正交试验设计与数据处理.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,章 正交试验设计与数据处理,在生产实践中，试制新产品、改革工艺、寻求好的生产条件等，这些都需要做试验，而试验总是要花费时间，消耗人力、物力。因此，试验的次数应尽可能少。,全面试验：,如 4 个 3 水平的因素，要做 3,4,81 次试验；,6 个 5 水平的因素，要做 5,6,15625次试验。非常困难。,能否减少试验次数，而又不影响试验效果呢？,有,正交试验,4.1 正交表及其用法,正交表的记号：,L,9,（3,4,）,表示 4 个因素，每个因素取 3 个水平的正交表。格式如,表,4-1,所示。,1,4.1 正交表及其用法,正交表记为,L,n,（,m,k,），m,是各因素的水平，,k,（,列数）是因素的个数，,n,是安排试验的次数（行数）。,L,9,（3,4,）4,因素3水平正交试验，共做9次试验，而全面试验要做 3,4,=81 次，减少了72次。,L,25,（5,6,）6,因素5水平正交试验，共做25次试验，而全面试验要做 5,6,=15625 次，减少了15600次。,正交表的两条重要性质：,（1）每列中不同数字出现的次数是相等的，如,L,9,（3,4,），,每列中不同的数字是1，2，3,。它们各出现三次。,（2）在任意两列中，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数是相等的，如如,L,9,（3,4,），,有序数对共有9个：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），,它们各出现一次,。,2,4.1 正交表及其用法,由于正交表的性质，用它来安排试验时，各因素的各种水平是搭配均衡的。,下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计。,3,例,4.1,某水泥厂为了提高水泥的强度，需要通过试验选择最好的生产方案，经研究，有,3,个因素影响水泥的强度，这,3,个因素分别为生料中矿化剂的用量、烧成温度、保温时间，每个因素都考虑,3,个水平，具体情况如,表,4-2,，试验的考察指标为,28,天的抗压强度（,MPa,），分别为,44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3,。问：对这,3,个因素的,3,个水平如何安排，才能获得最高的水泥的抗压强度,?,解：在这个问题中，人们关心的是水泥的抗压强度，我们称它为试验指标，如何安排试验才能获得最高的水泥抗压强度，这只有通过试验才能解决，这里有,3,个因素，每个因素有,3,个水平，是一个,3,因素，,3,水平的问题，如果每个因素的每个水平都互相搭配着进行全面试验，必须做试验,3,3,=27,次，我们把所有可能的搭配试验编号写出，列在表,4-3,中。,4,例,4.1,进行27次试验要花很多时间，耗费不少人力、物力，为了减少试验次数，但又不能影响试验的效果，因此，不能随便地减少试验，应当把有代表性的搭配保留下来，为此，,按,L,9,（3,4,）,表中前3列,的情况从27个试验中选取9个，,它们的序号分别为1，5，9，11，15，16，21，22，26,，将这9个试验按新的编号19写出来，正好是正交表,L,9,（3,4,）,的前3列，如,表4,-1,所示。,为了便于分析计算，把考查指标（铁水温度）列于,表4,-4,的右边，做成一个新的,表4,-5,，利用张表进行分析计算。,从表4,-5,中的数据处理与分析，可以得出结论：各因素对考查指标（抗压强度）的影响按大小次序来说应当是,A(,矿化剂用量,),、,B(,保温时间,),、,C(,烧成温度,),，最好的方案应当是,A,2,C,2,B,3,，,即：,5,例,4.1,A,2,：,矿化剂用量，第,2,水平，,4%,；,C,2,：,保温时间，第2水平，,30min,；,B,3,：,烧成温度，第,3,水平，,1450,。,得出的最好方案在已经做过的9次试验中没有出现，与它比较接近的是第,4,号试验，在第,4,号试验中只有,烧成温度,B,不是处于最好水平，而且烧成温度对抗压强度的影响是,3,个因素中最小的。从实际做出的结果看出,第,4,号试验中的抗压强度是,48.2MPa,，是9次试验中最高的,，这也说明我们找出的最好方案是符合实际的。