经济数学基础期末复习资料及重难点.doc

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1、 经济数学基础 期末复习指导及资料
2、 期末复习指导
《经济数学基础》应考指导
一、 考前复习
认真复习文字教材的基本内容; 认真完成教材练习以及形成性考核作业册。
二、 考前准备
及时阅读下载课程辅导资料; 充分利用现代信息技术, 及时答疑。
三、 考试方法
( 一) 一般考试方法
1. 头脑清醒, 情绪平稳
考试是一种高强度高难度的脑力劳动。因此, 一定要在考试过程中保持健康的身体、 清醒的头脑, 考前要休息好。考试是一种静思、 沉思而且紧张的思维活动, 不宜太激动太惧怕太紧张, 需要保持一种平稳的心态, 使答题过程达到并保持最佳的思维状态, 才有可能获得自己水平甚至超水平的充分发挥。
2. 按序做题, 先易后难
考试试题有难有易, 难易兼顾, 既有理论、 知识的理解、 记忆, 又有理论、 知识的分析、 综合、 推理等运用, 整个试题的排列顺序一般是先易后难、 由低分到高分。考生不必把试题通读一遍后再答题, 直接按试题排列顺序的先后答题就能够。因为通读一遍, 既浪费时间, 又会遇到一些难题而引起不必要的惊慌。假如在本该容易答的前面试题中遇到一些不会答的试题, 也不要紧张, 把一下不会答的试题留下, 继续往后做对自己来说容易的试题, 返回来再做, 可能就会答了。
3. 审题仔细, 务求准确
审题是答题的前提, 审题不准不全就会答错答偏, 审题差之毫厘, 答题就会谬之千里。
4. 胸中有数, 对号入座
所谓胸中有数, 就是考生在考前对基本理论、 基本知识的重点内容有一个全面的、 系统的理解和记忆, 审题时把试题输入大脑, 同已储存的知识信息相联系, 进而判断试题所考的范围与要求, 最后给出正确的答案。只有胸中有数, 才能实现对号入座。
5. 准确全面, 防漏防偏
选择题又称客观性试题, 答案是确定的, 不论谁答谁改标准都一样, 多选、 少选、 错选都不给分。因此, 回答此类题要求准确无误。选择题之外的试题, 称之为主观性试题, 从参考答案到答卷、 改卷都会发生差别, 主观性很强。因此, 回答此类问题要求紧贴题意, 不要以偏概全, 而要以全盖偏, 即方面全、 点点全, 而不在多。
6. 不留空白, 以全盖偏
所谓不留空白, 是指不论是对主观性试题还是对客观性试题都要回答, 即使没有把握答对也要答, 因为不答就没有分, 答错也不倒扣分, 而答对了或对主观性试题答对了一部分都会有分。
7. 思考要点, 边想边答
这一方法是对主观性试题而言的, 不必打草稿就往答卷上写, 只要要点回答出来, 其顺序是无关紧要的, 一般改卷大都是踩点给分。这样的答法能够节省时间。
8. 字迹清楚, 词要达意
这是对回答主观性试题的要求。有些考生答题字写得既潦草又不整齐, 且用词不当, 给改卷者以不好的印象, 肯定要被扣分。相反, 字迹清楚整齐, 用词恰当, 表示清楚, 就可能被加分。
9. 层次分明, 合乎逻辑
这是对回答主观性试题的要求。考生回答问题时要按照试题要求的顺序逐点回答, 可分出(1)(2)(3)……, 不要东拉西扯, 颠三倒四。
10. 稍息后查, 不急交卷
试卷答完后, 为了防止思维定势, 不要立即就查, 待休息一下再复查, 可能能查出不妥之处。有的考生为了显示能耐, 考试时间未到就急于交卷, 这是不必要的。
(二) 不同类型试题的答法
1. 选择题
选择题主要考核基本知识点。做选择题有下列常见方法:
(1)正选法(顺选法)
试题的题干(即问题)明白,就能够直接从题肢即备选项中选出正确答案,其它选项就不必考虑。这种方法最适用于直接性试题,这种试题考查基本概念、 基本性质与知识的理解和记忆,大多数单项选择题属于这种性质的试题。
(2)逆选法(排谬法)
逆选法是将错误答案排除的方法。遇到从题干上直接看不出正确答案的试题就需要正选法、 逆选法并用。
(3)比较法(蒙猜法)
这种方法是没有办法的办法,在有一定知识基础上的蒙猜也是一种方法。
在做题过程的一般情况下是三种方法综合使用,对试题的性质不同(即是正面出题还是反面出题),其答题的特点不同。
2. 计算题
计算题主要考核重要知识点, 答题时要结合平时所学的计算方法以及重要的公式, 比较分析之后使用正确的方法解题。
3. 应用题
应用题是要求考生结合所学知识和原理解决一个实际问题。做这类题目应遵循以下思路:
(1) 首先必须审题, 找出有几问。
(2) 把问题归纳到所学知识点上。
(3) 分解回答问题, 按试题的情况分步进行。

