
学 科
数学
版 本
北师大版
内容标题
你能证明它们吗？§1、§2
编稿老师
孙月

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
你能证明它们吗？
§1、有关等腰三角形的性质
§2、有关等腰三角形的判定

二. 教学目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质和判定的定理。
2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。
3、结合实例体会反证法的含义。
4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。

三. 重点、难点：
重点：1、证明的基本步骤。
2、掌握等腰三角形的性质和判定。
3、理解和掌握反证法。
难点：灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。

四. 课堂教学
1、公理及其推论
公理：三边对应相等的两个三角形全等。（）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（）
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（）
公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
推论：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。（）
2、等腰三角形的性质定理及其推论
定理：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
已知：如图，在中，。证：。

证明：取BC中点D，连接AD

。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称：三线合一）
符号语言：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC，BD=DC
（2）∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD
（3）∵AB=AC，BD=DC
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

例1. 等腰三角形两腰上的中线相等
已知：如图，在中，，BD、CE是的中线。
求证：BD=CE。

证明：BD、CE是的中线

又

在和中
，，

推广：如果，那么吗？呢？你能总结出一个一般结论吗？
想一想：等腰三角形两底角的平分线相等吗？你能推广出什么结论吗？高呢？
3、等腰三角形的判定定理
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）
符号语言：在中，∵∠B=∠C ∴AB=AC
4、反证法
思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？
解决问题：
如图，在中，已知，此时AB与AC要么相等，要么不等。

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得，但已知条件是。“”与已知“”相矛盾，因此。
概念：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

例2. 、、、都是正数，且，那么这四个数中至少有一个大于或等于。
证明：先假设这四个数中没有一个大于或等于，即这四个数都小于，那么这四个数的和一定小于1，这与已知相矛盾，从而说明假设不成立，即这四个数中至少有一个大于或等于。

【典型例题】
例1. 如图所示，AB=DB，，请你添加一个适当的条件使，则添加的条件是
答案：∵，∴，又∵AB=DB

∴利用“”公理，需添加：BC=BE，
利用“”公理，需添加：
利用“”公理，需添加：
因此可填：BC=BE，或中的任一个。

例2. 如图，在中，AD是角平分线，求证：AC=AB+BD。

证明：在AC上截取AE=AB，连ED
∵AE=AB，，AD=AD
∴
∴ED=BD，
∵是的一个外角
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
即AC=AB+BD

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题：
1. 如图所示，，AD=AB，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，则有（ ）
A. ∠1=∠EFD B. FD∥BC C. BF=FD=CD D. BE=EC

2. 如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC上，DE交AC于F，若，AE=AC，则（ ）
A. △ABD≌△AFD B. △AFE≌△ADC
C. △AFE≌△DFC D. △ABC≌△ADE

3. 等腰三角形的一个内角为，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（ ）
A. B. 或 C. D. 以上都不对
4. 如图所示，，BC=DB，AC=AE，则（ ）
A. B. C. D.

5. 在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出BC=FE，AC=DE ，要断定两只船帆一样，只需测量出（ ）
A. B. C. D. 以上都不对

二、填空题：
1. 如图，已知△ABC中，若，，BE是的平分线，AC=14，，则 ，AD= 。

2. 如图，已知△ABC中，若，，直角的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：
（1）：AE=CF （2）：△EPF是等腰直角三角形
（3）： （4）： EF=AP
当在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有

3. 如图所示，在△ABC中，，过和的平分线交点O，作，交AC于E，则图中的等腰三角形有 个，它们分别是

4. 如图所示，在△ABC中，，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 。

5. 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角，则它和顶角之间应满足的关系式为 。

三、证明：
1. 已知如图，AB=AD，，求证：CB=CD

2. 如图，已知在△ABC中，AD平分，，求：的值。

3. 如图所示，在△ABC中，，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：AH=2BD

4. 如图，MB=2MA，MC=BC，，求证：

5. （1）如图所示，P是等腰△ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于R，观察AR与AQ，它们有什么关系？证明你的猜想。
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，第（1）题中的结论还成立吗？请在图中完成图形，并给出证明。

？
§1、有关等腰三角形的性质
§2、有关等腰三角形的判定

二. 教学目标：
1、了解作为证明基础的几条公理的内容，能够证明与三角形有关性质和判定的定理。
2、进一步体会证明的必要性，进一步掌握综合法的证明方法，并能用规范的数学语言来表述整个推理论证过程，发展推理论证的能力。
3、结合实例体会反证法的含义。
4、在学习中注意积累一些数学思想方法，并运用到解决问题当中。