,为了最终确定试验方案,A,2,C,2,B,3,是不是最好方案，可以按这个方案再试验一次，若比,4,号好，作为最好结果，若比,4,号差，则以,4,号为最佳条件。如出现后一结果，说明我们的理论分析与实践有一定的差距，最终还是要接受实践的检验。,6,正交试验步骤归纳如下：,1、确定要考核的试验指标；,2、确定要考察的因素和各因素的水平；,以上两条要实践经验来决定。,3、选用合适的正交表，一般只要正交表中的因素个数比试验要考察的因素的个数稍大或相等就行了。这样既保证了试验目的，而试验次数又不致太多，省工省时；,4、试验，测定试验指标；,5、试验结果分析计算，得出合理的结论。,以上的方法直观分析法。简单、计算量小、很实用。,正交试验的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都确定的情况下，正交表并不是唯一的，常见的正交表见本书末,附表,4,。,7,4.2 多指标的分析方法,在例,4.1,中，试验指标只有一个，考察起来比较方便，但实际问题中，需要考察的指标往往不止一个，有时有两个、三个或更多。如何评价考察指标呢？,两种方法,。,4.2.1,综合平衡法,通过具体的例子来加以说明。,例,4.2,某陶瓷厂为了提高产品质量，要对生产的原料进行配方试验。要检验3项指标：抗压强度、落下强度和裂纹度，前两个指标越大越好，第3个指标越小越好。根据以往的经验，配方有3个重要因素：水分、粒度和碱度。它们各有3个水平，具体数据如,表4,-6,所示。试进行试验分析，找出最好的配方方案。,8,4.2.1,综合平衡法（例,4.2,的解）,解 3因素3水平，应选,L,9,（3,4,）,正交表来安排试验，将3个因素依次放在前3列（第4列不要），得出一张具体的试验方案表，测出需要检验的指标结果，列于,表4,-7(,a,),、,(,b,),、,(,c,),中，然后用直观分析法对每个指标分别进行计算分析。,将3 个指标分别进行计算分析后，得出3个好的方案：对抗压强度是,A,2,B,3,C,1,；,对落下强度是,A,3,B,3,C,2,；,对裂纹度是,A,2,B,3,C,1,，,这3个方案不完全相同，对一个指标是好方案，而对另一个指标却不一定是好方案，如何找出对各个指标都较好的一个共同方案呢？,综合分析，将指标随因素水平变化的情况用图形表示出来，如,图4,.0,所示（为了看得清楚，将各点用直线连接起来，实际上并不一定是直线。,把图4,-1,和表4,-7,结合起来分析，看每一个因素对各指标的影响。,9,图4,.0,10,4.2.1,综合平衡法（例,4.2,的解的综合分析）,（1）粒度,B,对抗压强度和落下强度来讲，,极差最大,，是最大的影响因素。从,图4,.0,中看出三个指标,B,均取8为最好即取,B,3,。,（2）碱度,C，,极差不大,，次要因素。由,图4,.0,分析，取1.1时两个指标好，1个指标稍差，对三个指标综合考虑，,C,取1.1即取,C,1,。,（3）水分,A，,对,裂纹度影响极差最大,，,A,取9最好，由,图4,.0,综合考虑,A,取9即取,A,2,。,通过各因素对各指标影响的综合分析，得出较好的试验方案是：,B,3,：,粒度取第3水平，8；,C,1,：,碱度取第1水平，1.1；,A,2,：,水分取第2水平，9。,11,4.2.2,综合评分法,对多指标的问题，真正做到好的综合平衡，有时很困难，这是综合平衡法的缺点。综合评分法可以克服这个缺点。,例,4.3,某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度和回收率，这两个指标都是越大越好。有影响的因素有4个，各有3个水平，具体情况如,表4,-8,所示。试通过试验分析出较好方案，使产品的核酸含量和回收率都有提高。,解 这是4因素3水平的试验，可以选用正交表,L,9,（3,4,）,安排出试验方案（这里有4个因素，正好将表排满），进行试验，将得出的结果列入,表4,-9,中。,综合评分法是根据各个指标的重要性的不同，按照得出的试验结果综合分析，给每一个试验评出一个分数，作为这个试验的总指标。根据这个总指标作进一步的分析。,12,4.2.2,综合评分法（例,4.3,的解）,这个方法的关键是如何评分。,在这个试验中，两个指标的重要性是不同的，根据实践经验知道，纯度的重要性大于回收率，从实际分析，可以认为纯度是回收率的4倍。也就是,纯度占权数为4，回收率占权数为1,，按这个权数给出这个试验的总分为：,总分4纯度1回收率,由上式计算出这个试验的总分数，列于,表4,-9,的最右边，再根据这个分数，用直观分析法进行分析。