第九讲三角函数的图象与性质.doc

第九讲 三角函数的图象与性质

知识点金
1、三角函数性质
奇偶性：正弦函数和正切函数、余切函数在其定义域上为奇函数，余弦函数在其定义域上为偶函数。判断一般三角函数的奇偶性时，有的需要先将三角函数解析式恒等变形化简，有的需要将进行变形。
单调性：三角函数单调性在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用。解决三角函数的单调性问题时，一般先将三角函数转化为基本三角函数，然后利用基本三角函数的单调性来解决。基本三角函数的单调性如下：
在上为增函数，在上为减函数。
在上为增函数，在上为减函数。
在上为增函数。
在上为减函数。
周期性：周期函数的本质是，存在非零常数T，使定义域中的任意都有成立。下面列举与周期函数相关的几个结论：
（1）周期函数的定义域是无界的。
（2）定义域为R的周期函数，若T是周期，则仍是函数的周期。
（3）设是非常数的周期函数，且定义域为D，若在D上，则有最小正周期。
（4）若函数有最小正周期T，那么除外，函数无其他周期。
（5）函数是数集M上的周期函数，则：
①（是常数）是M上的周期函数；
②是M上的周期函数；
③是上的周期函数；
④是上的周期函数；
（6）设函数的定义域为M，是M上的周期函数，如果当时，，那么是上的周期函数。
（7）设函数，如果对任意实数，都有，，则是周期函数（周期）。
（8）设函数是奇函数，如果对任意，都有，那么函数是周期函数。
（9）设函数，如果它的图形关于两点和对称，那么是周期函数。
（10）的最小正周期是； 的最小值正周期，的最小正周期是，的最小正周期是。
对于复杂的三角函数，一般须先将其转化为基本三角函数，然后可以得到它的周期性。这里要求在变形过程中必须是等价的，特别要注意的是定义域的变化。
2、三角函数的图像变换（以正弦函数为例，其余函数结论相同）
（1）平移变换
①左右平移：
向左平移个单位，向右平移个单位。
②上下平移：
向上平移个单位，向下平移个单位。
（2）周期变换：
①当时，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，
②当时，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍。
（3）振幅变换：
①当时，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍，
②当时，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍。
例题精析
例1、有四个函数：
① ② ③ ④
其中在上为单调增函数的是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．②和④
例2、定义在R上的偶函数满足，若时解析式为，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例3、函数的值域为，在区间上是单调减函数，则常数与的值分别是 。
例4、已知函数，
（1）求函数的定义域、值域、最小正周期；
（2）判断函数的奇偶性。

例5、已知函数在区间上单调递减，试求实数的取值范围。

例6、设函数对任意实数均有，并且。求证：对任意实数均有，并由此证明：对任意实数均有。

例7、已知函数。
（1）求的定义域和值域；
（2）在中，求的单调区间；
（3）判定方程在区间上解的个数。

例8、求函数的周期。

例9、求证：函数不是周期函数。

例10、已知，且。求的值。

赛点归纳
三角函数的图像与性质主要考查三角函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性、对称性以及图像之间的变换。常用解题方法与技巧是：单位圆、变量代换、数形结合。
同步检测
一、选择题
1、函数的一个单调减区间是 （ ）
A． B． C． D．
2、下列既是区间上的增函数，又是以为周期的偶函数是 （ ）
A． B． C． D．
3、给定四个函数：（1）（2）（3）（4），其中周期且在上是增函数的个数为 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、定义在R上的偶函数满足，且在上是减函数，若、 是锐角三角形的两个内角，则 （ ）
A． B．
C． D．
5、若函数，对任意都使为常数，则正整数应为 （ ）
A．1 B．3 C．3或1 D．不存在
二、填空题
6、函数的单调递减区间是 。
7、对于函数给出下列四个命题：
①该函数的值域是：；
②函数取得最大值1的充分必要条件是；
③该函数的最小正周期是；
④当且仅当时，。
其中正确的命题是 。
8、函数的最小正周期为T，且，则正整数是 。
9、设函数，给出下面四个论断：
①它的图像关于直线对称； ②它的图像关于点对称；
③它的周期是； ④它在区间上的增函数。
以其中的两个论断为条件，余下的两个论断为结论，写出你认为正确的一个命题： 。
10、给出下列八种图像的变换方法：
（1）将图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
（2）将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
（3）将图像向上平移1个单位
（4）将图像向下平移1个单位
（5）将图像向左平移个单位
（6）将图像向右平移个单位
（7）将图像向左平移个单位
（8）将图像向右平移个单位
需要且只需要用上述的3种变换即可由函数图像得到函数的图像，那么这3种变换正确的顺序是 （按顺序填上正确的变换的一种序号即可）。
三、解答题
11、已知向量，，
定义函数 ，
（1）求函数的最小正周期；
（2）确定函数的单调区间。

