自动化过控毕业设计论文-直流调速系统的鲁棒控制.doc

摘要摘要直流电机具有良好的起制动性能，宜于在广泛范围内平滑调速，在高性能可控电力拖动的领域中得到广泛的应用。本论文针对直流调速系统中可能存在的参数不确定性以及外界干扰现象，应用了鲁棒控制控制理论解决了直流调速系统镇定和跟踪问题。首先对直流调速系统建立了数学模型；然后运用李亚普诺夫稳定性理论和LMI求解状态反馈阵的鲁棒控制设计方法，设计了直流调速系统的鲁棒控制器。所设计的控制器能够保证相应的闭环系统即使在系统参数不确定和有外界干扰的情况下，仍具有较好的稳定性和较好的动态性能。最后进行了仿真研究，仿真结果也表明了所采用的控制方法的有效性。关键词直流电机；调速；鲁棒控制；仿真 燕山大学本科生毕业设计(论文)AbstractDirect current motor braking from a good performance, suitable for a broad range of speed smooth, controllable power high-performance drag in the field of a wide range of applications. In this paper, direct current motor speed control system for the existence of uncertain parameters and outside disturbance, the application of the robust control theory to solve the direct current motor speed control system tracking and stabilization. First of all, direct current motor speed control system for the establishment of a mathematical model; and then use the Lyapunov stability theory to solve state feedback controller design method of the direct current drive system design of robust controller, the controller designed to ensure that even if the corresponding closed-loop system changes in the system parameter uncertainty and outside disturbance , still has good stability and good dynamic performance; last conducted a simulation study. The simulation results also show that the use of the control method is effective.Keywordsdirect current motor; governor; robust control ;simulationI 目 录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1课题背景及研究现状11.1.1课题背景11.1.2研究现状31.2本课题研究的内容5第2章 直流调速系统数学模型的建立62.1 直流调速系统的概述62.1.1直流电机的工作原理62.1.2直流电机的调速方法62.2直流调速系统的数学模型的建立102.2.1直流电机的数学模型102.2.2直流调速系统的数学模型112.2.3控制问题的形成152.3 本章小结16第3章 基本理论知识173.1李亚普诺夫稳定性定理173.2线性定常系统的稳定性分析183.3鲁棒控制基本思想193.4 LMI解法193.5 MATLAB仿真203.6 本章小结23第4章 控制器设计及控制系统仿真研究244.1直流调速系统鲁棒控制器的推导及结论244.1.1直流调速系统鲁棒控制器的设计推导244.1.2系统参数选择及鲁棒控制器推导结论264.2控制系统仿真研究264.3 本章小结36结论37参考文献38致谢40附录1 开题报告41附录2 文献综述47附录3 中期报告51附录4 英文翻译57附录5 英文原文61III参考文献第1章 绪论1.1课题背景及研究现状1.1.1课题背景现代社会中，电能是使用最广泛的一种能源。