《经济数学基础》考核说明
一、 考核方法
本课程的最终成绩由两部分组成, 一是形成性考核, 二是课程期末考核。
形考考核形式比例( ％)
平时成绩占总成绩比例
期末考试占课程总成绩比例
考试形式
平时作业
小组学习
网上学习
笔试
60
20
20
30
70
闭卷
形成性考核平时作业使用中央电大下发的作业本。形成性考核作业册安排4次记分作业, 均按百分制统计成绩, 形成性考核作业册的总成绩乘以30%得到平时成绩。期末考试成绩乘以70%+平时成绩=最终成绩。
(1)形成性考核: 由平时作业成绩构成, 根据教学进度, 每学期学生应完成作业题目的三分之二以上。辅导教师(或责任教师)根据作业完成情况和质量, 对作业进行评分。作为学生结业考核成绩的一部分。
(2) 课程终结考试:
考核要求分为三个不同层次: 有关定义、 定理、 性质和特征等概念的内容由低到高分为”知道、 了解、 理解”三个层次; 有关计算、 解法、 公式和法则等内容由低到高分为”会、 掌握、 熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为: 2:3:5。试题按其难度分为容易题、 中等题和较难题, 其分值在期末试卷中的比例为: 4:4:2。
形式为闭卷, 笔答, 满分为100分, 由中央电大统一命题, 在同一时间全国统考。考试时间总共为90分钟。试题类型分别为: 单项选择题5题×3分＝15, 填空题5×3＝15, 微积分计算题2×10＝20, 线性代数计算题2×15＝30和应用题1×20＝20。关于题型的解答要求: 单项选择题的形式为四选一, 即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案; 填空题只要求直接填写结果, 不必写出计算过程和推理过程; 计算题、 应用题要求写出文字说明、 演算步骤或推证过程。
考试时不得携带除书写用具以外的任何其它用具。
二、 考核内容与考核要求
第( 一) 部分 微分学
第一章 函数
　　考核内容:
函数的概念, 函数的奇偶性, 复合函数, 经济分析中的几个常见函数。
　　考核要求:
　　⑴理解函数概念, 掌握函数的两要素¾¾定义域和对应关系, 会判断两函数是否相同;
　　⑵掌握求函数定义域的方法, 会求初等函数的定义域和函数值;
　　⑶掌握函数奇偶性的判别;
　　⑷了解复合函数概念, 会对复合函数进行分解;
　　⑺了解需求、 供给、 成本、 平均成本、 收入和利润函数的概念;
　　⑻会列简单应用问题的函数表示式．
第二章 导数与微分
　　考核内容:
导数的定义、 导数基本公式和导数的四则运算法则、 复合函数求导法则、 高阶导数、 微分的概念及运算法则。
　　考核要求:
　　⑹熟练掌握导数基本公式、 导数的四则运算法则、 复合函数求导法则, 掌握求简单的隐函数导数的方法;
　　⑺知道微分的概念, 会求函数的微分;
　　⑻知道高阶导数概念, 会求函数的二阶导数．
第三章 导数应用
　　考核内容:
导数在经济中的应用〔边际分析, 需求弹性, 平均成本最小, 收入、 利润最大〕。