,从表4,-9,看出，,A、D,两个因素的极差都很大，是对试验影响很大的两个因素，,A,1,、D,1,为好；,B,因素的极差比,A、D,的极差小，对试验的影响比,A、D,都小；,B,因素取,B,3,为好；,C,因素的极差最小，影响最小，,C,取,C,2,为好。综合考虑，最好的试验方案应当是,A,1,B,3,C,2,D,1,，,按影响大小次序排列为：,13,4.2.2,综合评分法（例,4.3,的解）,A,1,：,时间，25小时；,D,1,：,加水量，1：6；,B,3,：,料中核酸含量，6.0；,C,2,：,pH,值，6.0。,可以看出，这里分析出来的最好方案，在已经做过的9个试验中是没有的，可以按这个方案再试验一次，,看能不能得出比第1号试验更好的结果,，从而确定出真正最好的试验方案。,综合评分法是将多指标的问题，通过加权计算总分的方法化成一个指标的问题，这样对结果的分析计算都比较方便、简单。但如何合理地评分，是最关键的问题。这一点只能依据实际经验来解决，单纯从数学上是无法解决的。,14,4.3 混合水平的正交试验设计,在实际情况中，有时做试验时，每个因素的水平数是不同的,混合水平,。两种解决方案。,4.3.1,混合水平正交试验设计,混合水平正交表就是各因素的水平数不完全相等的正交表。这种正交表有好多种。比如,L,8,（4,1,2,4,）,就是一个混合水平的正交表，如,表4,-10,所示。,其它混合水平的正交表还有很多，见附表所示，它们都有上面所说的两点。,例,4.4,某农科站进行品种试验，具体试验因素及水平如,表4,-11,所示。试验指标是产量，数值越大越好。试用混合正交表,安排试验，找出最好的试验方案。,15,例 4,.4,的 解,解 这个问题中有4个因素，1个是4水平的，3个是2水平的，正好可以选用混合正交表,L,8,（4,1,2,3,），,因素,A,为4水平，放在第1列，其余3个2水平的因素,B、C、D,顺序放在2、3、4列上，第5列不用。按这个方案进行试验，将得出的试验结果放在正交表的右边，然后进行分析，见,表4,-12,。,经分析得最佳方案为：,A,2,B,2,C,2,D,2,。,因为，从极差分析可知，因素,D,影响很小，这个方案,与第4号试验结果,A,2,B,2,C,2,D,1,很接近,，从试验 结果看出，第4号试验是8个试验中产量最高的，因此完全有理由取第4号试验作为最好的试验方案加以推广。,16,4.3.2,拟水平法,例,4.5,今有某一试验，试验指标只有一个，它的数值越小越好，这个试验有4个因素,A、B、C、D，,其中因素,C,是2水平的，其余3个因素都是3水平的，具体数值如,表4,-13,所示。试安排试验，并对试验结果进行分析，找出最好的试验方案。,解：4因素试验，,C,为2个水平，,A、B、D,为3个水平。没有合适的正交表。设想：假若,C,有3个水平，就变成4因素3水平的问题了。如何将,C,变成3水平的因素呢？从,C,中的1和2水平中选一个水平让它重复一次作为第3水平，这就叫虚拟水平。取哪一个水平作为第3水平呢？一般说，都是要根据实际经验，选取一个较好的水平。比如，如果认为第2水平比第1水平好，就选第2水平作为第3水平。这样因素水平,表4,-13,就变为表4,-14,的样子，它比,表4,-13,多了一个虚拟的第3水平。,17,例,4.5,的 解,这样就变成了一个4因素3水平的试验，可以按,L,9,（3,4,）,表安排试验，并对正交表进行重构，测出结果，并进行分析，见,表4,-15,所示。,从表4,-15,的极差可以看出，因素,D,对试验的影响最大，取第3水平最好；其次是因素,A，,取第3水平为好；再者是因素,B，,取第1水平为好；因素,C,影响最小，取第1水平为好。最优方案为：,A,3,B,1,D,3,C,1,。,这个方案在9个试验中没有。从试验结果看8号试验为最好。这个试验只有,B,不是处在最好情况，而因素,B,的影响是最小的。可以按这个方案再试验一次，看是否会得出比第8号试验更好的结果，从而确定出真正的最优方案。,18,4.4 有交互作用的正交试验设计,例,4.6,有4块试验田，土质情况基本一样，种植同样的作物。现将氮肥、磷肥采用不同的方式分别加在4块地里，收获后算出平均亩产，记在,表4,-16,中。,氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的总效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）,在多因素的试验中，交互作用影响的大小参照实际经验。