资源描述
5.7能追上小明吗
●教学目标
(一)教学知识点
1．进一步掌握列方程解应用题的步骤．
2．能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题．
(二)能力训练要求
1．借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程，解决实际问题，发展分析问题、解决问题的能力．
2．进一步体会方程模型的作用，提高应用数学的意识．
3．培养学生文字语言、图形语言、符号语言这三种语言的转换的能力．
(三)情感与价值观要求
通过开放性的问题，为学生提供思维的空间，从而培养学生的创新意识，团队精神和克服困难的勇气．
●教学重点
1．借助“线段图”分析复杂问题中的数量关系．从而建立方程，解决实际问题．
2．熟悉路程问题中的速度、路程、时间之间的关系，从而实现从文字语言到图形语言，从图形语言到符号语言的转换．
●教学难点
用“线段图”分析复杂问题中的等量关系，从而建立方程．
●教学方法
教师启发与学生自主探索相结合．
教师先从简单问题出发，启发诱导学生用“线段图”去寻找路程问题中的等量关系，从而学生在教师的启发诱导下自主探索复杂问题的解决过程，建立数学模型．
●教具准备
投影片三张
第一张：(记作§5．7A)填空
第二张：(记作§5．7B)想一想、试一试
第三张：(记作§5．7C)议一议
●教学过程
Ⅰ．提出问题，引入新课
出示投影片(§5．7A)
做一做：
1．若小明每秒跑4米，那么他5秒能跑_____米．
2．小明用4分钟绕学校操场跑了两圈(每圈400米)，那么他的速度为_____米/分．
3．小明家距离火车站1500米，他以4米/秒的速度骑车到达火车站需_____分钟．
［师］上面3个小题都是关于路程、速度、时间的问题，那么它们之间有何关系呢？
［生］路程=速度×时间．知道这三个量中的两个就可以求出另一个．
［师］很棒．那么我们就用这个同学所说的关系来解答上面的三个小问题．
［生］(1)已知速度、时间，求路程．所以小明5秒能跑4米/秒×5秒=20米．
(2)已知时间、路程求速度．所以小明的速度为400米÷4分=100米/分．
(3)已知路程、速度求时间．所以小明骑车到车站需要1500米÷4米/秒=375秒=6．25分．
［师］下面我们就来根据路程、速度、时间之间的关系来讨论几个较为复杂的问题．
Ⅱ．讲授新课
出示投影片(§5．7B)
想一想，试一试
［例1］小明和小彬每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米．
(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
(2)如果小明站在百米跑道的起跑处，小彬站在他前面10米处，两人同时同向起跑，几秒后小明能追上小彬？
［师生共析］已知小彬和小明的速度分别为4米/秒，6米/秒．
(1)两人从百米跑道的两端同时相向起跑，相遇时，两人所跑的路程的和是100米．所以要解决这个问题，必须抓住这个等量关系．我们画出线段图，可以使他们的关系更加直观，等量关系更加清晰．如下图
所以等量关系为：小明所跑的路程+小彬所跑的路程=100米．接下来我们只要把这个等量关系用数学符号——方程表示出来即可．设两人x秒后可相遇，则小明跑的路程就为6x米，小彬跑的路程为4x米，由此得到方程4x+6x=100．
(2)如果小明站在百米跑道的起点处，而小彬在他前面10米处，当小明追上小彬时，小彬比小明少跑10米．在解决此问题时，只要抓住这个等量关系便可．为了使问题更直观，我们不妨也用线段图来表示，使等量关系更清晰．如下图：
所以等量关系为：小明跑的路程-小彬跑的路程=10米．如果设小明x秒可追上小彬，则小明跑的路程为6x，小彬跑的路程为4x，则得到方程6x-4x=10．
(由学生根据分析写出解答过程)
解：(1)设小明和小彬x秒后相遇，根据题意得6x+4x=100，
解，得x=10
所以经过10秒两人相遇．
(2)设小明x秒追上小彬，根据题意，得6x-4x=10
解，得x=5
所以小明5秒就追上了小彬．
［师］由例1我们可以看到，在审题的过程中，如果能把文字语言变成图形语言——线段图，可以使题中的等量关系“浮”出水面，最后我们只需设出未知数，把等量关系用符号语言表示出来，便得到了方程．
在我们的生活中，一些同学养成一种很不好的习惯——丢三落四．常害得父母亲操心．小明今天就犯了这样的错误：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学．一天，小明以80米/分的速度出发．5分钟后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，小明的爸爸立即为180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他．问：(1)爸爸追上小明用了多长时间？(2)追上小明时，距离学校还有多远？