　　考核要求:
　　⑶会计算需求弹性;
　　⑷熟练掌握求经济分析中的应用问题( 如平均成本最低、 收入最大和利润最大等) ．
第( 二) 部分 积分学
第一章 不定积分
　　考核内容:
原函数和不定积分概念、 积分的性质、 积分基本公式、 直接积分法、 第一换元积分法、 分部积分法。
　　考核要求:
　　⑴理解原函数与不定积分概念, 知道不定积分与导数( 微分) 之间的关系;
　　⑵熟练掌握积分基本公式和直接积分法;
　　⑶掌握不定积分的第一换元积分法( 凑微分法) ;
　　⑷掌握不定积分的分部积分法, 会求被积函数是以下类型的不定积分:
　　①幂函数与指数函数相乘,
　　②幂函数与对数函数相乘,
　　③幂函数与正( 余) 弦函数相乘;
第二章 定积分
　　考核内容:
定积分概念、 定积分性质、 牛顿--莱布尼兹公式, 第一换元积分法、 分部积分法、 无穷限积分。
　　考核要求:
　　⑴了解定积分概念, 掌握牛顿¾¾莱布尼兹公式;
　　⑵掌握定积分的第一换元积分法( 凑微分法) ;
　　⑶掌握定积分的分部积分法, 会求被积函数是以下类型的定积分:
　　①幂函数与指数函数相乘,
　　②幂函数与对数函数相乘,
　　③幂函数与正( 余) 弦函数相乘．
　　⑷知道无穷限积分的收敛概念, 会求简单的无穷限积分．
第三章 积分应用
　　考核内容:
不定积分和定积分的经济应用——成本, 收入, 利润。
　　考核要求:
　　⑵熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、 收入函数和利润函数或其增量的方法。
第( 三) 部分 线性代数 36学时
第二章 矩阵
　　考核内容:
矩阵概念、 特殊矩阵。矩阵的加法、 数乘、 乘法、 转置。逆矩阵的定义、 性质, 初等行变换法求逆矩阵。矩阵秩的概念, 矩阵秩的求法。
　　考核要求:
　　⑴了解矩阵和矩阵相等的概念;
　　⑵熟练掌握矩阵的加法、 数乘、 乘法和转置等运算, 掌握这几种运算的有关性质;
　　⑶了解单位矩阵、 数量矩阵、 对角矩阵、 和对称矩阵的定义和性质．
　　⑷理解矩阵可逆与逆矩阵概念;
　　⑸了解矩阵秩的概念;
　　⑹理解矩阵初等行变换的概念, 熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵, 熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、 逆矩阵．
第三章 线性方程组
　　考核内容:
线性方程组、 消元法、 线性方程组有解判定定理、 线性方程组解的表示。
　　考核要求:
　　⑴了解线性方程组的有关概念: n元线性方程组、 线性方程组的矩阵表示、 系数矩阵、 增广矩阵、 一般解;
　　⑵理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理;
　　⑶熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解．