这是因为电能在生产、传输、分配、转换、控制和管理等方面都非常方便。电能的生产和使用中，电机起着重要的作用。从能量转换角度来看，电机中有发电机和电动机之分。把机械能转换成电能的电机为发电机；反过来，把电能转换成机械能的电机为电动机。电动机作为原动机，已广泛应用于各行各业，大至冶金企业使用的高达上万千瓦的电动机，小至小功率电机、乃至几瓦的微电机。在各类原动机中，电动机的容量已超过总容量的60%。根据应用场合的要求和电源的不同，电动机有直流电动机、交流同步电动机、交流感应电动机，以满足不同需要的特种电动机。40年代以后，由于受第二次世界的影响，自动控制技术得到很大发展，出现一系列新的控制电机。70年代以后，由于现代控制理论的创立，以及大功率电力电子元微电子器件、变频技术以及微型计算机技术取得一系列进展，为直流调速技术的发展创造了物质和理论基础。在现代的工业生产中，几乎无处不使用电力传动装置。电力工业和其它工矿企业、农用机械、尖端技术以及国防武器系统都广泛的使用电机及电力拖动技术，都需要各种各样的自动控制设备。其中电动机调速系统又是应用比较广泛的一种控制系统。比如在生产中加工一定的零件、完成某一特定的生产自动线以及实现整个车间或工厂的自动化等等，往往需要几台、几十台甚至几百台的电机。因此，电机的控制就显的很重要了。电动机需要调速主要是由于电动机所服务的对象不同而提出的要求，因为不同的生产机械要求有不同的运行速度，甚至一台生产机械在不同的生产过程时需要不同的运行速度。例如，轧制不同钢种或不同规格的钢材时，要求以不同的速度进行轧制，这就要求我们根据生产工艺的要求，来改变电机拖动系统的运转速度；例如，中央空调系统根据制冷或制热量的不同，要求调节压缩机的运转速度，等等。这些也就是工程上所讲的调速问题。众所周知，电动机有两大类，一类是直流电动机：另一类是交流电动机。交流电机特别是鼠笼式异步电动机有一些明显的特点：制造成本低、重量轻、惯量小、可靠性和运行效率高、免维护、无电刷和换向器，所以能在恶劣环境中安全运转。但是交流电动机的电源来自市电50Hz，无法改变，要实现变频调速，势必要设计一台专用的变频器，任务很清楚，但是，自从第一台交流电动机在1885年问世以后，人们一直致力于变频器的研究开发工作，终究未能取得突破性进展，到本世纪60年代以前，交流拖动主要只能用在恒速拖动，调速拖动可以说是直流电动机拖动一统天下，交流电动机尽管结构简单，价格低廉，但不能实现象直流电机那样调速性能的缺憾经历了将近一个世纪。同交流电机相比，直流电机最大的优点就是可以实现“平滑而经济的调速”，还比较方便，可以通过调节电枢供电电压，电枢中串联电阻，励磁回路串联电阻来实现，可见直流电机调速有三种方法，而且调节电枢供电电压的方法容易实现平滑、无级、宽范围、低损耗的要求。尽管直流电动机调速，就其性能而言，可以相当满意，但因其结构复杂，惯量大，维护麻烦，不适宜在恶劣环境中运行，而且很难实现我们预期的工作指标，传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此，控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的准确性，这正是传统控制的本质。现代控制理论可以解决多输入、多输出控制系统的分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得对象数学模型基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标，为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。简单的说，鲁棒控制就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。鲁棒镇定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某种指标下的一定的性能。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性，以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器成为鲁棒控制器。鲁棒控制自其生产便得到了广泛的注目而蓬勃发展。1.1.2研究现状直流电动机具有调速性能好,起动转矩大,易于在大范围内平滑调速等优点, 其调速控制系统历来在工业控制中占有及其重要的地位1。随着电力技术的发展,在大功率电力电子器件问世以后,直流电动机拖动将有逐步被交流电动机拖动所取代的趋势。