力学(二)习题.doc

力学（二）
1、长为L的细绳一端固定于O点，如图所示，另一端拴一质量为m的小球，把线拉至最高点A以水平抛出，求当v0为下列值时，小球运动到最低点C时线中的张力大小。（1）v0=2（2）
解：（1） 由于v0=2大于作圆周运动最高点的最小速度，故小球做圆周运动。
由机械能守恒得： 又 T-mg=m 故 T=9mg
（2）由于小于作圆周运动最高点的最小速度，故小球开始做平抛运动。设小球运动到B点时绳张紧，此时悬线与水平方向夹角为，由平抛运动规律有：Lcos=v0t L(1-sin)=gt2 得=0°说明B与O在同一水平线上。此时vBx=, vBy=。接着，由于绳子瞬时张紧，产生瞬时冲量，使小球水平冲量变为零，机械能损失。然后小球以的速度从召开始作圆周运动到C点，机械能守恒有： ,在最低点有：T-mg=, 故小球在最低点C时绳的拉力T=5mg
A
C B
2、如图所示，光滑水平面上物块A质量mA=2千克，物块B与物块C质量相同mB=mC=1千克，用一轻质弹簧将物块A与B连接，现在用力使三个物块靠近，A、B间弹簧被压缩，此过程外力做功72焦，然后释放，试问：
（1）当物块B与C分离时，B对C做功多少？
（2）当弹簧被拉到最长时，物块A和B的速度各为多少？
（3）当弹簧被拉到最长后又恢复到原长时，物块A和B 的速度各为多少？
（4）当弹簧再次被压缩到最短面后又伸长到原长时，物块A和B的速度各为多少？
解答： （1）18J （2）v=2m/s 方向向右 （3）vA=2m/s 方向向左 vB=10m/s 方向向右
（4）vA｝=2m/s 方向向左 vB｝=10m/s 方向向右 vA｝=6m/s 方向向右 vB｝=6m/s 方向向左
m1
m2
m3
3、在光滑水平面上，有一质量m1=20kg的小车，通过一要几乎不可伸长的轻绳子与另一质量m2=25kg的拖车相连接，一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上，物体与平板间的动摩擦因数μ=0.2。开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车靠惯性以v0=3m/s的速度前进，求：
（1）当m1、m2、m3以同一速度前进时，其速度的大小。
（2）物体在拖车平板上移动的距离。
3解：（1）取1、2、3研究 设三者共同速度为v2

（2）先取 1、2研究，它们的共同速度为v1

又根据能量守恒
4、2002年12月30日凌晨，“神舟四号”飞船发射升空，飞船按预定轨道在太空飞行六天零十八小时（用t表示），环绕地球一百零八圈（用n表示），返回舱于2003年1月5日顺利返回地面。“神舟四号”运行过程中由于大气摩擦等因素，会逐渐偏离预定的轨道，因此“神舟四号”先后进行了三次精确的“轨道维持”（通过发动机向后喷气，利用反冲校准轨道）。设总质量为m的“神舟四号”飞船的预定圆形轨道高度为h，当其实际运行高度比预定轨道高度衰减了△h时，控制中心开始启动轨道维持程序，开始小动量发动机，经时间△t后，飞船恰好重新进入预定轨道平稳飞行。地球半径为R，地球表面重力加速度为g。
（1）求“神舟四号”轨道离地面高度h的表达式（用题中所给的数据表示）；
（2）已知质量为m的物体在地球附近的万有引力势能（以无穷远处引力势能为零，r表示物体到地心的距离），忽略在轨道维持过程中空气阻力对飞船的影响。求在轨道维持过程中，小动量发动机的平均功率P的表达式（轨道离地面高度h不用代入（1）问中求得的结果）。
4答案：（1）
O
t/s
v/m.s-1
1
2
3
4
5
1
2
（2）卫星的动能EK=mv2/2=GMm/2r=R2mg/2r 卫星的机械能为E=EP+EK =-R2mg/2r
由发动机做功W=E2-E1 及P=W/t有
5、质量为M=4.0kg的平板小车静止在光滑的水平面上，如图所示，当t=0时，两个质量分别为mA=2kg、mB=1kg的小物体A、B都以大小为v0=7m/s。方向相反的水平速度，同时从小车板面上的左右两端相向滑动。到它们在小车上停止滑动时，没有相碰，A、B与车间的动摩擦因素μ=0.2，取g=10m/s2,求：
（1）A在车上刚停止滑动时，A和车的速度大小
（2）A、B在车上都停止滑动时车的速度及此时车运动了多长时间。
A
B
v0
v0
（3）在给出的坐标系中画出小车运动的速度——时间图象。
A
B
v0
v0
fA
fB
f车
5解：（1）当A和B在车上都滑行时，在水平方向它们的受力分析如图所示：