试卷代号: 座位号
中央广播电视大学 — 第二学期”开放专科”期末考试
会计等专业 经济数学基础 考题
7月

一、 单项选择题( 每小题3分, 本题共15分)
1．下列各函数对中, ( ) 中的两个函数相等．
A．, B．,
C．, D．,
2．下列函数在区间上单调增加的是( 　 ) .
　　 A. 　 B. 　C. 　　　 D.
3．若是的一个原函数, 则下列等式成立的是( 　 ) .
A． B．
C． D．
4．设, 为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是( 　 ) .
A． B．
C． D．
5．设线性方程组有唯一解, 则线性方程组的解的情况是( ) ．
A．只有零解 B．有非零解
C．解不能确定 D．无解
二、 填空题( 每小题3分, 本题共15分)
1．函数的图形关于________________对称．
2．曲线在处的切线斜率是　　　 ．
3．___________．
4．两个矩阵、 既可相加又可相乘的充分必要条件是__________．
5．线性方程组有解的充分必要条件是___________．
三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
1．设, 求．
2．计算
四、 代数计算题( 每小题15分, 共30分)
1．设, 其中A =, B =, 求．
2．当取何值时, 线性方程组有解, 在有解的情况下求方程组的一般解．
五、 应用题( 本题20分)
某厂生产某种产品q千件时的总成本函数为(万元), 单位销售价格为q=8－2q (万元/千件), 试求( 1) 产量为多少时可使利润达到最大? ( 2) 最大利润是多少?

试卷代号: 座位号
中央广播电视大学 — 第二学期”开放专科”期末考试
会计等专业 经济数学基础 考题
答案及评分标准
( 供参考)
7月

一、 单项选择题( 每小题3分, 本题共15分)
1．C 2．C 3．B 4．D 5．A
二、 填空题( 每小题3分, 本题共15分)
1．坐标原点
2．－1
3．0
4．A、 B为同阶矩阵
5．
三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
1．解
2．解
四、 代数计算题( 每小题15分, 共30分)
1．解: 利用初等行变换得

即
由矩阵乘法和转置运算得

2．解: 将方程组的增广矩阵化为阶梯型

由此可知当时, 方程组有解, 此时方程组化为

故方程组的一般解为:
( 是自由未知量)
五、 应用题( 本题20分)
解: ( 1) 由已知得

利润函数

从而有

令 , 解出唯一驻点q = 1是利润函数的最大值点, 因此当产量为1千件时, 可使利润达到最大。
( 2) 最大利润为
(万元)

试卷代号: 座位号
中央广播电视大学 — 第一学期”开放专科”期末考试
会计等专业 经济数学基础 考题
1月

一、 单项选择题( 每小题3分, 本题共15分)
1．已知, 当x( ) 时, 为无穷小量．
A． B． C． D．
2．下列函数在区间上是单调下降的是( 　 ) .
　　 A. 　 B. 　 C. 　 　 　 D.
3． 下列函数中, ( 　 ) 是的原函数.
　 A. B. 　C. 　 D.
4．设为同阶方阵, 则下列命题正确的是( ) .
　　 A.若, 则必有或　
　 B.若, 则必有,
　　 C.若秩,秩, 则秩
D.
5．若线性方程组的增广矩阵为, 则当( ) 时线性方程组有无穷多解。
A．1 B．4 C．2 D．
二、 填空题( 每小题3分, 本题共15分)
1．已知, 则________________．
2．已知, 则　　　 ．
3． ___________．
4．设, 当__________时, A是对称矩阵．
5．齐次线性方程组( 为矩阵) 只有零解的充分必要条件是_________．
三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
1．设, 求．
2．计算
四、 线性代数计算题( 每小题15分, 共30分)
1．设矩阵 A =, I 是3阶单位矩阵, 求．
2．求当取何值时, 齐次线性方程组有解, 并求出一般解．
五、 应用题( 本题20分)
已知生产某产品的边际成本函数为(万元/百台), 收入函数为(万元)。求使利润达到最大时的产量, 如果在利润最大时的产量的基础上再增加生产2百台, 利润会发生什么变化?
试卷代号: 座位号
中央广播电视大学 — 第一学期”开放专科”期末考试
会计等专业 经济数学基础 考题
答案及评分标准
( 供参考)
1月

一、 单项选择题( 每小题3分, 本题共15分)
1．A 2．D 3．B 4．B 5．D
二、 填空题( 每小题3分, 本题共15分)
1．
2．0
3．4
4．
5．－5
三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
1．解

