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第三章 数系的扩充与复数的引入
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是
( )．
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
解析 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
答案 A
2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为
( )．
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
解析 由复数相等定义得∴tan θ＝1，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)．
答案 D
3．下列命题中
①若x，y∈C，则x＋yi＝2＋i的充要条件是x＝2，y＝1；
②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集；
③若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3.
正确的命题个数是
( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析 ①x，y∈C，x＋yi不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
答案 A
4．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析 z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，∴m2－m＝0，
∴m＝0或1.
答案 0或1
5．已知(1＋i)m2＋(7－5i)m＋10－14i＝0，则实数m＝________.
解析 把原式整理得(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，
∵m∈R，∴∴m＝－2.
答案 －2
6．实数m取什么值时，复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分别是(1)纯虚数；(2)实数．
解 (1)复数lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数．
则∴
∴m＝3.
即m＝3时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为纯虚数，
(2)复数为实数，
则
解②得m＝－2或m＝－1，
代入①检验知满足不等式，
∴m＝－2或m＝－1时，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i为实数．
7．已知集合M＝{1，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数m的值为
( )．
A．4 B．－1
C．4或－1 D．1或6
解析 由题意∴m＝－1.
答案 B
8．如果关于x的方程x2－2x－a＝0的一个根是i，那么复数a
( )．
A．一定是实数
B．一定是纯虚数
C．可能是实数，也可能是虚数
D．一定是虚数，但不是纯虚数
解析 因为i是方程x2－2x－a＝0的根，故代入整理得：
a＝x2－2x＝i2－2i＝－1－2i，故选D.
答案 D
9．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为________．
解析 易知解得a＝－4.
答案 －4
10．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的取值范围是________．
解析 ∵log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
∴∴x＝－2.
答案 －2
11．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．
解 按题意：(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i＝3，
∴，得a＝－1.
12．(创新拓展)若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1<z2的m值的集合又是什么？
解 当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，
m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.
当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，
m＝0,1,4，z2＝2或6或18.
上面m的公共值为m＝0，
此时z1与z2同时为实数，
此时z1＝1，z2＝2.
所以z1>z2时m值的集合为空集，
z1<z2时m值的集合为{0}．
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