一元二次方程配方法-公式法-因式分解法.doc

(完整版)一元二次方程配方法,公式法,因式分解法
一元二次方程的根
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．

例1:下面哪些数是方程的根?
—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4
分析：要判定一个数是否是方程的根,只要把其代入等式，使等式两边相等即可．

复习

根据公式完成下面的练习:
(1) (2）
（3） (4)
（5) （6)

例2：解方程:
解：由已知，得： 解：方程两边同时除以3,得
直接开平方，得： 配方，得
即， 即 ，，
所以，方程的两根， 所以，方程的两根，
像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
练一练:
（1） (2) (3）

(4) (5) (6)

练一练
一、选择题
1．方程的两根为( )．
A． B． C． D．
2．方程的根是( )．
A． B． C． D．
3．已知是方程的根，则=（ ）．
A．1 B．－1 C．0 D．2
4．若，那么的值分别是（ ）．
A． B． C． D．
5．方程的根为（ ）．
A．3 B．－3 C．±3 D．无实数根
6．用配方法解方程正确的解法是（ ）．
A． B．，原方程无解
C． D．
二、填空题
1．如果，那么的两个根分别是 =________，=__________．
2．已知方程的一个根是，则m的值为________．
3．方程，那么方程的根=______；=________．
4．若，则的值是_________．
5．如果方程，那么,这个一元二次方程的两根是________．
6．如果为实数,满足，那么的值是_______．
三、综合提高题
如果关于的一元二次方程中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：必是该方程的一个根．

一元二次方程公式法
一元二次方程的根由方程的系数而定，因此：
(1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式,当时,将代入式子就得到方程的根。（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性.）
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

例1．用公式法解下列方程．

分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
解：

练一练：用公式法解下列方程．
（1） (2) （3) （4)

一、选择题
1．用公式法解方程，得到（ ）。
A． B． C． D．
2．方程的根是（ )。
A． B． C． D．
3．，则的值是（ ）。
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2

二、填空题
1．一元二次方程的求根公式是___ ____，条件是___ _____．
2．当______时，代数式的值是﹣4．
3．若关于的一元二次方程有一根为0，则的值是__ ___．
三、拓展题
某数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题.若使方程为一元二次方程，是否存在？若存在，求出并解此方程．

根据求根公式判别一元二次方程根的情况
方程
的值
的符号
的关系(填相等、不等或不存在）

求根公式：.
(1）当时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元二次方程的,即有两个不相等的实根，即。
（2）当时，根据平方根的意义，所以一元二次方程的,即有两个相等的实根，即。
（3）当时，根据平方根的意义，负数没有平方根,所以一元二次方程没有实数解.
例1．不解方程，判定方程根的情况
(1） （2） （3) （4)
分析：不解方程，判定根的情况，只需用的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．

巩固练习
一、不解方程判定下列方程根的情况：
（1) （2) （3) （4）

（5） （6） （7) (8）

二、选择题
1．以下是方程的解的情况，其中正确的有（ ）．
A．∵，∴方程有解 B．∵，∴方程无解
C．∵,∴方程有解 D．∵，∴方程无解
2．一元二次方程的两实数根相等，则的值为( ）．
A． B． C． D．
3．已知,一元二次方程有根，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．为一切实数
三、填空题
1．已知方程有两个相等的实数，则与的关系是___ _____．
2．不解方程，判定的根的情况是_____ _（填“二个不等实根"或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知，不解方程,试判定关于的一元二次方程的根的情况是________．
四、综合提高题
1．不解方程,判别关于的方程的根的情况．

2、若关于的一元二次方程没有实数解,求的解集（用含的式子表示)．

一元二次方程因式分解法
解下列方程。

方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成:
两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是，所以
因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．

用因式分解法解方程
（1） （2） （3）
思考:使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？(方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。)

1．下面一元二次方程解法中，正确的是( )．
A．，∴，∴
B．，∴，∴
C．，∴
D．两边同除以，得
一、填空题
1．因式分解结果为___ ____；因式分解的结果是_ _____．
2．方程的根是_____ ___．
3．二次三项式分解因式的结果为____ ____；如果令，那么它的两个根是_________．
二、综合提高题
1．用因式分解法解下列方程．
（1) (2） （3） (4)

2．已知，求的值．

说明：一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。其中，公式法是一般方法，适用于解所有的一元二次方程,因式分解法是特殊方法，在解符合方程左边易因式分解,右边为0的特点的一元二次方程时，非常简便.
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