12、设函数，已知函数的最小正周期相同，且。
（1）试确定，的解析式；
（2）求函数的单调增区间。

13、若函数的最大值为0，最小值为，求常数的值。

14、受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。某港口水的深度（米）是时间（，单位：时）的函数，记作。下表是该港口在某季节每天水深的数据：
（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经过长期观察，的曲线可以近似地看作函数的图像。
（1）根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可）。某吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米。如果该船想在同一天安全进出港，问它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）？

15、设定义域为R的奇函数是减函数，若当时，
恒成立，求的取值范围。

16、（1）已知：函数的周期为3，试求函数的周期。
（2）已知的周期为T，求函数的周期。。

17、已知函数，为了得到的图像，需要将函数的图像作怎样的变换而得到呢？若要分别得到函数和的图像，需要将函数的图像作怎样的变换呢？

18、已知当时，不等式恒成立，试求的取值范围。

19、已知函数为R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。

20、正实数、、、满足条件并且，求证：。

第九讲 三角函数的图象与性质
参考答案
例1、分析：将四个函数分别化简为基本函数，得到，，，，由其图像容易得到答案为D。
例2、分析：由已知条件，函数的图像既关于轴对称，又关于直线对称，从而可以根据的图像得到整个函数的图像，得到答案B。
评注：偶函数满足，表明是周期为的函数。
例3、解：因为的值域为，所以。而由得，当时，，得；当时，，得；故所求解为或。
例4、解：（1），定义域：，值域为：R，最小正周期为；
（2），且定义域关于原点对称，所以为奇函数。
评注：判断函数周期性时，一要恒等变形，二要注意定义域的影响。
例5、分析：已知条件实际上给出了一个在区间上恒成立的不等式。
任取，且，则不等式恒成立，即恒成立。化简得。
由可知：，所以。
上式恒成立的条件为：小于在区间上的最小值。
由于

且当时，，所以，
从而，
有，故的取值范围为。
评注：（1）解题的要领是利用变量分离思想。（2）求的最小值时，要注意最小值能否取到。请思考，下面的解法有什么问题：
当时，，有
，
从而，
故的取值范围为。
例6、证明：由条件可得、。
若，得到，由于在上为单调增函数，故。
若，则由条件，同样由在上为单调增函数，故。
评注：对任意实数，均有，根据已证的不等式，就有。
利用正、余弦函数的单调性，结合正、余弦函数的有界性以及上述结论，我们还有如下的一些结论：， 等。
例7、解：（1）因为，所以。
又函数在处无定义，
≠