同学们可仿照例1的方法，画出线段图去分析题目中的等量关系．
［生］我认为小明的爸爸追上小明时，他们父子二人所行驶的路程是相等的．
［师］你能到黑板上画出这个问题的线段图吗？
［生］可以．如果设爸爸追上小明用了x分钟，则可画得线段图：(黑板上板演)
所以，根据题意，小明5分钟行驶的路程为：80×5米；爸爸开始追小明到追上，小明行驶的路程为80x米；小明的爸爸追上小明行驶的路程180x米．相等关系为：小明行驶的路程=爸爸行驶的路程即80×5+80x=180x．
［师］下面同学们在自己的练习本上完整地写出解答过程．
［生］解：(1)设爸爸追上小明用了x分．根据题意，得180x=80x+80×5
化简，得100x=400
x=4
所以小明的爸爸用了4分钟追上小明．
(2)因为爸爸追上小明行驶的路程为180×4=720米，1000-720=280米．
所以，追上小明时，距离学校还有280米．
［师］通过做上面这个题，除了要学会用线段图去寻找相等关系，从而建立模型——方程，使问题得到解决外．更重要的是有丢三落四的毛病的同学，要吸取小明的教训，自己的事自己处理好，免得父母操心．
Ⅲ．议一议
出示投影片(§5．7C)
育红学校七年级的学生步行到郊外旅行．(1)班的学生组成前队，步行速度为4千米/时，(2)班的学生组成后队，速度为6千米/时．前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时．
根据上面的事实提出问题并尝试解答．
(这是一个开放性问题，教师应鼓励学生交流、讨论，然后大胆地提出问题，并试着利用方程去解决，并与同伴交流自己的问题和解决问题的过程)
［生］我提出的问题是：后队用多长时间可以追上前队？
［生］这个问题可用方程来解，只要找到这个问题等量关系即可．根据题意画线段图如下：
如果设后队x小时可追上前队，那么后队行驶的路程为6x千米，前队行驶的路程为(4×1+4x)千米．根据线段图可知：前队行驶路程=后队行驶的路程，由此可得方程6x=4×1+4x．
［师］这位同学分析得很到位．下面请一位同学完整地写出过程．
［生］解：设前队被后队追上用了x小时，根据题意，得6x=4×1+4x
解，得x=2
所以前队被后队追上需2小时．
［生］后队在追前队时，后队派了一名联络员骑自行车不停地在两队之间来回进行联络，那么这位联络员行了多少千米的路程．
［师］这个问题提得非常好．如何解决呢？同学们可以先讨论一下，也许解决起来不困难．
［生］我们认为这个问题从整体上考虑较易．因为联络员的速度是12千米/时，而且联络员是后队出发时，派他在两队之间不间断地来回进行联络，由此我们知道联络员用去的时间恰好就是后队追上前队的时间即2小时，所以联络员行驶的路程为12×2=24千米．
［师］你真棒！我们祝贺你，在困难面前，你是一个胜利者．大家应该向你学习．老师相信，我们每一位同学在遇到复杂的问题时，一定能树立信心，树立克服困难的勇气．
［生］我还可以提出一个问题吗？
［师］完全可以．我们欢迎他提出问题．
［生］当联络员第一次追上前队后，往回返，当他和后队相遇时，后队离出发地有多远？
［师］同学们可以讨论，并相互交流一下自己的想法．
［生］我觉得这个问题要分两步完成：
第一步：设联络员x小时后可追上前队，画线段图如下：
根据题意，可得12x=4×1+4x
解，得x=
所以联络员第一次追上前队用了小时．
第二步：这时，后队离出发点6千米/时×小时=3千米．离前队有(1+)×4-3=3千米．设y小时后，联络员又碰上了后队，画线段图如下：
根据题意，可得6y+12y=4×(1+)-6×
解，得y=．
所以此时后队离开出发点6×+6×=4千米．
［师］看来，同学们已能面对复杂问题．祝贺你们．关于这个题还能提出好多问题，同学们若有兴趣，课余时间可继续发现，相信你们会有很大的收获．
Ⅳ．课时小结
我们这节课学会了用线段图来形象直观地表达题意，找到等量关系．更可喜的是，我们面对开放性的问题，能够积极思维，大胆创新，这节课将是一节很难忘的课．
Ⅴ．课后作业
1．课本P173 习题5．10．
2．继续合作完成P173议一议，大胆尝试着去提出问题，解决问题．
Ⅵ．活动与探究
8个人分别乘两辆小汽车赶往火车站，其中一辆小汽车在距离火车站15千米的地方出了故障，此时离火车站停止检票的时间还有42分钟，这时惟一可以利用的交通工具只有一辆小汽车，连司机在内限乘5人，这辆小汽车的平均速度为60千米/时．这8个人能赶上火车吗？
过程：这是开放性的问题，为学生提供了思维的空间．可以分多种情形讨论．
