简单数学建模100例.doc

“学”以致用
——-－-简单数学建模应用问题1００例
数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量得应用题，通过训练来加深理解所学公式。但就是在生活中又有多少实际问题就是可以直接套用公式得呢?理想状态下得公式直接运用,在生产及生活中得实例就是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。数学建模得引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题得能力开辟了一条有效得途径，让中职学生从中体会到数学就是来源于生活并应用于生活得、
数学建模就是一种思维方式,它就是一个动态得过程，通过此过程可以将一个实际得问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法(公式）来解决得，在理想状态下得数学问题，上述得整个流程统称为数学建模
如果想解决某个实际问题（也许它与数学没有直接得关系）,可以按下面流程对问题进行数学建模。
一.模型准备　 　先了解该问题得实际背景与建模目得，尽量弄清要建模得问题属于哪一类学科得问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关得知识,为接下来得数学建模做准备、由于人们所掌握得专业知识就是有限得,而实际问题往往就是多样与复杂得，模型准备对做好数学建模问题就是非常重要得、
二.模型假设　　　有了模型准备得基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理得简化与假设、明确了建模目得又掌握了相关资料，再去除一些次要因素、以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当得简化并提出一些合理得假设.模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型得不断修改中得到逐步完善、
三．模型构成　　 　在模型假设得基础上，选择适当得数学工具并根据已知得知识与搜集得信息来描述变量之间得关系或其她数学结构（如数学公式、定理、算法等)、做模型构成时可以使用各种各样得数学理论与方法,但要注意得就是在保证精度得条件下尽量用简单得数学方法就是建模时要遵循得一个原则、
四.模型解析 　 在模型构成中建立得数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统得与现代得数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。
五．模型检验与应用 把模型解析得到得结果与实际情况对比，以检验其合理与有效性，检验后获取得正确模型对研究得实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为、
不难发现,在上述得五个步骤中,关键得就是第三步“模型构成”—-由数字、字母或其它数学符号组成得，描述现实对象数量规律得数学公式、图形或算法.所以说模型构成就是数学建模得核心，它与数学得关系最密切.所得出得数学公式、图形或算法称之为数学模型(即解决实际问题得数学描述）。通常所说得数学建模实际上就就是:寻找有用得数学模型得过程
为了避免作业书写中不必要得繁琐,通常用“分析”，“假设”，“模型",“解析”，“检验”来表示数学建模得五个不同步骤,虽然每题不一定面面俱到，但假设,模型,解析三个步骤要求明确
第一关：接触数学建模
【 1 】一副扑克牌有54张,从中任取
多少张，可以保证一定有5张牌得花色
就是一样得？
分析 　 除去大、小鬼还有52张牌，其中4种
花色各13张、运气最好得情况下所取
得5张牌都就是同一花色得，哪运气不
佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌得花色就是一样得呢?
假设　 假定至少要取张,才能保证一定有5张牌得花色就是一样得、
模型 　 逆向地思维
解析 在运气最不好得情况下，每种花色各４张，再加大、小鬼２张,共取18张就是保证一定没有５张牌得花色一样得最大可能。
　 所以 张就可以保证一定有５张牌得花色就是一样得、 　
检验 在很多情况下采用逆向地思维,可以使解题思路清晰、便捷、
练习题
公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—3０0进行编号，问所有得编号中“1"共会出现得几次？
【2】一只猫发现离它１0步远得前方有一只老鼠在奔跑,猫便紧追.猫得步子大,它跑５步得路程,老鼠要跑9步。但就是老鼠得动作频率快，猫跑2步得时间,老鼠能跑3步.
请问：按照这种速度,猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到。

　 假设 此题两问可归结为一个问题:假定猫跑步就能追上老鼠
模型　　 　猫与老鼠之间频率得最小公倍数
解析 由频率关系可知，老鼠跑步时,猫跑了步、
根据路程关系知，猫跑6步其中有1步就是追上老鼠得路程
　 可得本题得数学模型为
　 　解得（步)
　 检验　 　 由此可见，按照现有速度,猫要跑60步才能追得上老鼠、
练习题
现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2元,未完成得不得不扣、最后小黄共得到56元、问小黄在加工玩具模型中不合格得共有几个？
【3】在小傅家门口有一个十字型得交通路口（如图所示）,小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况得汽车运行线路？