≠

且
所以令，则，解之得：。
所以的定义域是
因为在内的值域为，而当时，函数的值域B满足 B，所以的值域是。
≠

（2）由的定义域知，在中的和处无定义。
设，则当时，，且以为自变量的函数在区间，上分别单调递增。
又因为当时，函数单调递增，且；
当时，函数单调递增，且；
当时，函数单调递减，且；
当时，函数单调递减，且。
所以在区间，上分别是单调递增函数；在，上是单调递减函数。
又是奇函数，所以区间也是的单调递增区间，是的单调递减区间。
故在区间中，的单调递增区间为：，单调递减区间为。
（3）由得：
①
又因为
所以因为或
当时，从①得方程；
当时，从①得方程。
显然方程，，在上各有2个解，故在区间上共有4个解。
评注：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求的定义域和值域，应当先搞清楚的值域与的定义域的交集；（2）求的单调区间，必须先搞清的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。
例8、分析：利用半角的正切公式变形可将函数解析式化为 ，虽然最后所得函数形式的周期为，但由于在运用公式变形过程中的范围有了变化，原函数中要求，即根据等价变形的要求，最后原函数等价于函数，故原函数的周期为。
评注：由于有些三角公式本身只是一般的恒等式，而两边的范围并非是等价的，因此运用这些公式需要附加一定的条件，或者说可能会出现运用公式的前后范围不相同。
例9、证明：若函数是以为周期的函数，即 ，于是，和差化积后得，在其中取，则可得到，于是，即，从而。上式中令，将有，这要求存在正整数，使得，这与为无理数矛盾。故不是周期函数。
例10、解：原方程组化为
因为，函数在上单调递增，且，所以，所以。

1、D 解析：原函数可转化为基本函数。
当时，，正弦在此区间上为增函数，故原函数在区间上上单调递减，选D。
2、B 解析：以为周期的偶函数只有A，B，而要求在闭区间上为增函数，故选B。
3、C 解析：函数（3）可以化为，而函数（4）没有周期性，故函数（1）、（2）、（3）满足条件，选取C。
4、A 解析：因为，所以是以2为周期的函数。
又因为在上是减函数，所以在上也是减函数，而又是偶函数，所以在上是增函数。又因为，所以，因而。故应选A。
5、B 解析：因为，故，
由
知为奇数，于是，得，即。
故或3，但时，不恒为0。不合题意舍去，故。
6、
7、④
8、3，4，5，6
9、解析：论断③的条件等价于函数表达式中的，再加上论断①的成立，则可以得到，此时可推出另两个论断的正确。在论断③成立的前提下，论断②、①应该是等价的。
10、（2）（7）（4）；（2）（4）（7）；（4）（2）（7）；（5）（2）（4）；（5）（4）（2）；（4）（5）（2）；
11、解：
（1），
所以，所以最小正周期为；
（2）令，有。
而在区间上单调递增，在区间，上单调递减，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减。
12、，
由于的最小正周期相同，有，即，又，
即，把代入上式，得，有，
所以或，
若，则有，这与矛盾；若，则有或，
于是有或，又，所以，
所以，；
（2）由，即，
所以，函数的单调递增区间为。
13、将函数写出，将条件中的最大最小值代入，解关于的方程组，可得。
14、（1）由数据知的周期，振幅。
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于米。由得。
在同一天内，取或1，得或。
所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口最多停留16小时。
15、将条件化为，
由于是奇函数，故有。
即
又由于是减函数，等价于恒成立。
设，等价于在恒成立。
只要在的最小值大于0即可。
（1）当时，最小值为，解得并求交集，得：。
（2）当时，最小值为，解得并求交集，得：。
（3）当时，最小值为恒成立，得：，
综之：为所求的范围。
16、（1）以3为周期，所以，由此得的周期为。
事实上，，所以
（2），因为的周期为T，所以，即
所以 周期为。
17、（1）将的图像纵坐标不变，横坐标向右平移个单位即可得到的图像
（2）将的图像上所有的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍即可得到的图像。而将的图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再将所有的点的纵坐标缩短为原来的倍（横坐标不变），最后将所有点向上平移1个单位长度即可得到的图像。
18、若对一切，恒有，则，。①取，则。
由于。
所以，。故。②
反之，当①，②成立时，
，且时，
。
先在中解①与②：
由，可得。
又因为，
注意到，故有。
所以，。
因此，原题中的取值范围是。
即，所以对任意都成立，且，所以。
19、由是偶函数，得，
依题设，所以解得。
由的图像关于点M对称，得，取，得，所以。
所以，又，得。
所以。
当时，，在上是减函数；
当时，，在上是减函数；
当时，，在上不是单调函数；
所以，综合得或。
20、在的条件下，的充要条件是。证明：若，则；若，则。这样即得到当时均有。反过来，若，则，而，所以，而得到。利用上述结论由可知，所以，即，再用一次上述结论可得。
27