2013年5月上海市浦东新区建平中学高三三模数学试卷及答案.doc

建平中学2013年5月高三三模数学试卷及答案
一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
1．已知集合，则等于
2．若是实数（是虚数单位，是实数），则
3．等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为_8
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且asinA+csinC-asinC=bsinB．
则
5（文） 一次课程改革交流会上准备交流试点校的5篇论文和非试点校的3篇论文，排列次序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类校的概率是
5．（理）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为，则口袋中白球的个数为3
6．设，若是展开式中含的系数，则=_2
7．（文）若实数x，y满足不等式组 则z=2x＋4y的最小值是
A
B
O
A1
O1
B1
z
x
y
7．（理）在极坐标系中，若直线的方程是，点的坐标为，则点到直线的距离2
8．（文）如图，直三棱柱中，，
，,,则此三棱柱的主视图的
面积为.
8．（理）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为cm．
9．不等式的解集为，那么的值等于
10. 定义某种运算，的运算原理如图 所示.设.
在区间上的最大值为2
11.在平面直角坐标系中，设直线：与圆：相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆上，则实数k=0
12．（文）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.点C在以O为圆心的圆弧上变动。若其中，则的最大值是2
12. （理）若不等式对于任意正实数x，y总成立的必要不充分条件是，则正整数m只能取1或2
13．（文）对函数，函数满足：，数列的前项和为，则的值为
13．（理）对函数，函数满足：
数列的前项和为，则的值为
14．（文）已知函数定义域为．若存在常数，对于，都有，则称函数具有性质．给定下列三个函数：
①； ②； ③．
其中，具有性质的函数的序号是 ① ③
14. （理）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“”或“”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
① 若,则；
② 若,则；
③ 若,则对于任意,；
④ 对于任意向量，,若，则.
其中真命题的序号为 ① ② ③
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）； 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.
15．已知a，b是实数，则“”是“”的 （B）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
16．设P是△ABC所在平面内的一点，，则--------------------------- （C）

17．集合在等比数列 中,若,则A中元素个数为 (D)

18．（文）已知满足条件的点（x,y）构成的平面区域面积为，满足条件的点（x,y）构成的平面区域的面积为,其中分别表示不
大于的最大整数，例如: [-0.4]=-1,[1.6]=1,则的关系是 （A）

18．（理）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：
① 存在，使得是直角三角形；
② 存在，使得是等边三角形；
③ 三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的个数是 （C）
0 1 2 3
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）；解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分.
已知向量函数的两条相邻对称轴间的距离为
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，若，求的值.
解：（1）

…………2分
…………4分

由得
单调递增区间是 …………6分
（2） …………8分
　　　 故 …………10分
所以 …………12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分.
（理）如图，四边形与均为菱形， ，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
（1）证明：设与相交于点，连结．
因为 四边形为菱形，所以，
且为中点．又 ，所以 ．
因为 ， 所以 平面．
（2）解：因为四边形为菱形，且，
所以△为等边三角形．
因为为中点，所以，故平面．
由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
设．因为四边形为菱形，，
则，所以，．
所以 ．
所以 ，． 设平面的法向量为，则有所以 取，得．
易知平面的法向量为．
由二面角是锐角，得 ．
所以二面角的余弦值为．
20．
（文）如右图，圆柱的轴截面为正方形，、分别为上、下底面的圆心，为上底面圆周上一点，已知，圆柱侧面积等于．
（1）求圆柱的体积；
（2）求异面直线与所成角的大小．
解：（1）设圆柱的底面半径为，由题意，得

解得：4．
（2）连接，由于，所以，即为与所成角，过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，由圆柱的性质，得为直角三角形，四边形为矩形，
，由，由等角定理，得
所以，可解得，在中，
由余弦定理，
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
已知函数。
（1）若为偶函数，求的值；
（2）若函数和的图像关于原点对称，且在区间上是减函数，求 的取值范围。
解：（1）为偶函数，
解得 。
当时, 成立 故
（2）由题意，，设
在区间上是减函数，
在上是增函数
只有在时，是增函数，
所以，即。
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分.
如图，在平面直角坐标系中。椭圆的右焦点为，右准线为。
（1）求到点和直线的距离相等的点的轨迹方程。
（2）过点作直线交椭圆于点，又直线交于点,若，求线段的长；
（3）已知点的坐标为，直线交直线于点，且和椭圆的一个交点为点，是否存在实数，使得，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由

解：（1）由椭圆方程为可得，，，
，． 设，则由题意可知，
化简得点G的轨迹方程为. …………2分
（2）由题意可知， …………4分
故将代入， ……………8分
可得，从而． ……………10分
3） 假设存在实数满足题意．
由已知得 ① ② 椭圆C： ③
由①②解得，．……………12分
由①③解得，．
∴，……………14分
．…………15分
故可得满足题意． …………16分
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分.
（文）已知数列{an}满足：a1 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ n2＋2n（其中常数λ ＞ 0，n ∈ N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当λ ＝ 4时，若，求
（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，是否存在，使得不等式成立，若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（1）当n＝1时，a1＝3． …………1分
当n≥2时，因为a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ①
所以a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ② …………2分
①－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）． ………3分
a1＝3也适合上式，所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)． ………4分
（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1． ………6分
所以当时， ………7分
当时，不存在 ………8分
当时， ………9分
当时，不存在 ………10分
（3）（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1． ………11分
当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2× －(2n＋1)λn．13分
假设对任意n∈N*，存在，使得不等式成立

………15分
但是当时， ………16分
当时，。矛盾。假设不成立…17分
所以对任意n∈N*，不存在，使得不等式成立。 18分
（理）已知数列{an}满足：a1＋＋ ＋…＋＝n2＋2n（其中常数λ＞0，n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当λ＝4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设Sn为数列{an}的前n项和．若对任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）当n＝1时，a1＝3． …………1分
当n≥2时，因为a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ①
所以a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ② …………2分
①－②得＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1（n≥2，n∈N*）． ………3分
a1＝3也适合上式，所以an＝(2n＋1)·λn－1 (n∈N*)． ………4分
（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．………5分
若存在ar，as，at成等比数列，则[(2r＋1) ·4r－1] [(2t＋1) ·4t－1]＝(2s＋1)2 ·42s－2．……6分
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 r＋t －2s＝(2s＋1)2． 由奇偶性知r＋t －2s＝0．………8分
所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．这与r≠t矛盾， ………9分
故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列． ………10分
（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．
当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n． ………11分
当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn＝3＋2× －(2n＋1)λn
当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1， …13分
要对任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，
①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，结论显然成立； …14分
②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2× －(2n＋1)λn＋λan
＝3＋2×＝－．
因此对任意n∈N*，都有≥·λn恒成立． …15分
当0＜λ＜1时，只要≥λn对任意n∈N*恒成立．
只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．
因此当0＜λ＜1时，结论成立． …16分
当λ≥2时，≥·λn，显然不可能对任意n∈N*恒成立．
当1＜λ＜2时，只要≤λn对任意n∈N*恒成立．
只要有≤λ即可，解得1≤λ≤． 因此当1＜λ≤时，结论成立．…17分
综上所述，实数λ的取值范围为(0，]． …18分

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