资源描述
22．1 一元二次方程
【知识与技能】
1．理解一元二次方程的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，能分清一元二次方程的二次项及系数、一次项及系数、常数项．
【过程与方法】
通过观察，归纳一元二次方程的概念。
【情感态度】
进一步感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．
【教学重点】
一元二次方程概念及其一般形式．
【教学难点】
正确认识一元二次方程中二次项系数、一次项系数，常数项和列一元二次方程．
一、创设情境，导入新知
1．什么叫整式方程？什么样的方程叫一元二次方程？试举例说明．
2．根据下列问题，设未知数列方程．
(1)一个正方形的面积的2倍等于31，求这个正方形的边长；
(2)一个数比另一个数小3，且两数之积为10，求这个数；
(3)绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900 m2的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
(4)学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率．
要求：学生完成，若设所求的量或数为x，可得如下方程：
(1)2x2＝31；(2)x(x＋3)＝10；(3)x(x＋10)＝900(设宽x米)；(4)5(1＋x)2＝7.2.
在学生完成后，教师将上述方程改写为：
(1)2x2－31＝0；(2)x2＋3x－10＝0；(3)x2＋10x－900＝0；(4)5x2＋10x－2.2＝0.
二、合作探究，理解新知
问题1：在复习引入中，所得的四个方程有哪些共同特点？
(学生分组讨论，然后各组交流)
(1)都是整式方程；(2)只含一个未知数；(3)含未知数项的最高次数是2.
从而推导出一元二次方程的定义，得出一元二次方程的一般形式．
定义：上述整式方程中都只含有一个未知数，并且含未知数项的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
问题2：下列方程都是整式方程吗？其中哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程？
(1)3x＋2＝5x－3；(2)x2＝4；(3)(x－1)(x－2)＝x2＋8；(4)(x＋3)(3x－4)＝(x＋2)2；(5)()2＋－2＝0；(6)x2＋2x＋y－1＝0；(7)x4＋2x2－3＝0；(8)x3＋2x＝x(x2＋x)＋3.
(除方程(5)外都是整式方程，其中(1)、(3)是一元一次方程；(2)、(4)、(8)是一元二次方程．)
【教学说明】通过一元二次方程与一元一次方程的比较，加深学生对整式方程的认识，使学生深刻理解一元二次方程的定义，从而准确地判定一个方程是否是一元二次方程．
问题3：为什么在一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0中，二次项的系数a≠0?
【教学说明】方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，必须具备a≠0的条件．如果所研究的问题中，明确指出方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则它隐含了条件a≠0.若没有特别说明，方程ax2＋bx＋c＝0既可能是一元二次方程(当a≠0时)，也有可能是一元一次方程(当a＝0且b≠0时)．可通过具体例子加以强调．
例题讲解
例1：把方程3x(x－1)＝2(x＋2)＋8化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝2x＋4＋8，
化简，得3x2－5x－12＝0.
二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－12.
【教学说明】通过例题的讲解，让学生明确一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)具有的两个特征：一是方程右边为0；二是左边的二次项系数不能为0.此外二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的，不同的一元二次方程的差异实质上是系数的差异，从而能正确地找出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．但同一个一元二次方程写出的一般形式可能不同(只是符号不同)，一般我们写二次项的系数为正的那个．
三、尝试练习，掌握新知
1．下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由．
(1)3x＋2＝x2；(2)＋y＝5；(3)y2＋2x－3＝0；(4)x2－2 x＋4＝0；(5)＋y＋3＝0；(6)y2＋3y＝4－(y－1)2；(7)px2＋qx＋m＝0(p≠0)．
2．教材第19页练习．
3．写出下列一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)abx2＋cx＋d＝0(ab≠0)；
(2)(m－n)x2＋m＋n＝0(m≠n)．
4．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
拓展应用
1．例题讲解：
例2：方程(2a－4)x2－2bx＋a＝0，在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
本题先由同学讨论，再由老师归纳．
解：当a≠2时是一元二次方程；当a＝2，b≠0时是一元一次方程．
例3：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m.
分析：一根为2即x＝2，只需把x＝2代入原方程．
解：将x＝2代入原方程，得4(m－1)＋6－5m＋4＝0，解得m＝6.
2．练习：
(1)判断下列方程后面所给出的数，哪些是方程的解：
①2x(x＋1)＝4(x＋1) ±1， ±2；
②x2＋2x－8＝0 ±2， ±4.
(2)已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋3x＋m2－4＝0有一个解是0，求m的值．
(3)已知关于x的方程(k－2)x2－kx＝x2－1.
问：①当k为何值时，方程为一元二次方程？
②当k为何值时，方程为一元一次方程？
四、课堂小结，梳理新知
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
1．教材习题22.1第1、2题．
2．补充作业(选做)
(1)一元二次方程2x2＋4x－1＝0的二次项系数、一次项系数及常数项之和为______．
(2)试判断关于x的方程x2－kx(2x－k＋1)＝x是不是一元二次方程，如果是，指出其二次项系数、一次项系数及常数项．
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