用初等变换求逆矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,返回 上页 下页 结束,2.6 用初等变换求逆矩阵,一.用初等变换法求逆矩阵,及解矩阵方程,1,一、等价定理,定理1：,设,A,是,n,阶方阵，则如下的命题等价：,（1）,A,是可逆的,；,（2）,AE,，,E,是,n,阶单位矩阵；,（3）存在,n,阶初等矩阵,（4）,A,可经过有限次初等变换化为,E,.,证明,1,（1）,（2）易证明(见书上证明),（2）,（3）,因为,A,E,，,再由矩阵,那么，把,E,变为,A,的初等变换,即有：,等价的对称性，,有,E,A。,所对应的初等矩阵为,，所以,2,（3）,（4）,，由,有,由于,仍是初等矩阵，上式说明对,A,实施有限次初等行变换可化为,E,，,列的情形类似可得。,（4）,（1）,设,A,可经有限次初等行变换可化为,E,，,则存在初等矩阵,，使,由于,初等矩阵,可逆，,所以,A,可逆。,证毕。,3,分析:,A,可逆,上式表明:若,则,A,可逆,且,X,即为,AX,=,B,的解,X,=,A,1,B,.,特别,若,即如何求,X,=,A,1,B,?,给定,n,阶可逆方阵,A,及,ns,阶矩阵,B,如何解,AX,=,B,?,左侧的意义：,对,A、B,作相,同的行变换,即有,4,例1：设,，试用初等变换法求,解：,5,所以,6,例2.,设,问,B,是否可逆？,解法1.,若可逆，求其逆阵,B,1,。,可见,B,不可逆,不可能化为,单位阵,7,B,不可逆,一、二两行相同！,解法2.,利用“,A,可逆,A,”,8,例3.,求解,解:,原方程变形为,9,可见,A E,可逆,且,注:,若要求,思考:,设,A,B,可逆,如何解矩阵方程,AXB,=,C,?,方法一：,注意：,这个,r,2,是新的结果,方法二,：,10,内容小结,1.矩阵的初等变换与初等矩阵,2.用初等变换法求矩阵的逆:,作业,P64.,25,(1),（2）,注意:,初等矩阵可逆,其逆矩阵为同类型初等矩阵,用初等矩阵,右,乘,A,对,A,作,列,变换,3.用初等变换法求,AX,=,B,的解,X,=,A,1,B,:,4.与任意矩阵,A,等价的三种简单矩阵,解,YA,=,C,转化为解,用初等矩阵,左,乘,A,对,A,作,行,变换,11,