随着时代的进步和科技的发展，电机调速系统在工农业生产、交通运输以及日常生活中起着越来越重要的作用。直流电机作为执行元件被广泛应用于高精度直流伺服系统和直流调速系统中2。当今，自动化控制系统已经在各行各业得到了广泛的应用和发展，直流调速控制因为其具有良好的启动、制动性能，适合在广泛的范围内平滑调速，在现代化生产中起着重要的作用，在轧钢机、矿井卷扬机、高层电梯能需要高性能控制电力拖动的领域中得到了广泛的应用。转速电流双闭环调速系统，由于具有良好的动静态性能，在工业生产中得到广泛的应用1,2,4。但该系统对于多种因素引起的被控对象参数大范围变化的适应能力较差，而环境对过程的影响和过程本身特性的变化是必然的3，其中一些变化还是大范围的，例如，电动机轴上的机械惯性的变化，电流断续条件下系统放大倍数的变化等，此时就需要使用鲁棒控制控制。众所周知，当被控对象参数是已知定常或变化较小以致可忽略时，一般采用常规反馈控制、模型匹配控制或最优控制等方法，便可以得到较为满意的效果。随着现代工业对控制性能要求的不断提高，传统的线性反馈控制己很难满足各种实际需要。当被控对象参数未知，或者由于环境条件影响，参数发生较大变化时上述控制方式就不适用了。因为对象参数的变化会使本来处于某种最优指标状态工作系统，不再是最优的甚至会变成不稳定的系统。这就需要我们选择一种控制方式使得种种内部外部因素对系统的各项性能指标不会产生太大影响，而且保证系统性能的优越性，鲁棒控制就是这样的一种控制方式9，10，11。目前，鲁棒控制已形成了一个方法多样、成果丰硕内容广泛的格局，许多成果已在实际中得到了广泛的应用9。然而，对于非线性系统由于问题本身的复杂性，其研究还只能算是起步的，大量问题还有待进一步深入探讨。充分利用各种方法的特点，有机的结合其中几种方法较之孤立的研究某一方法要有效的多，几种方法结合会为非线性鲁棒控制的研究开辟新的方向。近年来发现，许多鲁棒控制问题均与线性不等式(LMI)密切相关，可将系统的鲁棒控制问题转化为LMI来求解。因此基于LMI的凸优化方法成为当今研究的热点之一，且将来在这方面的研究成果将越来越多11。发展任何一种控制理论的最终目的都是为了实际应用。随着鲁棒控制理论向着工程应用方面的发展，利用它来控制化工、冶金等工业过程中广泛存在的时滞问题引起了控制界的关注，时滞系统的鲁棒控制成为新的研究热点。同时关于鲁棒控制理论应用于航空、航天及航海等领域的研究也实际具有挑战性的课题。近十多年来鲁棒控制研究的最新成果，文献9指出特别是在鲁棒稳定性理论，线性系统的控制，分析和综合，大系统分散优化控制的方法，非线性系统鲁棒控制的和方法等方面的论述具有重要意义10，11。在直流调速系统中加入鲁棒控制器，增强了系统对由多种因素引起的被控对象参数大范围变化的适应能力，对于参数摄动的范围已知的系统，鲁棒控制器能更好的实现系统各项性能指标。例如,电动机轴上的机械惯性的变化,电流断续条件下系统放大倍数的变化等。当被控对象参数发生大范围变化时将使系统的动态性能发生明显变化。鲁棒控制理论的应用不仅仅用在工业控制中，它被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。目前提出一些鲁棒控制方法，包括一些自适应控制等都不可避免地要依赖于对系统数学模型的精确数学分析，所以对线性系统取得的成果较多，而对时变非线性系统则成果不多，因为后者很难精确数学描述。而鲁棒控制设计又离不开以一定精确的数学模型为依据，这就是矛盾，文献11指出这个矛盾若没有好的方法加以克服，鲁棒性强的控制将难以得到。这点对时变非线性系统尤其突出。在这方面需要在概念上和方法上有新的创造。1.2本课题研究的内容本论文主要研究直流调速系统的鲁棒控制问题。首先，熟悉直流电机调速系统的基本组成部分，清楚每一部分的输入输出和物理模型，准确建立整个系统的数学模型；第二，确定被控对象，明确设计目标，通过对鲁棒控制器设计知识的了解进行推导计算，设计并求得针对所研究直流调速系统的鲁棒控制器；第三，选取合适的系统参数并且准确地搭建系统的simulink图；最后，对系统进行仿真研究。论文的具体安排如下：第一章为关于直流调速系统和鲁棒控制的课题背景和研究现状，第二章为本课题所研究直流调速系统的数学模型的建立过程，第三章为所设计鲁棒控制器用到的理论基础，第四章为控制器设计和闭环系统仿真研究。第2章 直流调速系统数学模型的建立2.1 直流调速系统的概述2.1.1直流电机的工作原理直流电机是使用电机的绕组在直流磁场中旋转感应出交流电，经过机械整流，得到直流电。它是由钉子部分和转子部分构成的定子和转子是靠两个端盖连接。在定子上装设了一对直流励磁的静止的主磁极N和S，在转子装设电枢铁心。定子和转子之间有一气隙。