第一种情形：小汽车分2批送8个人．如果第2批人在原地不动．
第二种情形：如果在汽车送第一批人的同时，其他人先步行，可节省一点时间．
第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人使得两批人同时到达火车站，比较省时．
结果：第一种情形：小汽车需来回走15×3=45(千米)，所需时间为45÷60= (小时)=45分>42分．因此单靠汽车来回接送无法使8人赶上火车．
第二种情形：如果设这些步行的速度为5千米/时，汽车送完第1批人后，用了x小时与第二批人相遇，根据题意有：5x+60x=15-×5，解得x=，从汽车出故障开始，第二批人到达火车站要用+2×=小时<42分．因此不计其他时间的话，这8人能赶上火车．
第三种情形：如果这辆汽车行驶到途中，一定位置放下第一批人，然后掉头再接另一批人，使得两批人同时到达火车站，那么比较省时，需要37分．
●板书设计
能追上小明吗
一、问题提出 三、议一议
距离=速度×时间 问题一：
二、想一想、试一试 问题二：
(学生板演) 问题三
●备课资料
(一)学会解开放题
随着素质教育的不断深入，考查学生灵活运用的综合能力成为热点．而开放性问题有利于培养学生灵活运用能力和创造性思维能力．
［例1］按要求运用数字135和25%编一道应用题，要求：(1)要联系市场经济，其解符合实际．(2)数25%要用两次．(3)列出的方程是一元一次方程，写出这道应用题的整个解的过程．
解：依据题目要求可编出应用题：
某个体商店同时出售两件衣服，每件售价都是135元，按进价核算，其中一件盈利25%，另一件亏本25%．试问在这次销售中，商店是亏还是赚？
解这道应用题，设其中一件进价x元，另一件进价y元，由题意，得
x(1+25%)=135，则x=108；
y(1-25%)=135，则y=180．
∴2×135-(x+y)=-18
因此是亏，亏了18元．
根据题目要求还可编出一道应用题：
某商店降价25%后，又提价25%，该商品现价为135元，问该商品原价多少元？
解：设该商品原价x元，则
(1-25%)(1+25)x=135．
解，得x=144
所以该商品原价是144元．
［例2］下面是工厂各部门提供的信息：
人事部：明年生产工人不多于800人，每年每人工时按2400工时计算；
市场部：预测明年的产品销量是10000~12000件；
技术部：该产品平均每件需用120工时，每件需要装4个某种主要部件；
供应部：今年年终库存某种主要部件6000个，明年可采购到这种部件60000个．
请判断：(1)工厂明年的生产量至多为多少件？(2)为减少积压，至多裁减多少人用于开发其他新产品．
解：(1)据人事部、技术部、供应部的信息，明年生产量为x件，则
4x=6000+60000，解得x=16500
120x=800×2400，解得x=16000
受工时限制x应取16000．
(2)据市场部信息，设应裁减y人，则
2400(800-y)=12000×120
解，得y=200．应裁减200人．
(二)参考练习
列方程解应用题
1．甲、乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为17．5千米/时，乙的速度为15千米/时，经过几小时两人相距32．5千米？
2．在一直的长河中有甲、乙两船，现同时由A地顺流而下，乙船到B地时接到通知需立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流航行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是每小时7．5千米，水流速度为每小时2．5千米，A、C两地间的距离为10千米．如果乙船由A地经B地再到达C地共用了4小时，问乙船从B地到达C地时，甲船驶离B地有多远？
答案：1．解：(1)相遇前经过x小时，甲、乙二人相距32．5千米，根据题意，得：
(17．5+15)x+32．5=65
x=1
(2)相遇后甲乙继续前进，设从出发到相遇后经过x小时相距32．5千米，根据题意，得
(17．5+15)x-32．5=65
x=3
所以经过1小时或3小时甲、乙两人相距32．5千米．
2．解：设乙船由B地航行到C地用了x小时，那么甲、乙两船由A地航行到B地都用了(4-x)小时．
(1)若C地在A、B两地之间，有
(4-x)(7．5+2．5)-x(7．5-2．5)=10
解，得x=2
10×2=20千米
(2)若C地不在A、B两地之间，有
x(7．5-2．5)-(4-x)(7．5+2．5)=10
解，得x=
10×＝千米．
所以乙船从B地到达C地时甲船驶离B地有20千米或千米．
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