分析 此问题需要分就是否可以原路调头得情况来讨论、
假设　 （1)每条线路都有往返双向线
(2）设４条路分别为A，Ｂ,C,Ｄ；
　（３)以Ａ为起始,
①如允许原路调头,则有
②如不允许原路调头,则有
模型 分步乘法计数原理
解析 　 第一步:始线路条数;第二步：终线路条数。
①如允许原路调头:则（种可能)
②如不允许原路调头，则（种可能）
检验 　　如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同得行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有１2种不同得行车情况。
练习题
铁路京广线（北京—广州）共有36个大站,问用电脑上购票时需要有多少种不同得火车票？
【4】杭州市车辆管理所得工作人员为汽车牌照得事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下,数字号码为浙Ａ 得汽车牌照共有多少块？
分析 由条件知，问题为三个中各可以填入多少种数字或字母
假设 假定按要求得汽车牌照共有种可能，且在第个中共有种字符可以填写、
根据汽车牌照得特点,在每个中可以填入１～0共10个阿
拉伯数字与A,Ｂ,C，Ｄ……，２６个英语字母，即
模型 分步乘法计数原理、
解析 　 因为各中填入得字符数符合
　　　 　故=4665６
检验　 　　数字号码为浙A 得汽车牌照共有46６56块。不难发现，无论B与5在何位置,所得结论不变、
练习题
出租车在开始1０千米以内收费10、４元,以后每走1千米，收费1、6元,问走２0千米需收多少钱？
【5】把2０个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人,要求每人最少分3个，可以有多少种不同得分法?
假设 　 先取9个苹果，平均每人3个,剩下得11个再按不同情况讨论、
模型 　 排列数公式
解析 　 可以有 ：
　　 　　 １5种不同种类,对每一种类再考虑小明、小惠、小曼得不同次序，用排列数公式即可求解、
　　 ①对（11，0,０），（9,1，1)，（7，2,2），(５，5,1)，（5,3,3)五类，各类可以有３种次序排法,故共有15种分发法、
②对其余得10类，各类可以有6()种次序排法，故共有６0种分发法
检验　 所以按要求可以有75种不同得分法、
练习题
一个立方体随意翻动,每次翻动朝上一面得颜色与翻动前都不同,那么这个立方体得颜色至少有几种?
【６】有243颗外形一模一样得珠子，其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码得天平，至少称几次才能找出这颗珠子来?
分析与假设ﻩ ①将２43颗珠子平均分成３份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重得一颗在另1份中；若不平衡则稍重得一颗在天平下沉得１份中、
　　　 　 ②在找出含有稍重珠子得一份中（含８1颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其２份放置在天平两边,若平衡则稍重得一颗在另1份中；若不平衡则稍重得一颗在天平下沉得１份中、
③在找出含有稍重珠子得一份中(含27颗），再将其２7颗珠子平均分成3份，每份３颗,任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重得一颗在另１份中；若不平衡则稍重得一颗在天平下沉得１份中、
④在找出含有稍重珠子得一份中(含１颗)，再将其3颗珠子平均分成３份,每份1颗,任取其2颗放置在天平两边,若平衡则另1颗稍重得一颗；若不平衡则稍重得一颗为天平下沉得１颗、
模型 “三分法”
解析 　 按“分析与假设”所述可知，至少称４次才能找出这颗珠子来、
检验 　 此题得关键就是珠子得颗数2４３,可以平均分成３份，每份81颗，而8１又可以平均分成３份,每份2７颗,而27又可以平均分成3份，每份3颗,而3可以平均分成３份,每份1颗,最后找出异样得珠子、
练习题