在电枢铁心上放置了A和X两根导体连成的电枢线圈，线圈的首端和末端分别连到两个圆弧形的铜片上，此铜片称为换向片。换向片之间互相绝缘，由换向片构成的整体称为换向器。换向器固定在转轴上，换向片放置在一对固定不动的电刷B1和B2，当电枢旋转时，电枢线圈通过换向片和电刷与外电路接通。当原动机涂东电枢以恒定转速n旋转时，根据电磁感应定律可知，在线圈中有感应电动势，感应电动势大小为 (2-1)式中：的单位为V； 为导体所在处的磁密，单位为； 为导体的长度，单位为m； 为导体的相对线速度，单位为m/s。这是最简单的交流发电机的模型。如果想得到直流电动势，必须把产生的狡辩电动势进行整流，整流的方式很多，可以归为两大类：一类为电子式；一类为机械式。在直流发电机中，采用的是机械式，称之为换向器。在直流电动机中一般采用可控硅组成的整流电路来整流。2.1.2 直流电机的调速方法直流电动机具有良好的起、制动性能，宜于在大范围内平滑调速，在许多需要调速或快速正反向的电力拖动领域中得到了广泛的应用。近年来，高性能交流调速技术发展很快，交流调速系统正逐步取代直流调速系统。然而，直流拖动控制系统毕竟在理论上实践上都比较成熟，而且从控制的角度来看，它又是交流拖动控制系统的基础。因此，直流拖动控制系统仍然广泛应用与现代工业生产中。从生产机械要求控制的物理量来看，电力拖动自动控制系统有调速系统、位置随动系统（伺服系统）、张力控制系统、多电机同步控制系统等多种类型，各种系统往往都是通过控制转速来实现的，因此调速系统是最基本的电力拖动控制系统。直流电动机转速和其他参量之间的稳态关系，式中转速；电枢电压；电枢电路；电枢回路总电阻；励磁磁通；由电机结构决定的电动势常数。在上式中，是常数，电流是由负载决定的，因此调节电动机的转速可以有三种方法：1) 调节电枢供电电压。2) 减弱励磁磁通。3) 改变电枢回路电阻。对于要求在一定范围内无级平滑调速的系统来说，以调节电枢供电电压的方式为最好。改变电阻只能实现有级调速；减弱磁通虽然能够平滑调速，但调速范围不大，往往只是配合调压方案，在基速（额定转速）以上作小范围的弱磁升速。因此，自动控制的直流调速系统往往以变压调速为主。以直流电动机为动力的电力拖动系统称之为直流电力拖动系统。其中直流电动机有他励、串励和复励三种，最主要的是他励直流电动机。拖动负载运行的他励直流电动机，其转速时由工作点决定的，工作点改变了，电动机的转速也就随之改变。对于具体负载而言，其转矩特性是一定的，不能改变，但是，他励直流电动机的机械特性却可以人为的改变。这样，可以通过改变电动机机械特性而使负载与电动机的两条特性的交点随之改变，可以达到调速的目的。直流电机的基本方程式为： (2-2) (2-3) (2-4) 其中： 为电枢电压(平均值)； 为电动机的反电势； 为电枢电流(平均值)； 为电枢电阻； 为磁极磁通； 为电机的转矩； 为电机的转速； ，为与电机结构有关的常数。 因此电机的转速为： (2-5)由此式可以看出直流电动机调速有以下三种方法：(1)电枢串电阻调速；(2)降低电源电压调速；(3)弱磁调速。(1)电枢串电阻调速由直流电动机的调速公式可知，当电枢电路串联附加电阻Rs时其特性方程式为 (2-6)从方程式可以看出，特性的斜率增加了，转速降增加了，因而实际转速降低了。串入的电阻越大，机械特性越软，静态率越大，在给定转速下，工作的稳定性越差。电枢电路串电阻调速的物理过程：当电机在稳定运行时，电枢串入电阻接入电阻瞬间，由于拖动的机械特性，转速n来不及变化，则电枢电流减小，此时，电动机减速，电动势减小，电枢电流回升，直到,即时，在一个低速点稳定运行，电动机减速。调速的优缺点：直流电动机改变电枢电路电阻调速的优点是方法简单和控制设备不复杂，它有许多缺点： 1) 当空载或轻载时，调速范围很小，效果不明显。 2) 低速调速时，实现起来很困难，越低特性越陡，(机械特性软，有很小的负载的波动，将会引起较大的速度波动)。 3) 调速不平滑，只能是有级调速。如果需要平滑调速，必须采用大量的接触器和继电器，这样，调速装置庞大，成本高，并且维护困难。 4) 电阻消耗大量电能，还应注意，调速电阻要比起动电阻容量大得多，所以不能用起动电阻做调速用，调速时电阻箱很多。 (2)降低电源电压调速这种调速方法应用最多。采用这种方法调速时，电动机采取他励方式保持不变，只改变电枢电路的供电电压，因此需要可调直流电源。目前应用最多的可调直流电源有直流发电机-电动机组和晶闸管变流装置。改变电动机供电电压调速的机械特性方程式为 (2-7)调速的特点: 1)调速平滑，可以实现无级调速。 2)转速降不变，特性硬度大，稳定性较好，可以调节至较低转速。调速范围一般可达10-12，如果用各种反馈或稳速控制系统，调速范围可达到几百至几千。 