由受力图可知，A向右减速，B向左减速，小车向右加速，所以首先是A物块速度减小到与小车速度相等。设A减速到与小车速度大小相等时，所用时间为t1，其速度大小为v1，则：
v1=v0-aAt1 μmAg=mAaB ① v1=a车t1 μmAg-μmBg=Ma车 ②
由①②联立得：v1=1.4m/s t1=2.8s ③
（2）根据动量守恒定律有：mAv0-mBv0=(M+mA+mB)v ④O
t/s
v/m.s-1
1
2
3
4
5
1
2
v=1m/s⑤
总动量向右， 当A与小车速度相同时，A与车之间将不会相对滑动了。设再经过t2时间小物体A与B、车速度相同，则：
-v=v1-aBt2 μmBg=mAaB ⑥
由⑥⑦式得：t2=1.2s ⑦
所以A、B在车上都停止滑动时，车的运动时间为t=t1+t2=4.0s ⑧
（3）由（1）可知t1=2.8s时，小车的速度为v1=1.4m/s，在0~t1时间内小车做匀加速运动。在t1~t2时间内小车做匀减速运动，末速度为v=1.0m/s,小车的速度—时间图如图所示
6、在光滑的水平面上，有一个长为L的木板C，C的两端各有一竖直的挡板，在木板C的中央处有两个长度均为d的物体A和B，A的质量为mA，在A、B之间安放微量炸药，并控制炸药爆炸只对A、B产生沿木板C方向的水平冲力。开始A、B、C都静止，A、B、C的质量之比为mA∶mB∶mC=1∶4∶9，A、B与C之间摩擦不计。炸药爆炸产生能量为E，其中一半转化为A、B的动能。A、B与C两端的挡板碰撞后便与C连成一体。求（1）炸药爆炸使A、C相碰后C的速度；（2）从A、C相碰后到B、C相碰的时间内C的位移。
7解：（1）A、B物理系统水平方向动量守恒 mAvA-mBvB=0 ①
又由能量关系 ②
解①②得 ，
再考察A、C物体系统，水平方向动量守恒

（2）自A、B分离到A、C相碰历时
时间t1内B向右的位移
A、C相碰时，B与C右端的距离
设从A、C相碰到B、C相碰的时间为t2 ,
则 故t2内C的位移
8、如图所示，光滑轨道上，小车A、B用轻弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上．然后使A、B以速度v0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复到自然长度时，A的速度刚好为0，已知A、B的质量分别为mA、mB，且mA<mB．