2．解
四、 代数计算题( 每小题15分, 共30分)
1．解

2．解: 将方程组的系数矩阵化为阶梯型
当时, 方程组有非零解, 且方程组的一般解为:
( 是自由未知量)
五、 应用题( 本题20分)
解: ( 1) 边际利润为

令, 得 q =3, 能够验证q =3为利润的最大值点。因此, 当产量为3百台时利润最大。
( 2) 当产量由3百台增至5百台时, 利润改变量为
(万元)
即利润将减少4万元。

经济数学基础08秋模拟试题(一)

一、 单项选择题( 每小题3分, 共15分)
1．若函数, 则( )．
A．-2 B．-1 C．-1.5 D．1.5
2．曲线在点( 0, 1) 处的切线斜率为( ) ．
A． B． C． D．
3．下列积分值为0的是( ) ．
A． B．
C． D．
4．设, , 是单位矩阵, 则＝( ) ．
A． B． C． D．
5. 当条件( ) 成立时, 元线性方程组有解．
A. B. C. D.

二、 填空题( 每小题3分, 共15分)
6．如果函数对任意x1, x2, 当x1 < x2时, 有 , 则称是单调减少的.
7．已知, 当 时, 为无穷小量．
8．若, 则= .
9. 设均为n阶矩阵, 其中可逆, 则矩阵方程的解　　　　　　　．
10．设齐次线性方程组, 且 = r < n, 则其一般解中的自由未知量的个数等于 ．

三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
11．设, 求.
12．．

四、 线性代数计算题( 每小题15分, 共30分)
13．设矩阵 , , , 计算．
14．当取何值时, 线性方程组 有解? 并求一般解．

五、 应用题( 本题20分)
15． 某厂每天生产某种产品件的成本函数为( 元) .为使平均成本最低, 每天产量应为多少? 此时, 每件产品平均成本为多少?
经济数学基础08秋模拟试题(一)
参考答案

一、 单项选择题( 每小题3分, 共15分)
1．A 2. B 3. C 4. A 5. D
二、 填空题( 每小题3分, 共15分)
6. 7. 8. 9. 10．n – r
三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
11．解: 因为 =
因此 = = 0
12．解: =
=

四、 线性代数计算题( 每小题15分, 共30分)
13．解: 因为 =
= =
且 =
因此 =2
14．解 因为增广矩阵

因此, 当=0时, 线性方程组有无穷多解, 且一般解为:
是自由未知量〕
五、 应用题( 本题20分)
15．解: 因为 == ( )
==
令=0, 即=0, 得=140, = -140( 舍去) .
=140是在其定义域内的唯一驻点, 且该问题确实存在最小值.
因此=140是平均成本函数的最小值点, 即为使平均成本最低, 每天产量应为140件.
此时的平均成本为
==176 ( 元/件)

经济数学基础08秋模拟试题(二)

一、 单项选择题( 每小题3分, 共15分)
1．下列函数中为偶函数的是( ) ．
A． B．
C． D．
2．函数的连续区间是( ) ．
A． B． C． D．
3．设, 则=( ) ．
A． B． C． D．
4. 设为同阶方阵, 则下列命题正确的是( ) .
　　A.若, 则必有或　
　 B.若, 则必有,
　　C.若秩,秩, 则秩
D.
5．设线性方程组有惟一解, 则相应的齐次方程组( ) ．
A．无解 B．只有0解 C．有非0解 D．解不能确定

二、 填空题( 每小题3分, 共15分)
6．函数的定义域是　　 　　　　.
7．过曲线上的一点( 0, 1) 的切线方程为 ．
8．=　　　 　．
9．设, 当　　 　 　 时, 是对称矩阵.
10．线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当=　 　时, 方程组有无穷多解.