3)改变电枢电压调速方式属于恒转矩调速，并在空载或负载时也能得到稳定转速，通过电压正反向变化，使电动机能平滑的起动和在四个象限，能实现回馈制动，而且控制功率小，效率较高，配上各种调节器可组成性能指标较高的调速系统，因此在工业上得到广泛应用。 4)需要具备电压可变的电压,相对来说设备较多(3)弱磁调速调速方法：在电动机励磁绕组中，改变其串联电阻r的大小或采用专门的励磁调节器AMR来控制励磁电压，都可以改变励磁电流和磁通。此时电动机的电枢电压通常为额定值，而且不串附加电阻。改变磁通调速机械特性方程为 (2-8)调速的特点:弱磁调速时，应使电动机电压保持额定，Ra应为最小。一般不能在电枢电路中串有外加电阻，且降低外加电压的低速大负载下，用减弱磁通来升速。弱磁调速，在高速下由于电枢电流去磁作用增大，使转速特性变的很不稳定，换向性能也会下降。因此，采用改变磁通来调速的范围是有限的。对于普通电动机的调速范围最多是2倍。弱磁调速的优点是因为调节是在功率较小的励磁电路中进行，励磁电流只有电枢电流的2%5%，故控制方便，能量损耗小，调速平滑性较高。由于开环调速系统的机械特性较软，满足不了较高的调速指标这一要求。但根据生产工艺的需要，往往对某些生产机械是电力拖动装置提出更高的要求，例如某些机械加工设备，为了保证加工精度，在加工过程中不允许拖动电动机的转速有较大的变化；也有的生产工艺过程是需要几台电力拖动装置共同协作完成的，这些拖动装置用电动机的转速，需要有严格的比例关系，要求各拖动电动机都有较硬的静态工作特性。为了提高直流调速系统静态特性的硬度，必须采用按闭环控制的调速系统。2.2直流调速系统的数学模型的建立2.2.1直流电机的数学模型直流调速系统关键部分是直流电机，也就是运用直流电机进行调速，直流电机的数学模型建立过程如下： 图2-1 直流电机等效电路原理由图2-1，假设电流连续，由电枢回路列得基尔霍夫电压方程为： （2-1）由牛顿第二定律的电机轴上的动力学方程为： （2-2）联立得出直流电机的数学模型为 （2-3）其中i为电枢电流，为电机旋转速度，u为电压输入，R为电枢回路阻抗，L为电机线圈电感，B为粘性阻尼系数，J为转动惯量，为转矩系数，为反电势常数，为负载转矩。 2.2.2直流调速系统的数学模型考虑到题目为直流调速系统的鲁棒控制，只对直流电机做控制器显得有些简单。结合当前工业应用的直流调速系统，所以考虑加入一个可控硅整流触发装置，是原系统模型有二阶变为三阶。下面介绍整流触发装置的相关知识。在动态过程中，可把晶闸管触发装置与蒸馏装置看成是一个纯滞后环节，其滞后效应是由晶闸管的失控时间引起的。众所周知，晶闸管一旦导通后，控制电压的变化在该器件关断以前就不再起作用，直到下一相触发脉冲来到时才能使输出整流电压发生变化，这就造成整流电压滞后于控制电压的状况。失控时间是随机的，它的大小随发生变化的时刻而改变，最大可能的失控时间就是两个相邻自然换相点之间的时间，与交流电源频率和整流电路形式有关。由下式确定，式中-交流电源频率（Hz）；-一周内整流电压的脉波数。一般情况下取统计平均值 若用单位阶跃函数表示滞后，则晶闸管触发与整流装置的输入-输出关系为，利用拉氏变换的位移定理，则晶闸管装置传函为，将按Taylor级数展开，得：，考虑到很小，则传递函数近似成一阶惯性环节。由图2-1，设一个电枢回路电磁时间常数，所以，等式两端取拉氏变换，得：所以，则电压电流间的结构框图如图2-2所示：图2-2 电压电流间的结构框图根据电机轴上动力学方程： （2-4）设为电力拖动系统机电时间常数又有，则（2-4）式变为所以， 等式两边取拉氏变换，得：继而得：所以，可得电流电动势间的结构框图如下，图2-3 电流电动势间的结构框图将图2-2与图2-3结合在一起，再加上可控硅整流触发装置，可得到直流调速系统的数学模型如下：图2-4 直流调速系统的数学模型框图图中 系统的电压输入；电力电子变换器电压放大系数；整流触发装置时间常数； 电枢回路电磁时间常数，；电力拖动系统机电时间常数，转矩系数；电机端电压输入；电枢电流； 负载电流， 反电势； 反电势常数；由图2-4选取状态变量，分别为电机转速，电枢电流及电机输入端电压，将直流调速系统的动态模型转化为状态空间表达式的形式：将系统模型写成误差动态描述形式，即得：令，其中分别为期望得到的电机转速，电枢电流及输入电压。其中。2.2.3控制问题的形成对于任意一个系统来说，稳定性快速性以及准确性都是系统性能的基本要求，直流调速系统主要是对稳定性和准确性的要求，即系统在受到一定范围内参数摄动后能不能保持系统的稳定以及能不能准确的达到预期的指标，至于快速性，对于调速系统应该是指调速的快慢程度，以及系统受到扰动后返回到平衡点的时间长短。