如果确有把握认定交互作用的影响很小，就可以忽略不计；如果不能确认交互作用的影响很小，就应该通过试验分析交互作用的大小。,19,4.4.1,交互作用表,下面介绍交互作用表和它的用法，,表4,-17,就是正交表,L,8,（2,7,）,所对应的交互作用表。,P183,附表,4,中,，列出了几个交互作用的正交表。,正交表自由度的确定：,（1）每列的自由度,f,列,水平数1,（2）两因素交互作用的自由度,f,AB,f,A,f,B,（,两因素自由度的乘积）,对2因素2水平的正交表，因为：,f,A,f,B,21，,每列只有一个自由度；而,f,AB,f,A,f,B,111，所以也占一列。,20,4.4.1,交互作用表,对于2 因素3水平，,f,A,f,B,312，,每列有2个自由度；而,f,AB,f,A,f,B,224，由于交互作用列有4个自由度，而每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。,对于2因素,n,水平，,f,A,f,B,n1，,每列有,n,个自由度；,而两因素交互作用的自由度为：,f,AB,f,A,f,B,（,n1）（n1），,所以交互作用列要占（,n1）,列。,4.4.2,水平数相同的有交互作用的正交设计,例,4.7,某产品的产量取决于3个因素,A、B、C，,每个因素都有两个水平，具体数值如,表4,-18,所示。每两个因素都有交互作用，必须考虑。试验指标为产量，越高越好。试安排试验，并分析试验结果，找出最好的方案。,21,1,2,3,4,5,6,7,(1),3,2,5,4,7,6,(2),1,6,7,4,5,(3),7,6,5,4,(4),1,2,3,(5),3,2,(6),1,(7),表,417,列号（,）,列号,22,例,4.7,的解,解 这是3因素2水平的试验。3个因素,A、B、C,要占3列，它们之间的交互作用,AB、B C、A C,又各占3列，共占6列，可以用正交表,L,8,（2,7,）,来安排试验。若将,A、B,放在第1、2列，从,表4,-17,查出,AB,应在第3列，因此,C,就不能放在第3列，否则就要和,AB,混杂。现将,C,放在第4列，由,表4,-17,查出,A C,应在第5列，,B C,应在第6列。按这种安排进行试验。测出结果，用直观分析法进行分析，把交互作用当成新的因素看待。整个分析过程记录在,表4,-19,中。,最后要说明一点，在这里只考虑两列间的交互作用,AB、B C、A C，3,个因素的交互作用,ABC，,一般影响很小，这里不去考虑它。,23,4.5 正交表的构造法,从前面的内容可以看出，正交表的用处和好处。那么正交表是如何得来的呢？下面就介绍两种正交表的构造方法。,4.5.1,阿达玛矩阵法,4.5.1.1,阿达玛矩阵,阿阵 定义：以,1，1,为元素，并且任意两列都是正交的矩阵。,性质：,（1）每列元素个数都 是偶数；,（2）任意两列（两行）交换后，仍为阿阵；,（3）任意一列（或行）乘1以后，仍为阿阵。,标准阿阵：第一列全为1列（用对行乘1可得）。,阿方阵：行、列相等阿阵，偶阶方阵。,24,4.5.1.1,、阿达玛矩阵,n,阶阿阵记为,H,n,。,感兴趣：,第一列，第一行全为 1 的阿阵。例如：,直积构造高阶阿阵的方法：,定义：设两个2阶方阵,A、B,它们直积记为,AB，,定义如下：,25,4.5.1.1,、阿达玛矩阵,这是一个4阶方阵。,有下面两个定理：,定理,1,设2阶方阵,A、B,如果它们中的两列是正交的，则它们的直积,AB,的任意两列也是正交的。,定理,2,两个阿阵的直积是一个高阶阿阵。,据此，可以用简单的低阶阿阵，用求直积的方法得出高阶阿阵，例如有：,26,4.5.1.1,、阿达玛矩阵,依此类推有：,一个固定阶的阿阵并不是唯一的。比如：,都是2 阶阿阵,H,2,，,但我们最感兴趣的是第一个,标准阿阵,。,27,4.5.2,2个水平正交表的阿达玛矩阵法,有了第1列第1行全为1的标准阿阵，构造2水平的正交表就非常方便了。,（1）,L,4,（2,3,）,正交表的构造,取标准阿阵,H,4,如下：,将全1列去掉，得出：,28,4.5.1.2,、2个水平正交表的阿达玛矩阵法,将1 改写为2，按顺序配上列号、行号，就得到2水平正交表,L,4,（2,3,），,见,表4,-20,所示。,（2）,L,8,（2,7,）,正交表的构造法,取标准阿阵,H,8,如下：,29,4.5.1.2,、2个水平正交表的阿达玛矩阵法,去掉全 1 列；,将 1 改写为2，并按顺序配上列号、行号，就得到正交表,L,8,（2,7,），,见,表4,-21,。