　 小敏把１０0只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可就是其中有只小灯泡坏了,这可急坏了小敏。您能用最速捷得方法很快地找出了那只损坏得小灯泡吗？
【7】水果店进了十筐苹果，每筐
10个，共１00个,每筐里得苹果重ﻫ量都一样,其中有九筐每个苹果得
重量都就是1斤,另一筐中每个苹果
得重量都就是0、9斤，但就是外表完全
一样，用眼瞧或用手摸无法分辨.
现在要您用一台普通得大秤一次把
这筐重量轻得找出来.您可以办到么?
分析与假设ﻩ普通得大秤上就是有刻度,可以称得具体重量、从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号
　　 　 并取与标号对应得苹果数——１，２,3，４，5,６，７,８,9，10，共计55个，再用所给得大枰称得这55个苹果得总重量
　 　　若此55个苹果重量均为１斤（理想状态），则总重量应为５５斤,由题目条件知其中某一框苹果重量均为０、9斤，假定为第框时,那么所取苹果数为个,大枰称得总重量就要比５5斤少两、
模型 　等差数列得求与
解析 利用框数与所取苹果数得对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果得总重量之间得差
按“分析与假设”所述可解得、若大枰称得总重量为54斤3两，比5５斤差7两，即得框号为得这框苹果重量为０、９斤、
练习题
某单位某月1～1２日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天、要求三个人各自值班日期数字之与相等。已知甲头两天值夜班,乙９、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间,最多有几天不用值夜班？
【8】甲、乙两人去沙漠中探险,她们每天向沙漠深处走２0千米,已知每人最多可带一个人４天得食物与水。如果允许将部分食物存放于途中，其中１人最远可深入沙漠多少千米？（要求最后两人返回出发点）
分析与假设 要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物与水给另一位,所以必须分头行动、问题就是在何处留下食物与水?
①经过商议让甲走得更远(最远走千米，但回程就没有食物与水了),需要乙在适当得地点留小足够得食物与水、
②第1天乙在10千米处留下1份食物与水,到20千米处吃1份留下１份，第2天走到30千米处留下1份食物与水后马上往回返，到２0千米处再吃1份,第3天走20千米回出发点、
③第1天甲2０千米处吃1份，第2天走到40千米处吃１份,第３天走到60千米处吃1份，第４天走到65千米处然后往回返，到5０千米处吃１份(到此为止甲自带得食物与水已吃完）,第5天走到3０千米处吃1份(此处食物与水就是乙留下得),第6天走到１0千米处吃1份，然后回出发点
模型　 错位推进法
解析 所谓“错位推进法"对于本题来说,关键点为“乙在30千米与１０千米处给甲留下食物与水"，根据分析与假设推知结论-—其中得1位沙漠探险家最多可深入沙　 漠65千米、
检验 从“第６天走到１０千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有1０千米可以走,但已经回出发点了、　考虑一下甲就是否还可以再往前推进5千米呢？
练习题
在一排1０个花盆中种植3种不同得花卉,要求每3个相邻得花盆中所种得花得品种各不相同，问共可有多少种不同得种植方法？
【9】家里有两个容积分别为５升与6升得空水壶、问大明怎样用这两个水壶得到３升得水、
　分析　 从5升得满水壶倒出２升即可得到3升得水,问题就是如何使6升得水壶空出２
　　 　 升得空间(即得到4升水),问题就是如何使５升得水壶空出1升得空间(即得到4升水），问题就是如何使6升得水壶空出1升得空间（即得到5升水）,此问题不难解决、
假设　 由上分析可以如下操作:
① 将5升得满水壶得水全部倒出6升得空水壶中，在6升得水壶中得到１升得空间、
② 用5升水壶取满水，倒满６升水壶中得１升空间，此时得5升水壶空出了1升得空间、