三. 重点、难点：
重点：1、证明的基本步骤。
2、掌握等腰三角形的性质和判定。
3、理解和掌握反证法。
难点：灵活运用综合法分析问题，并规范地书写证明过程。

四. 课堂教学
1、公理及其推论
公理：三边对应相等的两个三角形全等。（）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（）
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。（）
公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
推论：两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。（）
2、等腰三角形的性质定理及其推论
定理：等腰三角形的两个底角相等。（简称：等边对等角）
已知：如图，在中，。证：。

证明：取BC中点D，连接AD

。
推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简称：三线合一）
符号语言：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD
∴AD⊥BC，BD=DC
（2）∵AB=AC，AD⊥BC
∴BD=DC，∠BAD=∠CAD
（3）∵AB=AC，BD=DC
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD

例1. 等腰三角形两腰上的中线相等
已知：如图，在中，，BD、CE是的中线。
求证：BD=CE。

证明：BD、CE是的中线

又

在和中
，，

推广：如果，那么吗？呢？你能总结出一个一般结论吗？
想一想：等腰三角形两底角的平分线相等吗？你能推广出什么结论吗？高呢？
3、等腰三角形的判定定理
定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）
符号语言：在中，∵∠B=∠C ∴AB=AC
4、反证法
思考：“在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等”你认为这个结论正确吗？
解决问题：
如图，在中，已知，此时AB与AC要么相等，要么不等。

假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得，但已知条件是。“”与已知“”相矛盾，因此。
概念：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

例2. 、、、都是正数，且，那么这四个数中至少有一个大于或等于。
证明：先假设这四个数中没有一个大于或等于，即这四个数都小于，那么这四个数的和一定小于1，这与已知相矛盾，从而说明假设不成立，即这四个数中至少有一个大于或等于。

【典型例题】
例1. 如图所示，AB=DB，，请你添加一个适当的条件使，则添加的条件是
答案：∵，∴，又∵AB=DB

∴利用“”公理，需添加：BC=BE，
利用“”公理，需添加：
利用“”公理，需添加：
因此可填：BC=BE，或中的任一个。

例2. 如图，在中，AD是角平分线，求证：AC=AB+BD。

证明：在AC上截取AE=AB，连ED
∵AE=AB，，AD=AD
∴
∴ED=BD，
∵是的一个外角
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
∴
即AC=AB+BD

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题：
1. 如图所示，，AD=AB，AB⊥BC于B，BE⊥AC于E，则有（ ）
A. ∠1=∠EFD B. FD∥BC C. BF=FD=CD D. BE=EC

2. 如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC上，DE交AC于F，若，AE=AC，则（ ）
A. △ABD≌△AFD B. △AFE≌△ADC
C. △AFE≌△DFC D. △ABC≌△ADE

3. 等腰三角形的一个内角为，它一腰上的高与底边所夹的角的度数为（ ）
A. B. 或 C. D. 以上都不对
4. 如图所示，，BC=DB，AC=AE，则（ ）
A. B. C. D.

5. 在课外航模小组的活动中，小同同学要制作两只完全相同的帆船。如图是他制作的两只船的船帆，现在小同已经测量出BC=FE，AC=DE ，要断定两只船帆一样，只需测量出（ ）
A. B. C. D. 以上都不对

二、填空题：
1. 如图，已知△ABC中，若，，BE是的平分线，AC=14，，则 ，AD= 。

2. 如图，已知△ABC中，若，，直角的顶点P是BC中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：
（1）：AE=CF （2）：△EPF是等腰直角三角形
（3）： （4）： EF=AP
当在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有

3. 如图所示，在△ABC中，，过和的平分线交点O，作，交AC于E，则图中的等腰三角形有 个，它们分别是

4. 如图所示，在△ABC中，，要使AD=AE，需要添加的一个条件是 。

5. 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角，则它和顶角之间应满足的关系式为 。

三、证明：
1. 已知如图，AB=AD，，求证：CB=CD

2. 如图，已知在△ABC中，AD平分，，求：的值。

3. 如图所示，在△ABC中，，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：AH=2BD

4. 如图，MB=2MA，MC=BC，，求证：

5. （1）如图所示，P是等腰△ABC的底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交AB于点Q，交CA的延长线于R，观察AR与AQ，它们有什么关系？证明你的猜想。
（2）如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，第（1）题中的结论还成立吗？请在图中完成图形，并给出证明。