,总结：先取一个标准阿阵,H,n,，,去掉全1列，将1 列改写为2，,配上列号、行号，就得正交表,L,n,（2,n1,）。,上法只能构造 2 水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法来解决。,30,4.5.2,正交拉丁方的方法,4.5.2.1,拉丁方,定义：用,n,个不同的拉丁字母排成一个,n,阶方阵（,n26），,如,果每个字母在任一行、任一列中只出现一次，则称这种方,阵为,nn,拉丁方，简称为,n,阶拉丁方。,例如，用3个字母,A、B、C,可排成：,33 拉丁方,用4个字母,A、B、C、D,可排成：,44 拉丁方,这两个拉丁方不是唯一的。,31,4.5.2.1,、拉丁方,感性趣,正交拉丁方。,定义：设有两个同阶的拉丁方，如果对第一个拉丁方排列着相同字母的各个位置上，第二拉丁方在同样位置上排列着不同字母，则称这两个拉丁方为互相正交的拉丁方。,3阶拉丁方,与,是正交拉丁方。正交拉丁方只有两个。,32,四阶正交拉丁方,与,4阶拉丁方中，正交拉丁方只有3个；,5阶拉丁方中，正交拉丁方只有4个；,6阶拉丁方中，正交拉丁方只有5个；,数学上已经证明：,n,阶拉丁方的正交拉丁方个数为：（,n1）,个。,4.5.2.1,、拉丁方,33,4.5.2.1,、拉丁方,将字母拉丁方改写为数字拉丁方性质没有影响。比如 3 阶拉丁方可写为：,与,为正交拉丁方。,4.5.2.2,3水平正交表的构造,首先考虑两个 3 水平因素,A、B，,把它们所有水平搭配都写出来 3,2,9个，,按下面的方式排成两列,：,34,4,列,3,列,35,4.5.2.3,4水平正交表,因素,A、B,两个4水平的全排列 4,2,16个，构成,基本列,；,三个正交拉丁方，按1，2，3，4列分别按顺序排成1列，共3列，放在基本列右则，得5列16行矩阵。,得表4,-23,，为,L,16,（4,5,）,正交表,。,36,3,4,5,配 上 三 个 正 交 拉 丁 方,37,4.5.2.4,混合型正交表的构造法,混合型正交表可以由一般水平数相等的正交表通过“并列法”改造而成。举典型的例子加以说明。,例,4.8,混合型正交表,L,8,（42,4,）,的构造法。,解：,（1）先列出正交表,L,8,（2,7,），,见,表4,-24,。,（2）取出,表4,-24,中的1，2列，将数对（1，1）、（1，2）、,（2，1）、（2，,2,）与单数字1，2，3，4依次对应，作为,新表第1列。,（3）,去掉12的第3列,。交互作用。,（4）,4，5，6，7列左移，依次变为新表的2，3，4，5列,。,38,表4,-24 L,8,（2,7,）,正交表,其它正交表的构造法，与此法相同，不再赘述。,请自学,例,4.9,、例,4.10,39,4.6 正交试验设计的方差分析,本节用方差分析法对正交试验的结果作进一步的分析。,4.6.1,正交试验设计方差分析的步骤与格式,设用正交表安排,m,个因素的试验，试验总次数为,n,，试验结果分别为,x,1,，,x,2,，,，,x,n,。假定每个因素有,n,a,个水平，每个水平做,a,次试验。则,n,=,a n,a,，现分析下面几个问题。,(1),计算离差的平方和,a,总离差的平方和,S,T,b,各因素离差的平方和,S,因,c,试验误差的离差平方和,S,E,40,(2),计算自由度,(3),计算平均离差平方和,(,均方,),(4),求,F,比,(5),对因素进行显著性检验,41,4.6.2 3,水平正交设计的方差分析,例,4.11,为了提高产量，需要考虑3个因素：反应温度、反应压力和溶液浓度，每个因素都取3个水平，具体数值如,表4,-31,所示。考虑因素之间的所有一级交互作用，试进行方差分析，找出最好的工艺条件。,解：,所有一级交互作用：,AB、AC、BC；,自由度：,f,A,（,水平数,1）312,f,B,f,C,；,42,f,A,B,f,A,f,B,224,f,B,C,f,A,C,各占两列。,共有9列，选用正交表,L,27,（3,13,），,见,表4,-32,所示。,m,个因素的试验（,m9）；,试验次数（,n27）；,试验结果分别为：,x,1,，,x,2,，,x,k,，,x,n,；,每个因素有,n,a,个水平（,n,a,3）；,每个水平做,a,次试验（,a9），,则,nan,a,3 9 27。