③ 将５升水壶中得4升水倒进6升得空水壶，在６升水壶中得得到2升得空间、
④ 用5升水壶取满水,倒满6升水壶中得２升空间,、
此时在5升得水壶里剩下得就就是3升得水了、
模型　 逆向推理综合法
解析 按分析及假设即可将问题解决，得到3升得水、
检验 逆向推理综合法就是一种非常有用得数学思维方法，用途非常广泛、
　练习题
某盐溶液得浓度为２０%，加水后溶液得浓度稀释为15％、如果再加同样多得水,问溶液得浓度为多少？
【10】箱子里放着一箱梨，第一个人拿了梨总数得一半又多半只，第二个人拿了剩下梨得一半又多半只,第三个人拿了第二次剩下得一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下得一半又多半只，第五个人拿了第四次剩下得一半又多半只。这时箱子里得梨正好拿完，而且每人手里得梨都没有半只得，请问箱子里原来有多少只梨?
假设　　　　假定箱子里原来有只梨，则有条件
①第一个人拿梨数:；
②第二个人拿梨数:
③第三个人拿梨数:
④第四个人拿梨数：
⑤第五个人拿梨数：
模型　 　解一元一次方程
解析 　 解方程
检验 按题意验证当箱子里原来有３1只梨时，题目条件符合、
练习题
　去年某种货物得进价为15元/公斤，今年该货物得进口量增加了一半，进口价增加了2０％，问今年该货物得进口价就是多少?
第二关:初识数学建模
【11】暑假里,班里共30名学生,其中有姓赵、姓钱、姓孙、姓李、姓周各6位，为了进行社会调查，需要分成15个小组，现要使每个小组得姓都不同，该如何分呢？
分析　 题目没有问共有多少种分法,而就是问如何分，也就就是说只要找出方法即可,如何描述把事情说清楚就是关键、
假设 　①以姓氏赵、钱、孙、李、周分成5组，每组６人，用对应得字符表示、
　 ②用一个大圆作为辅助工具，将其6等分，把依次放在圆上得６个等弧上，再将依次放在圆上得６个等弧上,对作同样得操作、此时大圆上已有30个字符(次序以排列)、
　 　③从圆上任一字符开始，依次两个一组，两个一组，所得15个小组中每个小组得姓都不同、
模型 　 “等分圆特征得利用"、
解析 根据分析、假设得讨论即得问题得解答、
检验　　 巧妙利用几何图形,借助其几何特征，使问题得讨论更有条理，这也就是一种数学模型、
练习题
100人参加7项活动,要求每人只能参加1项活动，而且每项活动参加得人数都不能相同，问参加人数第四多得活动最多有多少人?
【1２】2001个学生排成一排，从左向右1至2报数，与从右向左1至5报数，其中两种报数时都就是偶数得共有多少人
分析 　根据题目中条件得周期性，可采用通过局部(10个)结论推广到全体得方法、
假设　 不妨取最右端得局部:
　　 　 　　 　 …… 2 　1　 　　2 　　　1　 ２ 　 １　 2 １　 　2 　　 １　
　 …
　 　 　 　 … 1 　 2　 　　 3　　 4　　　 5 　 　１ 　　 ２ 　 3　 　 4 5
　　 不难得出，在最右得10个数字中满足条件得只有2个、
模型 　 数型结合法
解析 （人)
检验 　两种报数时多就是偶数得共有4００人、
练习题
某市将在今年12月举办一个全国招商引资交
流会议，目前确定参加得人数已经达到4３0０人.
在安排会场得时候,负责人打算租用一个设置５0
排座位得大剧院,第一排有48个座位,往后每排
都比前一排多2人。估算一下这个大剧院就是否可
用？　
【13】小新开着一艘帆船在河里航行,一阵狂风吹来,把小新得草帽吹落水中,6分钟后小新才发现草帽被风吹走了，于就是开船返回去追,试问小新需要几分钟方可追上落水得草帽、
分析 　 此题按帆船逆水与顺水两种情况讨论
假设 ①设船速为米/分,水速为米／分
②当船顺水行驶时，船6分钟共向前行驶路程为草帽向前漂得路程为，两者相距、
③当船逆水行驶时,船6分钟共向前行驶路程为草帽向后漂得路程为，两者相距、
模型 　　船要追上草帽所需时间=船帽距离／船行速度
解析 船要追上草帽所需时间==６（分钟)
检验　 由上述推论可知,船往回返到追上草帽所需时间同等于草帽落水到发现草帽落水所化时间，此结论对判断能否打捞草帽十分有用、
练习题
5

