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第一单元 集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念和运算
(时间：50分钟 满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设全集U＝{某班学生}，M＝{男生}，N＝{参加2010广州亚运会志愿者的学生}，则集合P＝{参加2010广州亚运会志愿者的女生}可表示为 ( )
A．(∁UM)∪N B．(∁UM)∪(∁UN)
C．(∁UM)∩(∁UN) D．(∁UM)∩N
答案：D
2．(2010·陕西理，1)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝ ( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}
解析：∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．
答案：D
3．(2011·青岛模拟)设A、B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝ }，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝ ( )
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞)
C．[0,1] D．[0,2]
解析：由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]，B＝{y|y＝2x，x＞0}＝(1，＋∞)．
A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)．
答案：A
4．(2009·广东理，1)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝
{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部
分所示的集合的元素共有 ( )
A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个
解析：由题意可知，M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{1,3,5，…}．于是，M∩N＝{x|－1≤x≤3}∩{1,3,5，…}＝{1,3}．它含有2个元素．
答案：B
5．(2010·天津理，9)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}，若A⊆B，则实数a，b必满足 ( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
解析：A＝(a－1，a＋1)，B＝(－∞，b－2)∪(b＋2，＋∞)
由A⊆B知a＋1≤b－2，或a－1≥b＋2
即a－b≤－3或a－b≥3
因此|a－b|≥3.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
6．设全集U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5,6}，则右图中阴影部分
表示的集合是________．
解析：图中阴影部分表示的集合是B∩(∁ZA)＝{2,4,6}．
答案：{2,4,6}
7．已知集合U＝R，A＝，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}，则(∁UA)∩(∁UB)等于________．
解析：A＝{x|－1≤x≤1}＝[－1,1]，B＝{y|y＝x＋1，x∈A}＝[0，2]，(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)
8．(2010·江苏理，1)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a的值为________．
解析：由已知条件a＋2＝3或a2＋4＝3，解得a＝1.
答案：1
9．设集合A＝{(x，y)|y≥|x－2|，x≥0}，B＝{(x，y)|y≤－x＋b}，A∩B≠∅.
(1)b的取值范围是________；
(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是______．
解析：(1)如图所示，A∩B为图中阴影部分，若A∩B≠∅，则b≥2；
(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，x＋2y在(0，b)处取得
最大值，
∴2b＝9，b＝.
答案：(1)b≥2 (2)
三、解答题(共3小题，共34分)
10．(本小题满分10分)设A＝{2，－1，x2－x＋1}，B＝{2y，－4，x＋4}，C＝{－1,7}，且A∩B＝C，求x、y的值．
解：∵A∩B＝C＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B，－1∈B.即有x2－x＋1＝7⇒x＝－2或x＝3.
①当x＝－2时，x＋4＝2，又2∈A，∴2∈A∩B，但2∉C，
∴不满足A∩B＝C，∴x＝－2不符合题意．
②当x＝3时，x＋4＝7，∴2y＝－1⇒y＝－.
因此，x＝3，y＝－.
11．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|y＝ }, B＝{y|y＝a－2x－x2}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
解：由15－2x－x2≥0，即(x＋5)(x－3)≤0，
得－5≤x≤3，∴A＝[－5,3]．
又y＝a－2x－x2＝a＋1－(x＋1)2≤a＋1，
∴B＝(－∞，a＋1]，A∩B＝A即A⊆B.
∴a＋1≥3.即a≥2.因此实数a的取值范围是[2，＋∞)．
12．(本小题满分12分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B⊆A，求实数a的取值范围．
解：A＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}，
因此A的子集分别为∅，{0}，{－4}，{0，－4}．
又B⊆A，
若B＝∅，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝4(2a＋2)<0，
解得a<－1；
若B＝{0}，解得a＝－1；
若B＝{－4}，无解；
若B＝{0，－4}，解得a＝1；
综上所述，实数a的取值范围是a≤－1或a＝1.
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