,1、计算离差平方和,（1）总离差平方和,S,T,记,（相当于例,4.11,产量的平均值）,43,记为：,S,T,反应了试验结果的总差异，它越大，结果之间差异越大。,两方面的原因：因素水平变化；试验误差。,（2）各因素离差的平方和,以因素,A,为例,S,A,，,用,x,ij,表示,A,的系,i,水平第,j,个试验结果（,i1，2，3，n,a,），（j1a）。,44,记为：,K,i,第,i,个水平,a,次试验结果的和。,45,用同样的方法可以计算其它因素的离差平方和。对两因素的交互作用，把它当成一个新的因素看待。如果交互作用占两列，则交互作用的离差平方和等于这两列的离差平方和之和。比如：,（3）试验误差的离差平方和,S,E,设,S,因+交,为所有因素以及要考虑的交互作用的离差平方和，,因为：,所以：,46,2、自由度计算,各因素自由度：,两因素交互作用的自由度：,试验误差自由度：,见表,4,-33,所示,47,3、计算平均离差平方和（均方）,MS,在计算各因素离差平方和时，我们知道，它们是若干项平方的和，它们的大小与项数有关，因此，不能确切地反映各因素的情况。为了消除项的影响，引入平均离差平方和：,见表4,-33,4、求,F,比,48,5、对因素进行显著性检验,给出检验水平,a,，,以,F,a,（,f,因,，,f,E,）,查（附表,3,）,F,分布表；,比较若,F,F,a,（,f,因,，,f,E,），,说明该因素对试验结果的影响显著。,F,F,0.01,（,f,因,，,f,E,）,影响高度显著，“”；,F,0.01,（,f,因,，,f,E,）,F,F,0.05,（,f,因,，,f,E,）,影响显著，“”；,F,F,0.05,（,f,因,，,f,E,）,影响不显著。,计算结果见,表4,-33,、表4,-34,所示,。,49,4.6.3 2,水平正交设计的方差分析,由于2水平正交设计比较简单，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。,2水平正交设计，各因素离差平方和为：,上式同样适用于交互作用项。,50,例,4.12,某厂生产水泥花砖,其抗压强度取决于,3,个因素：,A,水泥的含量，,B,水分，,C,添加剂，每个因素都有两个水平，具体数值如表,4-35,a,所示。每两个因素之间都有交互作用，必须考虑。试验指标为抗压强度,(,kg,/,cm,2,),分别为,66.2,，,74.3,，,73.0,，,76.4,，,70.2,，,75.0,，,62.3,，,71.2,越高越好。试安排试验，并用方差分析对试验结果进行分析，找出最好的方案。,解 列出正交表,L,8,（2,7,）,和试验结果见,表4,-35,。,说明：误差平方和,S,E,S,E,S,T,(S,因,S,交,),还可以用另一种算法计算,S,E,S,E,S,空列,S,7,列,9.68,方差分析见,表4,-36,。,51,4.6.4,混合型正交一表的方差分析,与一般水平相同，,注意各列水平数的差别！,说明：,试验结果,试验次数,每个水平试验次数,第,i,个水平试验结果的和,水平数,52,例,4.13,为提高某矿物的烧结质量,做下面配料试验,各因素及其水平如,表,4-38,所示，,(,单位：,t,),反映质量好坏的试验指标为含铁量,分别为,50.9,，,47.1,，,51.4,，,51.8,，,54.3,，,49.8,，,51.5,，,51.3,越高越好。试安排试验，并进行方差分析，找出最好的方案。,试验结果及计算列于,表4,-39,。,方差计算与分析列于,表4,-40,。,53,4.6.5,拟水平法的方差分析,与一般方法无本质性的区别，,在计算拟水平列时要注意各水平的重复次数不同,。,例,4.14,钢片在镀锌前要用酸洗的方法除锈。为了提高除锈效率，缩短酸洗时间，先安排酸洗试验。考察指标是酸洗时间。在除锈效果达到要求的情况下，酸洗时间越短越好。要考虑的因素及其水平如,表4,-41,所示。,解：选取正交表,L,9,（3,4,），,将因素,C,虚拟1个水平。据经验知，海鸥牌比,OP,牌的效果好，故虚拟第2水平（海鸥牌）安排在第1列，因素,B、A、D,依次安排在第2，3，4列，表已排满，进行试验，测试结果列于,表4,-42,右边。,方差计算与分析列于,表4,-43,、表4,-44,。,54,4.6.6,重复试验的方差分析,重复试验就是对每个试验号重复多次，这样能很好地估计试验误差，它的方差分析与无重复试验基本相同。但要注意几点：,（1）计算,K,1,，K,2,，,时，要用各号试验重复,r,次的数据之和；,（2）计算因素离差平方和时，公式中的“水平重复数,a,要改写为,“,ar,”。