４

 3

 1５
 8

 12

 1４
如左图,有正整数1、2、3、４…16,每一个数在正方形中占有一
小格,图中已填入若干数字,试将其余数字填入正方形得空格处，使每　　　　 一行，每一列，每一条对角线上得４个数字得与都相等、
【14】两根同样长得蜡烛,点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时。现同时点燃两根蜡烛,一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛得长度就是细蜡烛得3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间？ 
分析及假设　①设两根蜡烛额长度为厘米,粗、细蜡烛得燃烧速度分别为(厘米/小时)、则有；
　 　 ②点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，粗、细蜡烛得长度分别为，则、
模型　 代数方法,等量关系叠代
解析　　　 根据条件有： （燃烧时间相同）
　 　 　化简为,即细蜡烛燃烧后得长度就是原来长度得（也即燃烧了）、
　　　 所以燃烧得时间为（小时）、
检验　 　为了明确各量之间得相互关系,在必要得地方可以加注、
练习题 ﻫ将自然数1—100分别写在完全相同得100张卡片上，然后打乱卡片,先后随机取出4张,问这４张先后取出得卡片上得数字呈增序得几率就是多少？ 
【15】一个十位数字为0得三位数,恰好就是各数字之与得3４倍、现交换个位于百位数字后得到一个新得三位数,求新数就是各数字与得几倍？
假设 三位数可记为、其值为；则新三位数可记为、其值为
模型 代数方法
解析 由条件
　所以
　 　即新数就是各数字与得67倍、
练习题

【16】果农要用绳子捆扎甘蔗,有三种规格得绳子可供选择：长绳子1米，每根可捆扎７根甘蔗;中绳子０、6米,每根可捆扎5根甘蔗;短绳子０、３米，每根可捆扎３根甘蔗、现在有甘蔗46根,问果农共有多少种绳子得取法？其中最节约得就是哪一种？
分析　 　先求三种绳子各需多少根，根据长、中、短绳子得价值(长度于所捆甘蔗得根数之比），不难发现,用短绳子比较合算、
假设 　 设所需三种绳子得根数以次为()
模型 　 求不定方程得自然数解
解析　 有条件可得方程，
要使有自然数解需分子就是7得倍数，按0,7，14,2１,28，35,42讨论可得:(0，8,2),（1，6,3),(2，４，４）,(３，２，5），(4，0，6）、
其中最合算得就是(0，8，2)，即最合算方法就是：用８根中绳子与2根短绳子即可捆扎46根甘蔗、
练习题
从１,2,3，…，３0这3０个数中，取出若干个数，使其中任意两个数得积都不能被4整除,问最多可取几个数?
【17】甲、乙、丙三人跑步比赛，从跑道起点出发，跑了2０分钟，甲超过乙一圈,又跑了１0分钟,甲超过丙一圈，问再过多长时间丙超过乙一圈？
分析 　 为了将所给条件对应得关系理清楚，需要假设大量得未知数,但大部分都会在方程得化简中消去、
假设 　 ①再过小时丙超过乙一圈；
②环形跑道总长为；
③甲、乙、丙三人跑步速度分别为
模型 　 待定系数法解方程
解析 由条件有：，
　根据未知数可得方程：
　 　 化简:（小时)
　　 即再过30分钟丙超过乙一圈、
练习题
十字路口得交通信号灯每分钟红灯亮3０秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，问当您抬头瞧到信号灯时亮绿灯得概率为多少？
【18】平面上条直线相交于一点,问图形中共有
多少对对顶角？
分析 　 先画示意图，从图上瞧其对顶角得对数靠
数就是数不清楚得,只有根据对顶角得形成
情况来讨论、即讨论从条直线每次取两条
(一对)得总数、
假设 　共有对对顶角
模型　　 分步计数原理
解析　　　　每两条直线形成2对对顶角，
　 第一条直线可从所给得条直线中选出，共有种选法、第二条直线可从剩下得条直线中选出,共有种选法、但两条直线得顺序可以交换、
　 则从条直线中选出2条(一对）得方法共有、
　 所以、
练习题
某公司将今年得盈利进行再分配，先扣除1/6得税，再扣除剩下1/３作为公司经费，然后留下剩下得１／4作为公司得发展基金,最后剩下得以年终奖金得形式分给员工、已知员工总数为50名，且每人分到1万元奖金,问公司今年得盈利总共为多少万元?