例如我们想得到1800转每分的转速，调速系统从某一速度达到1800转每分所用时间的长短即是衡量该调速系统的快速性能的依据。对于系统各项参数已知的情况下，我们可以采用古典控制理论的PID控制方法设计控制器来对调速系统进行控制，但PID控制器对系统模型要求必须非常精确，而大多数情况我们所面对的系统模型有许多未知参数或者系统参数含有若干不确定项，这样PID控制器就不能达到我们想要得到的系统性能，所以我采用现代控制理论，以状态空间表达式的形式建立起数学模型，并选择设计鲁棒控制器来对直流调速系统进行控制。2.3 本章小结本章主要对直流调速系统以及直流电机的工作原理进行了简单的介绍，同时介绍了跟本课题密切相关的直流电机的调速的方法，接着通过对直流电机工作原理的分析建立直流电机的数学模型，然后根据直流调速系统的构成逐步建立直流调速系统的数学模型，并根据后面控制的需要将数学模型写成误差形式。第3章 基本理论知识3.1李亚普诺夫稳定性定理定理1设系统的状态方程为 式中，。如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件： 是正定的； 是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则在原点处平衡状态是在大范围内渐近稳定的。定理2设系统的状态方程为 式中。如果存在一标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 是正定的； 是半负定的； 对任意和任意，在时不恒等于零。则在系统原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有，则为大范围渐近稳定。式中的表示时从出发的解轨迹。定理3系统方程为 式中，。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 是正定的； 是半负定的，但在某一值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的，但非渐进稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。定理4设系统的状态方程为 式中，。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，且满足下列条件： 在原点的某一邻域内是正定的； 在同样的邻域内是正定的。则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。3.2线性定常系统的稳定性分析设线性定常系统为 （3-1） 式中，为维状态向量，是常系数矩阵，假设是非奇异矩阵。因为判定系统的稳定性，主要取决自由响应，所以令控制作用，由系统状态方程知，系统唯一的平衡状态是原点。对于式（3-1）确定的系统，选取如下形式的正定无限大函数，即 式中：是一个正定的赫米特矩阵（即复空间内的二次型，如果是一个实向量，则可取正定的实对称矩阵）。沿轨迹的导数为 对于系统在大范围内渐近稳定性来说，要求是负定的，因此必须有 为负定。式中 （3-2） 由上式可知，在已知是正定的条件下，找到满足式（3-2）的一个赫米特矩阵（或实对称矩阵）是正定的，则由式（3-1）描述的系统在原点处的平衡状态，必是大范围内渐近稳定的。这样得到如下定理。定理5设系统状态方程为 （3-3）式中，是维状态向量，是常系数矩阵，且是非奇异的。若给定一个正定的赫米特矩阵（包括实对称矩阵），存在一个正定的赫米特矩阵（或实对称矩阵），使得满足如下矩阵方程 （3-4）则系统在处的平衡状态是大范围内渐近稳定的，而标量函数就是系统的李亚普诺夫函数。3.3鲁棒控制基本思想如果系统中存在能够引起系统结构或参数变化的不确定性，那么，被控对象实际上不是一个单一固定不变的系统。进一步，如果这种不确定性可以理解成取自某一个集合，那么实际被控对象可以描述为一个系统集。这里，是模型的精确已知部分，称为标称系统；表示不确定性因素所构成的某个可描述集。所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立，如果关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述品质，那么就称该系统具有鲁棒性能准则。鲁棒控制理论包含两大类问题，即鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定集合的某一描述，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器C，使得和C构成的系统都满足期望的性能要求。