,每个水平试验次数,第,i,个水平试验结果的和,水平数,试验次数,重复试验次数,（3）总体试验误差平方和,S,E,由两部分构成：第一类误差，即空列误差,S,E,1,；,第二类误差即重复试验误差,S,E,2,。,55,S,E,S,E,1,S,E,2,，,自由度,f,E,f,E,1,f,E,2,，,S,E2,的计算公式为：,f,E,2,n,（,r,）,56,例,4.15,硅钢带取消空气退火工艺试验。空气退火能脱除一部分碳，但钢带表面会生成一层很厚的氧化皮，增加酸洗的困难欲取消这道工序，为此要做试验。试验指标是钢带的磁性，看一看取消空气退火工艺后钢带磁性有没有大的变化。本试验考虑2个因素每个因素2个水平，退火工艺,A，A,1,为进行空气退火，,A,2,为取消空气退火；成品厚度,B，B,1,：0.2mm，B,2,：0.35mm。,解：选用,L,4,（2,3,）,正交表安排试验，每个试验号重复5次，,试验结果与计算列于,表4,-45,。,方差分析与计算结果列于,表4,-46,。,57,4.6.7,重复取样的方差分析,重复试验增加了试验次数，这样会使试验费用增加，时间延长。如果试验得出的产品是多个，可以采用重复取样的方法来考察因素的影响。重复取样和重复试验在计算,S,T,、S,因,、,S,E,时，方法是一样的。但要注意的是：,重复取样误差反映的是产品的不均匀性与试样测量误差（称为局部试验误差）。一般说这种误差较小，应该说不能用它来检验各因素水平之间是否存在差异，但是如果符合下面两种情况，可以把重复取样得出的误差平方和,S,E2,作为试验误差。,（1）正交表的各列全部排满，无,S,E1,（,S,空列,）。用,S,E2,作为试验误差来检验各因素及交互作用。检验结果有一半左右的因素及交互作用的影响不显著，就可以认为这种检验是合理的。,58,（2）,S,E2,与,S,E1,相差不大，可以合并,S,E,=,S,E1,+,S,E2,。,何为“相差不大”呢？用,F,值检验：,由检验水平,a，,查 分布。,若,F,F,a,，,则,S,E1,与,S,E2,有显著差异，不能合并使用。,59,例,4.16,用粉煤灰和煤矸石作原料制造粉煤灰砖的试验研究。试验指标是干坯的扯断力（10,5,Pa）。,考虑3个因素，每个因素3个水平，具体参数水平如表4,-47,所示。,解：选用,L,8,（3,4,）,正交表做试验。每号试验生产出若干块干坯，采用重复取样的方法，每号试验取5块，测出结果列于,表4,-48,右边，进行计算分析，找出最优方案。方差分析与计算见,表4,-49,。,60,4.7 正交试验设计中的效应计算与指标的预估计,4.7.1,正交设计的数据结构,在正交设计中，若以,m,t,表示第,t,号试验各因素水平搭配所对应指标值,x,t,的总体真值，以,e,t,表示第,t,号试验的随机误差，则有：,这种数据结构称为,L,n,(m,k,),型正交表上安排试验的数学模型，由于各正交表的具体情况不同，数据结构的具体形式不同。下面对几个常用正交表，分别写出它们的数据结构式。,4.7.1.1 L,4,（2,3,）,表上的数据结构,为了方便，在,表4,-50,中列出正交表,L,4,（2,3,）。,61,假设安排两个因素,A、B。A,安排在第 1 列，,B,安排在第 2 列，根据各试验号因素水平的不同，数据结构的形式为：,x,1,=.,（1）,不考虑交互作用,其中：,数据结构式见,表4,-50,所示。,（2）考虑交互作用,AB,数据结构式见,表4,-50,所示。,62,表4,-50 L,4,（2,3,）,正交表及数据结构式,m,ij,表示在,A,i,、B,j,组合下指标值,x,t,的真值（理论值）。,a,i,为因素,A,在第,i,水平时的效应，,a,1,+,a,2,=0,;,b,i,为因素,B,在第,i,水平时的效应，,b,1,+,b,2,=0,。,其中：(,ab,),ij,为,A,i,、B,j,组合下交互作用的效应。,(,ab),11,+,(,ab,),12,=0，(,ab),21,+,(,ab,),22,=0。,63,4.7.1.2 L,8,（2,7,）,表上的数据结构,安排4个2水平因素,A、B、C、D。,（1）,不考虑交互作用,数据结构式见,表4,-51,所示。,（2）考虑交互作用,A、B、C、D,分别在1、2、3、7列，两交互作用列应在3、5、6列，以,AB,为例，其余情况类似。见,表4,-51,所示。