三、 微积分计算题( 每小题10分, 共20分)
11．设, 求．
12．

四、 代数计算题( 每小题15分, 共30分)
13．设矩阵, 求．
14．求线性方程组的一般解．

五、 应用题( 20分)
15．已知某产品的销售价格( 单位: 元／件) 是销量( 单位: 件) 的函数, 而总成本为( 单位: 元) , 假设生产的产品全部售出, 求产量为多少时, 利润最大? 最大利润是多少?
经济数学基础08秋模拟试题(二)
参考答案

二、 单项选择题( 每小题3分, 共15分)
1．D 2. A 3. C 4. B 5. B
二、 填空题( 每小题3分, 共15分)
6. 7. 8. 9. 0 10．-1
三、 微分计算题( 每小题10分, 共20分)
11． 解: 因为
因此
12．解: =
==
四、 代数计算题( 每小题15分, 共30分)
13．解: 因为

即　　　　　　　　 　　
因此　　
14．解: 因为系数矩阵

因此一般解为 ( 其中, 是自由未知量)
五、 应用题( 20分)
15．解: 由已知条件可得收入函数
利润函数

求导得
令得, 它是唯一的极大值点, 因此是最大值点．
此时最大利润为
即产量为300件时利润最大．最大利润是43500元．

经济数学典型试题
第一章典型例题
例1 求函数的定义域。
解 的定义域是, 的定义域是, 但由于在分母上, 因此。故函数的定义域就是上述函数定义域的公共部分, 即1<x<2。
例2 设 , 求。
解 由于, 说明表示运算: , 因此
＝
再将代入, 得
=
例3 下列函数中, 哪两个函数是相等的函数:
A.与
B. 与
解 A中的两个函数定义域相同, 对应规则也相同, 故它们是相等的函数; B中的两个函数定义域不同, 故它们是不相等的函数。
例5 下列函数中, ( ) 是偶函数。
A. B.
C. D.
解 根据偶函数的定义以及奇函数×奇函数是偶函数的原则, 能够验证A中和都是奇函数, 故它们的乘积是偶函数, 因此A正确。既然是单选题, A已经正确, 那么其它的选项一定是错误的。故正确选项是A。
例6 将复合函数分解成简单函数。
解 。
例7 生产某种产品的固定成本为1万元, 每生产一个该产品所需费用为20元, 若该产品出售的单价为30元, 试求:
（1） 生产件该种产品的总成本和平均成本;
（2） 售出件该种产品的总收入;
（3） 若生产的产品都能够售出, 则生产件该种产品的利润是多少?
解 ( 1) 生产件该种产品的总成本为
;
平均成本为
。
( 2) 售出件该种产品的总收入为。
( 3) 生产件该种产品的利润为

==.

第二章典型例题

例9 曲线在点( 1, 0) 处的切线是( )
A. B. C. D.
解 根据导数的几何意义可知,

是曲线在点( 1, 0) 处的切线斜率, 故切线方程是
, 即
故正确的选项是A。
例10 函数在点x0=16处的导数值( ) 。
解 因为,
因此。
例11 求下列导数或微分:
( 1) 设, 求;
( 2) 设,求y¢;
( 3) 设函数由方程确定, 求;
( 4) 设,求。
解 ( 1) 利用导数乘法法则

( 2)
=
( 3) 两边对x求导得:

整理得
( 4)

例12 已知y=, 则=( )
A. B. C. D. 6
解 直接利用导数的公式计算:
,
故正确的选项是B。
例13 已知函数y=f(x)的微分dy=2xdx, 则y²=( )。
A. 0 B. 2x C. 2 D. x2
解 由于函数y=f(x)的微分为dy=2xdx,故, 于是y²＝2, 故正确的选项是C。
例14 ( ) 。
A. B. C. D.
解 根据复合函数求导法则, 得

故正确选项应是A。
例15 若可导且, 则下列不等式不正确的是( )。
A. B.
C. D.
解 首先要注意, 这里要选择的是不正确的式子。先看A: 根据复合函数的求导法则可知