求：（1）被压缩的弹簧具的有弹性势能EP
（2）试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为0的时刻？
解：（1）设弹簧第一次恢复自然长度时B的速度为 vB
以A、B弹簧为系统动量守恒 （mA+mB）vo=mB • vo (1)
机械能守恒： （mA+mB）vo+Ep=mB • vB2 (2)
由（1）、（2）解出 (3)
（2）设以后运动过程中B的速度为0时，A的速度为vA此时弹簧的弹性势能为Ep’用动量守恒 （mA+mB）vo=mB • vo （4）
机械能守恒 （mA+mB）vo+Ep=m4vA2 + Ep’ （5）
由（4）、（5）解出 （6）
∵mA<mB ∴Ep’<0 弹性势能小于0是不可能的，所以B的速度没有等于0的时刻
9、一轻质弹簧直立在地面上，其劲度系数为，在弹簧的上端与空心物体A连接，物体B置于A内，B的上下表面恰与A接触，如图所示。A和B的质量均为1kg，先将A向上抬高使弹簧伸长5cm后从静止释放，A和B一起做上下方向的简谐运动，已知弹簧的弹性势能决定于弹簧形变大小（g取，阻力不计）求：
（1）物体A的振幅 （2）物体B的最大速率 （3）在最高点和最低点A对B的作用力
解：（1）振子在平衡位置时，所受合力为零，设此时弹簧被压缩△x。
① ②
开始释放时振子处在最大位移处，故振幅A为：A=5cm+5cm=10cm ③
（2）由于开始时弹簧的伸长量恰等于振子在平衡位置时弹簧的压缩量，故弹性势能相等，设振子的最大速率为v，从开始到平衡位置，根据机械能守恒定律：
④ ⑤即B的量大速率为1.4m/s
（3）在最高点，振子受到的重力和弹力方向相同，根据牛顿第二定律： ⑥
A对B的作用力方向向下，其大小为： ⑦
在最低点，振子受到的重力和弹力方向相反，根据牛顿第二定律： ⑧
A对B的作用力方向向上，其大小为 ： ⑨
10、如图所示，长木板A右边固定着一个挡板，包括挡板在内的总质量为1.5M，静止在光滑的水平地面上.小木块B质量为M，从A的左端开始以初速度v0在A上滑动，滑到右端与挡板发生碰撞，已知碰撞过程时间极短，碰后木块B恰好滑到A的左端就停止滑动.已知B与A间的动摩擦因数为μ，B在A板上单程滑行长度为l.求：
（1）若μl=，在B与挡板碰撞后的运动过程中，摩擦力对木板A做正功还是负功？做多少功？
（2）讨论A和B在整个运动过程中，是否有可能在某一段时间里运动方向是向左的.如果不可能，说明理由；如果可能，求出发生这种情况的条件.
13解：(1)B与A碰撞后，B相对于A向左运动，A所受摩擦力方向向左，A的运动方向向右，故摩擦力做负功.设B与A碰撞后的瞬间A的速度为v1,B的速度为v2, A、B相对静止后的共同速度为v，整个过程中A、B组成的系统动量守恒，有Mv0=(M+1.5M)v,v=.
碰撞后直至相对静止的过程中,系统动量守恒,机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功，即Mv2+1.5Mv1=2.5Mv, ①
×1.5Mv12+ Mv22-×2.5Mv2=Mμgl, ②
可解出v1=v0(另一解v1=v0因小于v而舍去)
这段过程中，A克服摩擦力做功 W=×1.5Mv12-×1.5Mv2=Mv02(0.068Mv02).
(2)A在运动过程中不可能向左运动，因为在B未与A碰撞之前，A受到的摩擦力方向向右，做加速运动，碰撞之后A受到的摩擦力方向向左，做减速运动，直到最后，速度仍向右，因此不可能向左运动.
B在碰撞之后，有可能向左运动，即v2<0.
先计算当v2=0时满足的条件，由①式，得
v1=-,当v2=0时，v1=，代入②式，得×1.5M-×2.5M=Mμgl,
解得μgl=.
B在某段时间内向左运动的条件之一是μl<.
另一方面，整个过程中损失的机械能一定大于或等于系统克服摩擦力做的功，即
Mv02- 2.5M()2≥2Mμgl, 解出另一个条件是 μl≤,
最后得出B在某段时间内向左运动的条件是 <μl≤

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