量子力学曾谨严第4章作业答案.doc

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第4章表象理论
教材P142 ~ 143：1、5、6、7和P175：1
1.解：
(a)

类似有。
(b)
在表象，迹为零，在表象设。
由得，。由得，因此。
类似有。注意，由得。
5.解：略。见电子教案§4.2量子力学的矩阵表示。
6.解：

7. 解：

P175 1.

，

取，则有归一化本征态。
补充题：
电子自旋角动量包括两个算符，本征值问题为

，
表象的基底： ，记为

正交归一化条件：

封闭关系：
把表象简称为表象。
1、在表象上，写出、和、、的表示。
2、在表象上，写出的本征态的表示，以及用矩阵表示的正交条件、归一化条件和封闭关系。
3、证明电子自旋的三个分量彼此“反对易”，即

4、在表象上写出的表示。
5、在表象上写出的本征态的表示。
6、求由到表象的表象变换矩阵.
7、通过表象变换求在表象上的本征态的表示。
8、通过表象变换求在表象上的表示。
解：
1、在表象上，写出、和、、的表示。
的表示：

（常数）
的表示：

（对角化）
在自身表象上和的表示矩阵都是对角矩阵，对角元素是相应的本征值。为常数，也为常数。因在表象上为常数，则在任何表象上都为该常数。同理，因，和分别在自身表象上是常数，则在任何表象上它们也都是该常数
（常数）
2、在表象上，写出的本征态的表示，以及用矩阵表示的正交条件、归一化条件和封闭关系。
的表示：
的表示：
正交条件： ，
归一化条件： ，
封闭关系：

3、证明自旋的三个分量彼此反对易

而，则得 。其它两式类似可证。
4、在表象上写出的表示
由Hermite算符的性质和表象变换不改变迹，在表象上可表示为

由的矩阵形式

，，
因，则，，选，则在表象上的表示为

5、在表象上写出的本征态的表示
在表象上的本征方程为 ，即

因本征值与表象无关，则
（1）当时
，得，由归一化条件，得
，
（2）当时
，
6、求由到表象的表象变换矩阵
设表象基底为，表象基底为，基底的关系为
，
表象变换矩阵为

验证了么正性。
7、通过表象变换求在表象上的本征态的表示。
在表象（自身表象）上的本征态的表示为

变换到表象

与5的结果一样。
8、通过表象变换求在表象上的表示。

与4的结果一样。