山东省舜耕中学2012届高三数学一轮复习资料-第五编-平面向量、解三角形-5.1-平面向量的概念及线性运算(教.doc

高三数学（理）一轮复习 教案 第五编 平面向量、解三角形 总第21期§5.1 平面向量的概念及线性运算
基础自测
1.下列等式正确的是 （填序号）.
C
D

①a+0=a ②a+b=b+a ③+≠0 ④=++
答案 ①②④
B
A
2.如图所示，在平行四边行ABCD中，下列结论中正确的是 .
①= ②+= ③-= ④+=0
答案 ①②④
3.（2008·广东理，8）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则= .
答案 a+b
4.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且=a，=b，则= .
答案 b-a
5.设四边形ABCD中，有=，且||=||，则这个四边形是 .
答案 等腰梯形
例题精讲
例1 给出下列命题
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；
④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；
⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为 .
答案 4

例2 如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，
M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，
试用a、b、c表示，，+.
解 =++=-a+b+c，∵=++，
∴=-,=-,=,∴=a-b-c.
+=+++=2=a-2b-c.
例3 设两个非零向量a与b不共线，
（1）若=a+b,=2a+8b,=3(a-b)，求证：A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.
（1）证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.∴、共线，又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线.
（2）解 ∵ka+b与a+kb共线，∴存在实数，使ka+b=(a+kb),即ka+b=a+kb.
∴(k-)a=(k-1)b.∵a、b是不共线的两个非零向量，∴k-=k-1=0，∴k2-1=0.
∴k=±1.
例4．如图所示，在△ABO中，=,=,
AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.
解 设=ma+nb，则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.又∵A、M、D三点共线，∴与共线.
∴存在实数t,使得=t，即(m-1)a+nb=t(-a+b).
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴
，消去t得：m-1=-2n.即m+2n=1. ①
又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb. =-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三点共线，∴与共线.
∴存在实数t1,使得=t1,∴(m-)a+nb=t1
∴，消去t1得,4m+n=1 ② 由①②得m=,n=,
∴=a+b.
巩固练习
1.下列命题中真命题的个数为 .
①若|a|=|b|，则a=b或a=-b;②若=，则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点；
③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c,则a∥c.
答案 1
2.在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB
.DC与OA交于E，设=a，=b，用a,b表示向量，.
解 因为A是BC的中点，
所以=(+)，即=2-=2a-b； =-=-=2a-b-b=2a-b.
3.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a,tb,(a+b)三向量的终点在同一条直线上？
解 设=a，=tb，=(a+b)，∴=-=-a+b，=-=tb-a.
要使A、B、C三点共线，只需=，即-a+b=tb-a
∴有 ，∴∴当t=时，三向量终点在同一直线上.
4.如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，
且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.
解 方法一 设e1=,e2=,则=+=-3e2-e1，
=+=2e1+e2.因为A、P、M和B、P、N分别共线，
所以存在实数、，使==-3e2-e1， ==2e1+e2，
∴=-=（+2）e1+（3+）e2，另外=+=2e1+3e2，
，∴，∴=,=,∴AP∶PM=4∶1.
方法二 设=，∵=（+）=+，
∴=+.∵B、P、N三点共线，∴-=t(-),
∴=(1+t)-t∴∴+=1，=，∴AP∶PM=4∶1.
回顾总结
知识
方法
思想
课后练习
一、填空题
1.下列算式中正确的是 （填序号）.
①++=0 ②-= ③0·=0 ④（a）=··a
答案 ①③④
2.（2008·全国Ⅰ理）在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则= （用b,c表示）.
答案 b+c
3.若=3e1，=-5e1，且||=||，则四边形ABCD是 .
答案 等腰梯形
4.如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面
分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包括边界）.若
=a1+b2，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足
a 0,b 0.(用“＞”,“＜”或“=”填空)
答案 ＞ ＜
5.设=x+y，且A、B、C三点共线（该直线不过端点O），则x+y= .
答案 1
6.已知平面内有一点P及一个△ABC，若++=，则点P在线段 上.
答案 AC
7.在△ABC中，=a，=b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则可用a、b表示为 .
答案 -a+b
8.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2,=+,则= .
答案
二、解答题
9.如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，用a,b分别表示向量，，，，，.
解 ==b. =-=b-a.
由△ADE∽△ABC，得==(b-a).由AM是△ABC的中线，∥BC，得
==(b-a).而且=+=a+=a+(b-a) =(a+b).
∽
==(a+b).
10.如图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的中点，=，
=a，=b.
（1）用a、b表示向量、、、、；
（2）求证：B、E、F三点共线.
（1）解 延长到G，使=， 连接BG、CG，得到 ABGC，
所以=a+b, ==(a+b), ==(a+b).
==b, =-=(a+b)-a=(b-2a).
=-=b-a=(b-2a).
(2)证明 由(1)可知=,所以B、E、F三点共线.
11.已知：任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：=(+).
证明 方法一 如图， ∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴+=0，+=0，又∵+++=0，
∴=++ ①
同理=++ ②
由①+②得，
2=++（+）+（+）=+.∴=(+).
方法二 连结，，则=+， =+，
∴=(+)=(+++)=(+).
12.已知点G为△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点，且=x，=y，
求+的值.
解 根据题意G为三角形的重心，故=(+)， =-=(+)-x
=(-x)+, =-=y-=y-(+)=（y-）-,
由于与共线，根据共线向量基本定理知=(-x)+
=， =x+y-3xy=0两边同除以xy得+=3.
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用心 爱心 专心