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七年级数学 分式的运算技巧（一）
分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．题型主要有化简、求值和证明三种，我们将通过讲解一些例题，来教给大家分式运算的基本方法和解题技巧。
一、 分式的化简
分式的化简主要根据分式的基本性质，同时还要熟练掌握整式变形的各种法则和技巧。
　例1 化简分式：

　　分析与解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简．

　　说明 本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有的一般形式，与分式运算的通分思想相反，我们将上式拆成两项，这样，前后两个分式中就有可以相互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．
例2 化简计算(式中a，b，c两两不相等)：

　分析 本题关键是搞清分式的变形，其他两项是类似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法．
　　解

　　说明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用的变形技巧。
例3 化简分式：

　　分析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．

　　 　　　＝［(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)］

说明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．

　例4 化简分式：

　二、分式的求值
根据条件求分式的值，是分式变形的重要内容。
例5　已知，求的值
分析 此题应从条件入手，找出与的关系。
解：设，则。于是

所以
当时，显然，这时上面的等式显然也成立。
本题充分利用倒数关系这一特征简化了计算。
　　例6 求分式

　　当a=2时的值．
　　分析与解 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：
　　a2-b2=(a+b)(a-b)，
　　可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．

　　例7 若abc=1，求
　　分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
　　解法1 因为abc=1，所以a，b，c都不为零．

　　解法2 因为abc=1，所以a≠0，b≠0，c≠0．

　　比例性质的运用是分式化简的一个很有用的技巧。

例8 已知：x+y+z=3a(a≠0，且x，y，z不全相等)，求

　　分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．
　　解 令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0．
　　由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以u2+v2+w2≠0，从而有

　　说明 从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化．

　　解法1 利用比例的性质解决分式问题．
　　(1)若a+b+c≠0，由等比定理有

　　所以
　　a+b-c=c，a-b+c=b，-a+b+c=a，
　　于是有

　　(2)若a+b+c=0，则
　　a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b，
　　于是有

　　说明 比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用，便于问题的求解．
　　解法2 设参数法．令

　　则　　a+b=(k+1)c，①
　　a+c=(k+1)b，②
　　b+c=(k+1)a．③
　　①+②+③有
　　2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，
　　所以 (a+b+c)(k-1)=0，
　　故有k=1或 a+b+c=0．
　　当k=1时，

　　当a+b+c=0时，
说明 引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用．
例10 已知均为非零实数，且满足，求
的值。
分析 由于所给条件是连比的形式，可设其比值为，达到求值的目的。
解：设，则有，，
。三式相加，得。
当时，有，，。

当时，则，这时有，，。

设连比式的比值为，是解有关连比式问题的基本方法。
课堂练习（1）
一、选择题
1. 分式的值为0，则 x的值（ ）。
（A）等于 (B) (C) (D)
2. 若a+b+c＝0，化简a（+2，所得结果是（ ）
（A）1 （B）-1 （C）2 （D）0
3.如果，且，则（ ）。
（A）-4 （B）-2 （C）0 （D）2
4. 将分式( ).
(A)p=3,q=-4 (B) (B) (D)
5. 计算的结果是（ ）
（A）　　 （B）　　 （C）　　 （D）

二、填空题
1. 已知（a-1）2+|ab-2|=0，则
的值是_______。
2.已知的值是____________。
3.已知，且，那么 。
4. 化简：得： 。

三、解答题
1. 化简：

2. 已知abc0,且求的值
3.若，，，求的值。

课堂练习（1）答案
一、选择题
1. 解：x满足条件6x2-5x-6=0且3x+20,x=,选（D）。
2. 解：原式=
=（
∵ 已知a+b+c=0。 ∴原式=-1。故选（B）。
3. 解：由知，
，则有。因此

4. 解：
5.选（D）
二、填空题
1. 解： 由|a-1|2+|ab-2|=0知a=1且ab=2，所以b=2。
原式=
（。
2. 解：：
3. 解：∵ ， ∴ a+b=4ab

4. 解：略，注意约分。。
5. 解：用ab分别除原式的分子分母得
=。
三、解答题
1. 解：原式

2.解：由，

当
则原式=
当时，
原式=
3.解：，，。
上面三个式子相加得：

第一讲、分式的运算课后网上练习（1）初一
1. 给出下列四式：
① ②
③ ④
经过化简后仍是分式的（ ）
（A）都是 （B）仅②、③、④
（C）仅②、④ （D）仅②
2. 若
3.已知：a,b,c 为实数，且
求的值
4. 若，求分式的值
　　　　 课后网上练习（1）答案
1. 解：式化简后的值是－1； 式化简成；式化简成；式化简成，故选B。
2.解：令=k,得
则，所以其倒数为1/3。
3. 解：
4.

　　(x-4)2=3，即x2-8x+13＝0．
　　原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+10
　　　　　　=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10
　　　　　　=10，
　　原式分母=(x2-8x+13)+2=2，