故A不正确。因此正确的选项是A。
第三章典型例题
例1在指定区间[－10, 10]内, 函数( ) 是单调增加的。
A. B. C. D.
解 这个题目主要考察同学们对基本初等函数图形的掌握情况。因它们都是比较简单的函数, 从图形上就比较容易看出它们的单调性。
A中是正弦函数, 它的图形在指定区间[－10, 10]内是波浪形的, 因此不是单调增加函数。
B中是指数函数, (=－<0, 故它是单调减少函数。
C中是幂函数, 它在指定区间[－10, 10]内的图形是抛物线, 因此不是单调增加函数。
根据排除法可知正确答案应是D。也能够用求导数的方法验证: 因为在指定区间[－10, 10]内, 有

故是单调增加函数。正确的选项是D。
例2 函数的单调增加区间是( ) 。
解 用求导数的方法, 因为

令则, 则函数的单调增加区间是。
例3 函数的驻点是　　 　 　.
解 根据驻点定义, 令, 得。
应该填写
例5 已知需求函数为, 则需求弹性= .
解 因为 , 且
=
因此应该填写
例6 已知需求函数, 当时, 需求弹性为( ) ．
A． B． C． D．
解 因为 , 且
=

故正确选项是C
例7 设生产某种产品台时的边际成本( 元/台) , 边际收入为 试求获得最大利润时的产量。
解 这是一个求最值的问题。
=
=
令, 求得唯一驻点。因为驻点唯一, 且利润存在着最大值, 因此当产量为 时, 可使利润达到最大。
例8 设某产品的成本函数为
( 万元)
其中q是产量, 单位: 台。求使平均成本最小的产量。并求最小平均成本是多少?
解 平均成本

解得q1=50( 台) , q2=－50( 舍去) 。
因有意义的驻点唯一, 故q=50台是所求的最小值点。当产量为50台时, 平均成本最小。最小平均成本为
( 万元)
例9 生产某种产品的固定费用是1000万元,每多生产1台该种产品, 其成本增加10万元, 又知对该产品的需求为q=120-2p(其中q是产销量, 单位: 台; p是价格,单位:万元).求
(1) 使该产品利润最大的产量;
(2) 该产品的边际收入.
解( 1) 设总成本函数为C(q), 收入函数为R(q), 利润函数为L(q), 于是
C(q)=10q+1000(万元)
R(q)=qp=(万元)
L(q)＝R(q)-C(q)=(万元)

得到 q=50(台)。
因为驻点唯一, 故q＝50台是所求最小值点。即生产50台的该种产品能获
最大利润。
(2) 因 R(q)=, 故边际收入R¢(q)=60－q(万元/台) 。

第五章典型例题
例1 在某区间上, 如果F( x) 是f( x) 的一个原函数, c为任意常数, 则下式成立的是( ) 。
A. B.
C. D.
解 如果F( x) 是f( x) 的一个原函数, 则F( x) ＋c都是f( x) 的原函数, 故有, 即正确的选项是C。
例2 如果, 则f( x) =( )
A. 2sin2x B. －2cos2x C. －2sin2x D. 2cos2x
解 根据不定积分的性质可知
f( x) =
正确的选项是D。
例3 设是函数的一个原函数, 则＝( ) 。
A． B. C. D.
解 因为是函数的一个原函数, 即有=, 故
＝
=
故正确的选项C。
例4 设的一个原函数是, 则( ) 。
A. B. C. D.
解 因为的一个原函数是, 故
( ＝
故正确的选项B。
例5 设函数, 则=( )。
A. x2+c B. C. D.
解 因为, 故, 于是
=
故正确的选项B。
例6 已知=sinx+c, 则f( x) =( )
A. B. xsinx C. D. xcosx
解 对=sinx+c两端求导, 得

故f( x) =, 正确的选项是C。
例8．( ) 。
A． B. C. D.
解 两种方法, 其一是凑微分直接计算:

其二是求导计算: 四个备选答案中都含有项, 对它求导

与被积函数比较可知, 是的原函数。
正确的选项是B。
例9 计算下列积分
( 1) ( 2)
( 3) ( 4)
解 ( 1) =
=
( 2) =
= = 　　　　　　
( 3)