3.4 LMI解法首先，考察线性定常系统根据李亚普诺夫稳定理论可知，该系统是渐近稳定的充分必要条件是对任意给定的正定阵，存在正定阵，满足如下李亚普诺夫方程： 实际上，这个条件等价于不等式成立。由于该不等式关于是线性的，故称为LMI（线性矩阵不等式）。许多控制问题都与矩阵不等式有关，且求解LMI的算法已经成熟，有多种保证全局收敛性的算法。因此如果控制问题能够归结为求解LMI的问题，就可以通过数值计算求得控制问题的解。引理1（Schur引理）对于分块厄米矩阵以下命题成立。(1) 的充分必要条件是如下条件之一成立：a) ，且；b) ，且。(2) 当时，的充分必要条件是，且 (3) 当时，的充分必要条件是，且 其中，表示矩阵的核空间，表示的拟逆矩阵。3.5 Matlab仿真Matlab是矩阵实验室(Matrix Laboratory)之意，是美国Math Work公司的一个软件产品，是一款具有高级的数值分析、数值处理的计算机软件。除了具备能力卓越的数值计算能力之外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 Matlab的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式于数学，工程中常用的形式十分相似，故用Matlab来解决算问题要比用C，FORTRAN等语言完成相同的事情简捷的多。 当前流行的Matlab6.5/Simulink3.0包括拥有数百个内部函数的主包和三十几种工具包(Toolbox)工具包又可以分为功能性工具包和学科工具包。功能工具包用来扩充Matlab的符号计算，可视化为建模仿真，文字处理以及实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包、控制工具包、信号处理工具包等都属于此类。 开放性使用Matlab广受广大用户的欢迎和好评，除了内部函数外，所有Matlab主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件，用户通过对源程序的修改或者加入自己编写的程序构造新的专用工具包。 70年代中期，Cleve Moler博士和他的同事在美国国家自然科学基金的资助下开发了LINPACK和EISPACK的FORTRAN子程序库，这两个程序库是用于解线性方程和特征值问题的，代表了当时矩阵计算软件的最高水平。后来，Cleve Moler在新墨西哥大学给学生开设“线性代数”课程时想让学生应用LINPACK和EISPACK的程序库，但是他又不希望学生们在编程上面花太多的时间，因此他为学生编写了LINPACK和EISPACK的接口程序，该程序取名为Matlab，是MATrix LABoratory的缩写。在此期间，Moler博士先后到多所大学讲学并将Matlab介绍给他们，Matlab才逐渐为人们所接受并且成为应用数学界的术语。 80年代初期，工程师John Little领悟到Matlab的潜在应用天地是工程领域，具有较高的商业价值。因此，它与Moler、Steve Bangert等人一起开发研究第二代专业版的Matlab，并且与1984年共同创建了Math Work公司，将Matlab正式推向市场。 在Matlab之前国内外就已经有大量的数值计算软件，他们大多是用C 或者是FORTRAN语言编写的，他们的共同的缺点是：适应面比较窄、可扩充性差、不开放等等，推广应用比较困难。Matlab的出现打破了这个局面，它的高度适应性、可扩充性等优良性能吸引了众多的科技界人士，很多人先后在Matlab上开发出自己的“工具箱”，从而使得Matlab一步步的壮大起来。 Matlab具有良好的可扩展性，其函数大多为ASCII文件，可以直接编辑、修改、Matlab的工具箱可以任意增减，任何人都可以自己生成 Matlab工具箱，因此很多研究成果被直接作成Matlab工具箱发布。比如在小波变换刚刚出现的时候，就出现了Matlab的小波工具箱，到5.0版以后，小波工具箱成为Matlab的标准工具箱，Matlab带的很多工具箱并非Math Work公司开发的，而是其他研究机构或者个人制作的，并且Internet网络上还有成百上千个各式各样的Matlab的工具箱，大多数的工具箱是免费的。 Matlab是基于矩阵运算的工作平台，它的运算要素不是单个数据，而是矩阵。比如求解线性方程，BAx=A为方阵，Matlab直接用AxB=即可得到结果，几乎不需要调试就可以运行，因此Matlab比C和FORTRAN等语言简洁