,4.7.1.3,L,9,（3,4,）,表上的数据结构,先列出正交表,L,9,（3,4,）,，如,表4,-52,所示。,(1)不考虑交互作用,假设安排3个因素,A、B、C，,分别安排在第1、2、3列，数据结构式,见表4,-52,所示。,64,表4,-51 L,8,(2,7,),正交表及数据结构式,a,1,+,a,2,=0，,b,1,+,b,2,=0，,c,1,+,c,2,=0，,d,1,+,d,2,=0。,65,表4,-52 L,9,(3,4,),正交表及数据结构式,66,(2)考虑交互作用,因素,A、B，L,9,（3,4,）,正交表的任意两列间的交互作用为另外两列，将,A、B,安排在1、2列，则,AB,占3、4两列。数据结构式见,表4,-52,。,67,4.7.2,正交设计中的效应计算,由下式：,x,t,=,m,t,+,e,t,，t=,1，2，3，.，n.,e,t,是随机误差，我们要对,m,t,作出估计，即求出,m,t,的估计值 ，使得满足：,由,L,4,（2,3,）,正交表上的数据结构式,，得残差平方和为：,68,得出,记为：,由于,a,1,+a,2,=,0，,b,1,+b,2,=,0，,(ab),11,+(ab),21,=,0，,(ab),12,+(ab),22,=,0,为了使,S,达到最小,采用最小二乘法，求,m,t,的估计值 ，就是求,m，,a,i,，b,j,，(ab),ij,的估计值 。,69,所以：,记为：,由于,b,1,+b,2,=,0，,(ab),11,+(ab),12,=,0,A,因素第一水平指标平均值。,同,理,对应水平的指标平均值。,70,所以：,记为：,同,理,对应因素水平搭配的指标平均值。,A,1,B,1,水平搭配的指标平均值。,71,对应因素水平搭配的指标平均值。,采用相同的方法，其它的正交表有一般的效应计算公式：,各因素水平的指标平均值。,72,4.7.3,最优方案下指标值（理论值）的预估计,在正交设计中，无论是用一般计算还是用效应计算分析法，都能确定最优方案。如果正交表中正好有这个最优方案，则在这个方案下的指标值已通过试验得出。如果正交表中没有这个最优方案，可以按这个方案再试验一次得出最优指标值。若不通过试验，由理论分析能否对最优方案的指标值作出合理的估计呢？,例,4.17,求,例,4.12,中各因素及交互作用效应的估计值.,解:参看,表4,-53,。,各效应值的计算与分析见,表4,-53,所示。,回答是肯定的：,对指标值既能作出点估计又能作出区间估计,。,73,下面以一个实例，并且利用微软公司的,Excel,电子表格软件，对正交试验设计与数据处理的直观分析法（包括直观分析图）、方差分析法、效应分析法三种方法，进行一个综合性的计算分析说明，学会用计算机来进行数据处理与分析。,例,4.18,某农药厂生产某种农药，指标是农药的收率，显然是越大越好。据经验知，影响农药收率的因素有,4,个，每个因素都是两水平的，具体参数见,表,4-54,a,所示。考虑,A,、,B,的交互作用。选用正交表,L,8,（,2,7,）安排试验，按试验号依次进行试验。得出试验结果分别为（,%,）：,86,、,95,、,91,、,94,、,91,、,96,、,83,、,88,。试进行直观、方差及效应分析。,74,解,:,1),打开电子表格,2,）,选用,L,8,（,2,7,）正交表，从第,A,列第,2,行的单元格,A2,开始输入,L,8,（,2,7,）正交表,，将,sheet1,重命名为,L,8,（,2,7,）正交表。,3,）,直观分析（包括直观分析图的制作过程）的计算过程,4,）,方差分析的计算过程,5,）,效应分析的计算过程,75,此时效应的数学模型为：,最优方案下指标值的点估计计算如下：,在进行最优方案下指标值的点估计时，应只考虑显著性因素的效应，,不显著因素的效应值应忽略不计并入误差项,。,最优方案下的指标值的点估计式为：,76,忽略不显著因素,A,、,B,、,D,的效应值,下面对工程平均值 进行区间估计。,77,对于正交设计：,78,79,将因素,A,、,B,、,D,的离差平方和并入误差项得：,合并后的误差自由度为：,合并后的误差均方为：,80,显著因素为,C,和,A,B,，自由度之和为,1+1=2,，总试验次数为,8,，所以：,由,81,所以,因为指标值是百分数，所以上限值不会超过,100,。,82,正交试验总结,1、解决多因素、多水平试验是确有成效的。,2、用正交表进行试验设计，各因素各水平搭配是均衡的，试验次数不多，但有较强的代表性。用直观分析法、方差分析法和效应分析法都能分析出各因素对试